有理数的乘法-2024年小升初数学无忧衔接 （解析版）

专题11有理数的乘法

［学习小目标

1.会正确进行有理数的乘法运算。

2.初步体会“分类”与“归纳”的数学思想。

3.在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便。

4.理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数。

］新课轻松导入

［思考1］2023年7月28日将在成都举行第31届世界大学生夏季运动会，何宇鸿同学为了备战大运会,

沿一条东西方向的跑道，以每秒钟9米的速度向东跑。记何宇鸿在跑道上的某一位置为点。，那么在点。

的3分钟后、2秒后、1秒后、0秒、1秒前、2秒前、3秒前，他位于这一点的哪个方向？相距多少米？

提示：向东和向西行进的速度都是具有方向的量，如果我们规定：向东为正，向西为负。

U„

知识帮你梳理

1.有理数的乘法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值.

有理数乘法的应用：要得到一个数的相反数，只要将它乘-1.

多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为

负数，即“奇负偶正”.几个数相乘，如果其中有因数为0,那么积等于0.

注意：有理数乘法运算分两步走，第一步，定符号，第二步，定数值；

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2.有理数乘法运算律

乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等.ab=ba

乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

abc=（«Z?）c=a（bc）

乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再

把积相加.a（b+c）=ab+ac

注意：1）当用字母表示乘数时，“X”号可以写为“•”或省略；

2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为相反数的因数，往往会起到事半功倍的效果；

3）公式的正用与逆用。

3.倒数

1）倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.

（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数.（2）0没有倒数.

（3）互为倒数的两个数的乘积一定是1,即6互为倒数，则ax6=l；反之亦然.

2）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可.

（1）非零整数可以看作分母为1的分数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数.

注意：1.注意是乘积为1,要与相反数的概念区分开来；2.互为倒数的两个数的符号一定是相同的;

3.倒数等于本身的数有：1、-1；

高频考点

考点1、有理数的乘法运算

【解题技巧】根据有理数乘法的法则计算即可。

例1.（2023•山西晋中•统考一模）计算（-2）x,j的结果是（）

122

A.2—B.—C.—D.6

333

【答案】B

【分析】直接根据负数乘以负数的运算法则计算即可.

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【详解】(-2)x,[=2xg=g,故选：B.

【点睛】本题考查了负数乘以负数，熟练掌握其运算法则是解题的关键.

例2.(2022秋•云南昆明•七年级校考期中)在-2,3,-4,-5,6这五个数中，任取两个数相乘，得的

积最大的是()

A.10B.30C.20D.18

【答案】C

【分析】根据两数相乘，同号得正，又正数大于负数，所以(-4)x(-5)=20最大.

【详解】因为正数大于负数，选择同号且绝对值的积较大的两数相乘，只有(-4)x(-5)=20最大.故选：C.

【点睛】本题考查有理数大小比较，有理数乘法，解题的关键是多次尝试.

变式1.(2023•浙江温州•校考三模)计算(-2)x3的结果是()

A.1B.—1C.6D.―6

【答案】D

【分析】有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，据此求出算式的值是多少

即可.

【详解】解：(-2)X3=-6.故选：D.

【点睛】此题主要考查了有理数乘法的运算方法，要熟练掌握运算法则.

2

变式2.(2023•河北保定・统考二模)下列算式中，与有理数-2§相等的是()

A.(-2)xgB.C,-2+|D.+3

【答案】D

【分析】根据有理数的加减，乘除法法则逐项判断即可.

74?(2、42

【详解】A.(-2)X：=-^N-2：,故该选项不符合题意；B.-2x-=--^-2-,故该选项不符合题意;

JJJ

74?(2、2

c.-2+j=-j^-21,故该选项不符合题意；D.-I2+-U-2-,故该选项符合题意.故选：D.

【点睛】本题考查有理数的加减和乘除运算，解题的关键是掌握有理数相关运算的法则.

变式3.(2022.重庆市.七年级期中)下列计算中错误的是()

A.—6x(—5)x(—3)x(—2)=180B.(-36)x(----i)=-6+4+12=10

693

C.(-15)X(-4)X(+1)X(-1)=6D,-3x(+5)-3x(-l)-(-3)x2=-3x(5-l-2)=-6

【答案】C

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【分析】根据有理数的乘法法则及乘法的分配律a(b+c)=ab+ac,分别进行判断.

【详解】解：A、—6x(—5)x(—3)x(—2)=180,正确；

B、(-36)x(1-|-1)=-6+4+12=10,应用了乘法分配律，正确；

C、(-15)x(-4)x(+1)x(-1)=6,有三个负因数，结果应为负数，错误；

D、-3x(+5)-3x(-l)-(-3)x2=-3x(5-l-2)=-6,逆用分配律，正确.故选C.

【点睛】本题主要考查了有理数的乘法法则及乘法的分配律，熟练掌握“几个不等于0的数相乘，积的符号

由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”.

考点2、有理数乘法法则的辨析

【解题技巧】有理数乘法的法则

①有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.②任何数同零相乘，都得0.

③多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个

时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

例1.(2022.安徽亳州市.七年级期中)现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个

数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，

则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】A

【分析】根据有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则分别对每一项进行分析

即可.

【详解】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0;故原命题错误；

②若两个数(非0)互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误；

③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确；

④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确；

⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误....正确的有2个；故选：A.

【点睛】此题考查了有理数的分类、数轴、相反数、绝对值的定义、有理数的乘法的法则等知识点的运用，

属于基础题，注意概念的掌握，及特殊例子的记忆.

例2.(2022秋・浙江金华•八年级校考阶段练习)若%=0,则下列选项正确的是()

A.a,b,c没有一个为0B.a,b,c只有一个为0

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C.a,b,c至少一个为0D.a,b,c三个都为0

【答案】C

【分析】根据任何数同零相乘，都得0,依此即可求解.

【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0,

若abc=0,则a,b,c至少有一个为0,故选：C.

【点睛】本题考查根据任何数同零相乘，都得零，正确理解题意是解题的关键.

变式1.（2022•成都市温江区七年级月考）下列说法中正确的有（）

①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；

③数。、b互为相反数，它们的积一定为负；④绝对值等于本身的数是正数.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解题思路】根据有理数乘法法则和相反数，绝对值的性质进行判断便可.

【解答过程】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误；

②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确；

③数以6互为相反数，它们的积不一定为负，如。、。都为0,它们互为相反数，但它们的积为0,不为负，

该小题说法错误；④绝对值等于本身的数是非负数，包括正数和0,不一定是正数，该小题说法错误；

故选：A.

变式2.（2022•澧县七年级月考）下列说法中，不正确的个数有（）

①符号相反的数叫相反数；②四个有理数相乘，若有两个负因数，则积为正；

③倒数等于本身的数只有1;④相反数等于本身的数只有0；

A.0个B.1个C.2个D.3个

【解题思路】①根据相反数的定义即可求解；②根据有理数的乘法法则即可求解；

③根据倒数的定义即可求解；④根据相反数的定义即可求解.

【解答过程】解：①只有符号相反的数叫相反数，故①符合题意；

②四个有理数（0除外）相乘，若有两个负因数，则积为正，故②符合题意；

③倒数等于本身的数有±1,故③符合题意；

④相反数等于本身的数只有。是正确的，故④不符合题意.故选：D.

考点3、利用有理数乘法法则判断符号

【解题技巧】符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数

个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.②几个数相乘，有一个因数为0,积就为0.

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例1.(2022秋・广西南宁•七年级统考期中)下列算式中，积为负数的是()

A.0x(-5)B.4x(-0.2)x(-10)C.(-2)D.(-3)X「#T

【答案】D

【分析】根据几个非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，任何数乘0,都

得0,进行判断即可.

【详解】解：0x(-5)=0,不符合题意；B、4x(-0.2)x(-10),2个负号，积为正数，不符合题意;

C,(-1.5)x(-2),2个负号，积为正数，不符合题意;

D、3个负号，积为负数，符合题意；故选D.

【点睛】本题考查有理数乘法的符号法则.熟练掌握同号为正，异号为负，任何数乘0,都得0,以及几个

非零数相乘，负号的个数为奇数，积为负，负号的个数为偶数，积为正，是解题的关键.

例2.(2022秋.河北邢台.七年级校考阶段练习)如图，A3两点在数轴上表示的数分别是a,b,下列式

子成立的是()

_________IBI।I4»

-1b01a

A.ab>0B.a+b>0C.(a-l)(Z?+l)<0D.(a+l)(Z?-l)>0

【答案】B

【分析】先根据数轴确定a6的取值范围，再逐一判定即可解答.

【详解】解：由数轴可得：-l<b<0<l<a,

ab<0,a+b>0,(a-1乂6+1)>0,(a+l)(b-1)<0,故选：B.

【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是根据数轴确定a,6的取值范围.

例3.(2022・四川遂宁•七年级校考阶段练习)若而>0,则必有()

A.a>0,b>0B.a<0,b<0C.a>Q,b<0D.a>0,6>0或者b<0

【答案】D

【分析】根据有理数的乘法法则求解即可.

【详解】解：ab>0,与6同号，：.a>0,6>0或者b<0,故选D.

【点睛】本题考查了有理数乘法法则，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负.

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变式1.（2022春•山东七年级期中）已知三个实数〃，b,c满足/>0,a+b<c,a+b+c-0,则下列结论

一定成立的是（）

A.a<0,b<0,c>0B.a>0,b>0,c<0C.a>0,b<0,c>0D.a>09b<Q,c<0

【答案】A

【分析】根据必>。，可得4和。同号，再根据a+b<c和〃+b+c=0,即可判断。，b,。的符号.

【详解】解：:。方>0,工。和丁同号,

又a+b<c和。+/?+。=0,«<0,b<0,c>Q.故选：A.

【点睛】本题主要考查了有理数的运算法则，解题的关键是掌握两数相乘，同号得正，异号得负；同号两

数相加，取它们相同的符号；异号两数相加，取绝对值较大数的符号.

变式2.（2023秋•福建漳州•七年级统考期末）已知三个数〃，b,c,这三个数在数轴上表示的点的位置如

图，则下列结论不正建的是（）

―1---------1-------------------------------1-

cba

A.c<b<aB.（a-c）（c-Z?）<0

C.若a+6+c=0,则同=网+忖D.若同=|c|,则（a+c）6<0

【答案】D

【分析】根据数轴、有理数的大小比较及有理数的运算可得答案.

【详解】解：由数轴可知：c<b<a，故A选项正确；.•.（4-c）（c-b）<0,故B选项正确；

；a+6+c=0,，原点在。、6之间，即6<0,c<0,；.同=网+同,故C选项正确；

,.[4=同，.•.原点在6、c之间，即a>0力>0,c<。，且时>卜|,/.（a+c）Z>>0,故D选项错误；故选D.

【点睛】本题主要考查数轴上有理数的表示、有理数的大小比较及有理数的乘法和加法运算，熟练掌握数

轴上有理数的表示、有理数的大小比较及有理数的乘法、加法法则是解题的关键.

变式3.（2023•江苏南京・统考二模）如图，在数轴上，点A,8分别表示实数。，b,C是线段AB的中点.若

同>网且而<0,则原点在（）

BCA

----------------111--------------------->

b---------------------a

A.点A的右边B.点B的左边C.线段BC上D.线段C4上

【答案】C

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【分析】根据有理数的乘法法则得出a>0〉》，再根据绝对值的意义可得A离原点距离大于2离原点距离,

即可得出结论.

【详解】解：,：ab<0,“和6异号，贝”a>O>b,

•.[4>阿，离原点距离大于8离原点距离，，原点在线段BC上，故选：C.

【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法，解题的关键是掌握：两数相乘，同号得正，异号得负.

考点4、有理数乘法运算律

【解题技巧】运用运算律的一些技巧：

①运用结合律，将能约分的先结合计算。如：-xlxlO

35

②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数。如：i.2x±3

7

52

③带分数应先化为假分数的形式。如：1-x-

73

1234

④几个分数相乘，先约分，在相乘。如；-X-X-X-

2345

⑤一个数与几个数的和相乘，通常用分配律可简化计算。如：12义（-+-+-）

234

例1.（2023秋・云南红河・七年级统考期末）在简便运算时，把12义1-999巳]变形成最合适的形式是（

A.12xj^-1000+^B.12x^-1000-^C.12x^-999-^D.12x^-999+^

【答案】A

【分析】根据乘法分配律解答即可.

【详解】A.12x,999£1=12x（T000+gj=12><（T000）+12x4；B.变形错误;

C.12x,999《j=12x1-999-^]=12x（-999）-12x：

D.变形错误；显然A比C计算简单.故选A.

【点睛】本题考查了有理数的简便运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键.

例2.（2022秋・江西宜春•七年级统考期中）计算10x5J时，有以下两种方法.

方法一：10x5,=10x1=55.

一22

方法二：10x5；=10x15+；1

=10x5+10x-=55.

22

参考以上方法，计算:

(1)19x3—-6x3—；

1313

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(2)20xl71-71

【答案】(1)40(2)6

【分析】(1)逆用乘法的分配律计算即可;

(2)利用乘法的分配律计算即可.

【详解】(1)19x3、—6x3,

=。9-6)x3、

=13x3—

13

40

=13x—=40.

13

(2)20xj71-71

=20x17+1-7-1

=20x

25

=10-4

=6.

【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键.

例3.(2022.河南焦作.七年级校考期中)用简便方法计算：

(l)4x(-198)x(-0.25)*⑵(一(+H卜仍)

(3)-5*Hg)+7x171^-(-12)x,7j(4)9吟义(-36)

【答案】(1)2(2)一12(3)0(4)-3599：

【分析】(1)利用乘法的交换律求解即可；(2)利用乘法分配律求解即可；(3)利用乘法分配律的逆运

算求解即可；(4)把原式变形为[1。。-5]x(-36),然后利用乘法分配律求解即可；

【详解】(1)解：原式=[4x(-0.25)]x[-198x3]

=2；

731

(2)解：原式=—：x24+—x24——x24

=-28+18-2

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=—12；

（3）解：原式=（-5+7+12）

皿"

=0；

（4）解：原式=（100-\]x（-36）

=100x（-36）-^x（-36）

=-3600+-

2

=-3599-.

2

【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数乘法运算律是解题的关键.

变式1.（2023秋•山西晋中•七年级统考期末）计算

(-0.125)x20x(-8)x(-0.8)=[(-0.125)x(-8)]x[20x(-0.8)]=-16,运算中运用的运算律为().

A.乘法交换律B.乘法分配律C.乘法结合律D.乘法交换律和乘法结合律

【答案】D

【分析】解答时，运用了乘法交换律和乘法结合律.

【详解】二.运用的运算律为乘法交换律和乘法结合律，故选D.

【点睛】本题考查了用运算律进行有理运算，熟练掌握运算律的使用规律是解题的关键.

变式2.（2022秋•广西七年级期中）计算:

9151515

⑴x(-2.3)x(2)i-i+2_7r("36)⑶一8x+12x-4x

292929

23

【答案】（1）号（2）79（3）0

【分析】（1）根据有理数的乘法进行计算即可求解；（2）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解;

（3）根据有理数的乘法分配律进行计算即可求解.

9

【详解】（1）解:x(-2.3)x

9238

=—x——x—

4109

=23

一彳；

(2)解:Z-A_HX(-36)

912+26

第10页共39页

7511

二§x(-36)--x(-36)+2x(-36)--x(-36)

=—28+15—72+66

=-100+81

=-19

151515

(3)解：-8x+12x-4x

292929

15

x(-8+12-4)

29

-iix0

=0

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，乘法分配律，熟练掌握有理数的运算法则与运算律是解题的关键.

变式3.（2022秋•重庆七年级期中）利用运算律做较简便的计算:

38

⑴(-3.5)xx⑵H+Mxf);(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24).

47

z;o

【答案】(l)-3(2)-y(3)0

【分析】（1）将小数化为分数,再利用乘法结合律计算;

（2）利用乘法分配律展开计算;（3）利用乘法分配律合并计算.

38

【详解】（1）解：（T5）xX

738

xx

247

378

——x—x—

427

J___1^3_j_

(2)12-36+4-6x(-48)

—"x48

123646j

1131

=—X48Hx48——x48+—x48

123646

4

=4+——36+8

3

68

3

(3)7.307x(-14)+7.307x(-10)+7.307x(+24)

=7.307x(-14-10+24)

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=7.307x0

=0

【点睛】本题主要考查了乘法运算律，解答的关键是掌握乘法结合律和分配律.

考点5、有理数乘法的实际应用

【解题技巧】有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法

并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。

例1.（2023春・广西南宁•七年级校考开学考试）定义一种新运算：。*6=-而，例如l*2=-lx2=-2,那

么（-2）*7的值为（）

A.14B.-14C.5D.-9

【答案】A

【分析】根据题意列出算式，再进一步计算即可.

【详解】解：（-2）*7=-（-2）x7=14,故选：A.

【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算，解题的关键是理解题干中的新定义法则.

例2.（2022秋・江苏淮安•七年级校考期末）新亚商场在2023年“元旦”期间举行促销活动，根据顾客按商品

标价的一次性购物总额，规定相应的优惠方法如下：①如果不超过600元，则不予优惠；②如果超过60。

元，但不超过900元，则按购物总额给予8折优惠；③如果超过900元，则其中900元给予8折优惠，超

过900元的部分给予6折优惠，促销期间，小王和妈妈分别看中一件商品，若各自单独付款，则应分别付

款560元和640元；若合并付款，则她们总共只需付款元.

【答案】996或1080/1080或996

【分析】根据题意可知付款560元时，其实际标价为为560或700元，付款640元，实际标价为800元，

分两种情况分别计算求出一次购买标价1360元或1500元的商品应付款即可.

【详解】解：由题意知付款560元，实际标价为560或560、¥=700（元），

付款640元，实际标价为6408孚=800（元），

8

如果一次购买标价560+800=1360（元）的商品应付款：900x0.8+（1360-900）x0.6=996（元）；

如果一次购买标价700+800=1500（元）的商品应付款：900x0.8+（1500-900）x0.6=1080（元）.

故答案是：996或1080.

第12页共39页

【点睛】本题主要考查了有理数混合运算的应用，注意顾客付款560元时，要分两种情况考虑：有可能原

价就是560元，也有可能符合优惠②，此时的结论也会有差别，另外注意计算的准确性.

例3.（2023秋・山东滨州•七年级统考期中）某自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200

辆，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入.下表是某周的生产情况（超产记为正、减产

记为负）：

星期一二三四五六日

增减+5-2-4+12-10+16-9

（1）根据记录的数据可知该厂星期六生产自行车多少辆；（2）根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车多

少辆；（3）产量最多的一天比产最最少的一天多生产自行车多少辆；（4）该厂实行每周计件工资制，每生产一

辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周

的工资总额是多少元？

【答案】（1）216辆（2）该厂本周实际生产1408辆（3）产量最多的一天比产量最低的一天多26辆（4）该厂工人这

一周工资总额是70520元

【分析】（1）计算平均每天产量与周六与计划出入的和；

（2）先计算出该厂每天与计划出入的和，再加上一周的自行车计划产量；

（3）最高一天的产量减最少一天的产量；

（4）该厂一周工资=实际自行车产量x50+超额自行车产量X15.

【详解】（1）解：星期六生产自行车辆数：200+16=216（辆）；

（2）解：7x200+（5—2-4+12—10+16—9）=1400+8=1408（辆）.

答：该厂本周实际生产1408辆；

（3）解：16-（-10）=26（辆）.

答：产量最多的一天比产量最低的一天多26辆；

（4）解：50x1408+15x8=70520（元）.

答：该厂工人这一周工资总额是70520元.

【点睛】本题考查有理数运算在实际生活中的应用.认真审题，准确的列出式子是解题的关键.

变式1.（2022秋・广西柳州•七年级统考阶段练习）存有酒精溶液容器的盖子不小心被打开了，第一天酒精

蒸发了1!，第二天蒸发了剩下的2彳，这时，容器内剩下的酒精占原来的（）

.JD

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【答案】D

【分析】根据题意列出算式再进一步计算即可.

1(2142

【详解】解：1一厂1一4卜大=1——=故选：D.

【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则.

变式2.(2023秋・湖南张家界•七年级统考期末)如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的尤的值

为2,结果输出的是1,返回进行第二次运算则输出的是-4,…，则第2020次输出的结果是()

A.-1B.3C.6D.8

【答案】A

【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得.

【详解】第1次运算输出的结果为:x2=l,第2次运算输出的结果为1-5=T,

第3次运算输出的结果为gx(-4)=-2,第4次运算输出的结果为gx(-2)=-1,

第5次运算输出的结果为-1-5=-6,第6次运算输出的结果为gx(-6)=-3,

第7次运算输出的结果为-3-5=-8,第8次运算输出的结果为：义(-8)=-4,

归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以-4,-2,-1,-6,-3,-8循环往复的，

因为2020-1=336x6+3,所以第2020次运算输出的结果与第4次输出的结果相同，即为-1,故选：A.

【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键.

变式3.(2022秋・福建泉州•七年级统考期末)国庆期间，商场A和商场B同时做促销活动.

商场A的活动规则是全场一律9.5折

商场8的活动规则如下表：

购物金额优惠办法

购物不超过200元按原价购买

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购物超过200元且不超过500元的部分按原价打9折

购物超过500元的部分按原价打8折

（1）小聪去商场A购物300元，按活动规则实际应付多少元；

（2）小明准备购物600元，请通过计算帮小明分析，该去哪个商场购买合算.

【答案】（1）285元（2）小明准备购物600元，该去B商场购买合算.

【分析】（1）根据A商场优惠方案列式计算即可；

（2）根据两个商场优惠方案列式计算即可求解.

【详解】（1）解：：商场A的活动规则是全场一律9.5折.•.实际应付300x0.95=285（元）

（2）去A商场，实际应付600x0.95=570（元）

去8商场，实际应付200+300x0.9+100x0.8=550（元）

550<570，小明准备购物600元，该去8商场购买合算.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，理解商场优惠方案，列出算式是解题的关键.

考点6、有理数乘法的新定义问题

【解题技巧】“新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，

要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.它一般分

为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”；（3）定义新概念.这类试题考查

考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与己学知识

联系起来，利用己有的知识经验来解决问题.

例1.（2022秋•山东日照•七年级校考期末）已知。为有理数，定义运算符号为※：当时，a※匕=2a；

当a<6时，a※匕=26-a.贝lj6X2-（-3X2）等于（）

A.5B.1C.-6D.10

【答案】A

【分析】原式根据题中的新定义化简，计算即可求出值.

【详解】6派2-（-3x2）=2><6-（2*2-（-3））=12-7=5故选：A

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

ab—1—2

例2.（2023秋・湖南娄底•七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定"="-历，则。,.

ca34

【答案】2

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【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值.

Qb―1_2/、

【详解】解：：cd=ad-bc,：.34=-lx4-(-2)x3=2,故答案为：2.

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

变式1.(2023秋•重庆万州•七年级统考期末)定义一种新运算“保”，规定：。区6=2°-36等式右边的运算

就是加、减、乘、除四则运算，例如：20(—3)=2x2—3x(—3)=4+9=13,182=2x1—3x2=2—6=Y.则

(一1虑[3③(一2)]的值是().

A.-2B.-18C.-28D.-38

【答案】D

【分析】根据新运算的运算法则，先计算3区(-2),再计算(-1虑[3③(-2)]即可得解.

【详解】解：由题意，得：3E(-2)=2x3-3x(-2)=12,

A(-1)®[30(-2)]=(-1)012=2X(-1)-3X12=-38；故选D.

【点睛】本题考查定义新运算.理解并掌握新运算的运算法则，是解题的关键.

变式2.(2022秋・浙江宁波.七年级校考期中)小尚同学与小志同学约定了一种新运算：对于任意有理数。和

b,规定。削?=必仅+1).小尚同学尝试计算2+(-3)=2x(-3)x[(-3)+l]=12,现在请小志同学计算

(-2)☆7=.

【答案】-112

【分析】根据新定义的含义可得(-2)☆7=(-2)x7x(7+l),再计算即可.

LW1W：'：a^b=ab(b+r),.-.(-2)☆7=(-2)x7x(7+1)-14x8=-112,故答案为:-112.

【点睛】本题考查的是新定义运算，理解新定义的含义，再列出正确的运算式是解本题的关键.

变式3.(2022秋•浙江湖州•七年级校联考阶段练习)记符号国表示不超过尤的最大整数,如[3]=3,[2,9]=2,

[-1.5]=-2.⑴分别写出[4]和[-2』的值；(2)计算：[-0.2]x[4.5]x[-3].

【答案】(1)4,-3⑵12

【分析】(1)利用符号国的意义解答即可；

(2)利用符号[司的意义分别求得三个的值，再利用乘法法则运算即可.

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【详解】（1）[4]=4,[-2.1]=-3;

（2）[-0.2]x[4.5]x[-3]=-1x4x（-3）=12.

【点睛】本题考查有理数的大小比较，有理数的乘法法则，理解并熟练利用符号[司的意义是解题的关键.

考点7、倒数的概念与运用

【解题技巧】倒数的概念：乘积是1的两个数互为倒数.

（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数.（2）0没有倒数.

（3）互为倒数的两个数的乘积一定是1,即。，〃互为倒数，则4X^=1；反之亦然.

例1.（2023•广东惠州•校联考二模）-2023的倒数是（）

A.2023B.—C.-2023

20232023

【答案】B

【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数求解即可.

【详解】解：-2023的倒数是-乙，故选：B.

2023

【点睛】本题考查倒数，熟知倒数的定义是解答的关键.

例2.（2022秋.山东七年级期中）下列说法正确的是（）

A.两个正数互为倒数，其中一个数必大于1B.一个假分数的倒数一定小于本身

C.如果一个数的倒数是它本身，那么这个数一定是1D.如果两个数互为倒数，那么它们的积一定是1

【答案】D

【分析】利用特殊值分别分析再结合倒数的定义分析得出答案.

【详解】A、因为1的倒数是1,1和1互为倒数，故说法错误；

B、一个假分数的倒数小于或等于本身，故此选项错误；

C、一个数的倒数是它本身的数有很多，除1外，还有分子和分母相同的假分数，故此选项错误；

D、如果两个数互为倒数，这个就排除了两个数不为0的情况，所以如果两个数互为倒数，那么它们的积一

定是1,故此选项正确.故选：D.

【点睛】本题考查了倒数的定义，利用特殊值分别分析是解题的关键.

变式1.（2023春•四川成都•九年级校考阶段练习）数。的相反数为-2022的倒数，贝壮的值为（）

A.2022B.-2022C.±2022D.」一

2022

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【答案】D

【分析】先求出-2022的倒数，再求出倒数的相反数，可得。值.

【详解】解：-2022的倒数为-%工，二的相反数为°,即为小，故选D.

202220222022

【点睛】本题考查了相反数和倒数，解题的关键是掌握各自的定义和求法.

变式2.（2023・河北唐山•统考模拟预测）与一互为倒数的是（

A.——x5B.6x5D.-6x5

6

【答案】B

【分析】根据互为倒数的两数之积为1,进行判断即可.

【详解】解:

A、x5=-=w30,不符合题意；B、6x5=30,符合题意；

66

C、1x5=1^30,不符合题意；D、-6x5=-30/30,不符合题意；故选B.

66

【点睛】本题考查有理数的运算，倒数.熟练掌握互为倒数的两数之积为1,是解题的关键.

变式3.（2023•河北沧州•校考三模）若?"=1,则下列说法正确的是（）

A.机与〃互为倒数B.机与〃互为相反数C.加与“相等D.恻与网相等

【答案】A

【分析】根据倒数的定义求解即可.

【详解】解：=•••，"与〃互为倒数，故选A.

【点睛】本题考查了倒数，熟知倒数是指两个数的乘积等于1,那么这两个数互为倒数是解题的关键.

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分层练一练

A级（基础过关）

1.（2023.天津河东.统考二模）计算（-3）x5的结果等于（）

A.-15B.2C.-2D.15

【答案】A

【分析】按照有理数的乘法法则计算即可.有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝

对值相乘.

【详解】解：原式=-3x5=-15,故选：A.

【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法法则是解题的关键.注意符号不要搞错.

25

2.（2023•河北石家庄•石家庄市第四十中学校考二模）下列式子计算结果和-4,义7相等的是（）

“25「,215"2、5"52

A.-4x-x-B.-4+-x-C.-4--x-D.-4x-+-

37I3）7I3）773

【答案】C

【分析】将各个式子进行计算，再对计算结果进行比较即可得出答案.

“2514510,2540-4+1510550

【详解】解:—4-x—=----x—=------,—4x-x—=------,X—=一X—

37373372173721

20246

一+—

7321,

下歹U式子计算结果和一4gxm相等的是1_4_g]x.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.（2023春・山东泰安.九年级校考阶段练习）与实数-2023的绝对值的积为-1的是（）

A.2023B.-2023------D.---------

20232023

【答案】D

【分析】先求出-2023的绝对值，再根据有理数乘法计算法则求解即可.

【详解】解：卜2023=2023,

;2023、,/]=-1,.•.与实数一2023的绝对值的积为-1的是-焉，故选D.

【点睛】本题主要考查了绝对值，有理数乘法，熟知相关计算法则是解题的关键.

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4.(2023秋・广东深圳•七年级统考期末)^a<c<0<b,贝！()0

A.>B.<C.=D.>

【答案】A

【分析】根据多个有理数的乘法法则解答即