苏科版2024年九年级数学下册期中测试卷+答案二

期中测试卷（2）

一.选择题

1.下列关系式中y是x的二次函数的是（）

A.y=¥B.y=Jx2_]C.y=4?D.y=ax2

2.已知抛物线和直线I在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴

为直线x=-1,Pi（xi,yi）,P2（X2,y2）是抛物线上的点，P3（X3,y3）是直线

I上的点，且X3<-1<X1<X2，则yi，丫2，丫3的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

3.若y-4与x2成正比例，当x=2时，y=6,则y与x的函数关系式是（）

A.y=x2+4B.y=-x2+4C.y=--1-x2+4D.y=-^-x2+4

4.已知二次函数y=（k-2）x2+2x+l的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）

A.kN3B.k<3C.kW3且kW2D.k<2

5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子0A,。恰

为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相

同的抛物线路径落下.在过0A的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水

流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y=-x2+2x+”,则下列

4

结论:

⑴柱子0A的高度为"m；

4

⑵喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

⑶喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

⑷水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.已知x：y=5：2,则下列各式中不正确的是（）

A.曲=工B."=旦C.上工D.上=3

y2y2x+y7y-x3

7.如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,

点E是AB的黄金分割点，BE>AE,若AB=2a,则BE长为（）

A.（V5+1）aB.（V5-1）aC.（3-近）aD.（近-2）a

8.如图，在aABC中，D为AB上的一点，过点D作DE〃BC交AC于点E,过点

D作DF〃AC交BC于点F,则下列结论错误的是（）

AAD_DERDE_AErAE.BFnCE_BF

DBBFBCACCECFACBC

9.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）

A.图形中线段的长度与角的大小都保持不变B.图形中线段的长度与角的大小

都会改变C.图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D.图形中线段的

长度可以改变、角的大小保持不变

A.2对B.3对C.4对D.5对

11.如图，在梯形ABCD中，AD/7BC,对角线AC与BD相交于点0,如果SMCD：

SAABC=1：2,那么SAAOD：SABOC是()

D.1：6

12.如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a,b）对应大鱼的点（）

A.(-a,-2b)B.(-2a,-b)C.(-2b,-2a)D.(-2a,-2b)

二.填空题

13.如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m,小华的身高

约为1.8m,则旗杆的高约为m.

14.人体下半身与身高的比例越接近0.618,越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞

演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m,下半身1.02m,她应该选择穿

（精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.

16.如图，4ABC内接于。O,D是第上一点，E是BC的延长线上一点，AE交

©0于点F,若要使△ADBs^ACE,还需添加一个条件，这个条件可以

是.

17.二次函数y=-x2+2x-3,用配方法化为y=a（x-h）2+k的形式为.

18.某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100

-X)件，当*=时才能使利润最大.

三.解答题

19.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4

过点B,C两点，且与x轴的一个交点为D(-2,0),点P是线段CB上的动点，

设CP=t(0<t<10).

⑴请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

⑵过点P作PELBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，ZPBE=ZOCD?

⑶点Q是x轴上的动点，过点P作PM〃BQ,交CQ于点M,作PN〃CQ,交BQ

于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

20.如图，直线y=-与*+«分另ij与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，

ZACB=90°,抛物线y=ax2+bx+«经过A,B两点.

⑴求A、B两点的坐标；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHLBC于点H,作MD〃y

轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.

21.如图，已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线I：y=-(x

-h）2+l（h为常数）与y轴的交点为C.

⑴抛物线I经过点B,求它的解析式，并写出此时抛物线I的对称轴及顶点坐标;

⑵设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值，此时抛物线I上有两点（xi,yi）,（x2,

丫2），其中X1>X2》O,比较yi与丫2的大小；

⑶当线段0A被I只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.

22.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果想■上，那么点C为线段

ABAC

AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到"黄金分割

线"，类似地给出"黄金分割线”的定义:直线I将一个面积为S的图形分成两部分，

这两部分的面积分别为S1、S2,如果'=这，那么称直线I为该图形的黄金分割

SS]

线.

⑴研究小组猜想：在4ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示,

则直线CD是AABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；

⑵请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

23.如图，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B两点的坐标分别为A（13,0）,

B（11,12）.动点P、Q分别从0、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿

x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运

动时，点Q也同时停止运动.线段PQ和0B相交于点D,过点D作DE〃x轴，

交AB于点E,射线QE交x轴于点F.设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.

⑴当t为何值时，四边形PABQ是平行四边形.

⑵△PQF的面积是否发生变化？若变化，请求出△PQF的面积s关于时间t的函

数关系式；若不变，请求出APCIF的面积.

⑶随着P、Q两点的运动，△PQF的形状也随之发生了变化，试问何时会出现等

腰△PQF?

24.在等边^ABC中，点D为AC上一点，连接BD,直线I与AB,BD,BC分别

相交于点E,P,F,且NBPF=60°.

⑴如图⑴，写出图中所有与ABPF相似的三角形，并选择其中一对给予证明；

⑵若直线I向右平移到图（2）,图⑶的位置时（其它条件不变），（1）中的结论是否

仍然成立？若成立，请写出来（不需证明），若不成立，请说明理由；

（3）探究：如图（1）,当BD满足什么条件时（其它条件不变），EF=V3BF?请写出探

究结果，并说明理由.

(1)（2）（3）

答案

一.选择题

L下列关系式中y是x的二次函数的是（）

A.y=^-x2B.X2Tc-y=±D-y=ax2

【考点】Hl：二次函数的定义.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数的定义判定即可.

【解答】解：A、y=lx2,是二次函数，正确；

3

B、Y小可,被开方数含自变量，不是二次函数，错误；

C、丫=4，分母中含自变量，不是二次函数，错误；

X

D、a=0时，不是二次函数，错误.

故选A.

【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键.

2.已知抛物线和直线I在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴

为直线x=-1,Pi（xi，yi）,P2（X2，y2）是抛物线上的点，P3（X3,y3）是直线

A.yi<y2<y3B.y2<y3<yiC.y3<yi<y2D.y2<yi<y3

【考点】H3：二次函数的性质；H2：二次函数的图象.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】设点Po（-1,yo）为抛物线的顶点，根据一次函数的单调性结合抛物

线开口向下即可得出y3>y0,再根据二次函数的性质结合二次函数图象即可得出

yo>yi>y2;进而即可得出y2<yi<y3>此题得解.

【解答】解：设点P。（-1,yo）为抛物线的顶点，

•••抛物线的开口向下，

点Po（-1,yo）为抛物线的最高点.

•••直线I上y值随x值的增大而减小，且X3<-1,直线I在抛物线上方，

•*-y3>yo-

•.♦在x>-1上时，抛物线y值随x值的增大而减小，-l<xi<x2,

yo>yi>y2,

y2<yi<y3.

故选D.

【点评】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质以及二次函数的图象，设

点Po（-1,yo）为抛物线的顶点，根据一次（二次）函数的性质找出y2<yi<

yo<y3是解题的关键.

3.若y-4与x2成正比例，当x=2时，y=6,则y与x的函数关系式是（）

A.y=x2+4B.y=-x2+4C.y=--1-x2+4D.y=-i-x2+4

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据正比例函数的定义可设y-4=kx2,然后把x=2,y=6代入可计算出k

的值，则可得到y与x的函数关系式.

【解答】解：根据题意得y-4=kx2,

当x=2,y=6,则4k=6-4,解得k=-1-,

所以y-4=^-x2,

即y与x的函数关系式为y=lx2+4.

故选D.

【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次

函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解.一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三

元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式

来求解；当已知抛物线与X轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求

解.也考查了正比例函数的定义.

4.已知二次函数y=(k-2)x2+2x+l的图象与x轴有交点，则k的取值范围是()

A.kN3B.k<3C.kW3且kW2D.k<2

【考点】HA：抛物线与x轴的交点.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根

据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等

式组即可得出结论.

【解答】解：•.•二次函数y=(k-2)x2+2x+l的图象与x轴有交点，

・•.一元二次方程(k-2)x2+2x+l=0有解，

.%-2卉0

,A=22-4(k-2)=12-4k>0'

解得：kW3且kW2.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组,

根据根的判别式结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解

题的关键.

5.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子0A,。恰

为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相

同的抛物线路径落下.在过0A的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水

流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y=-x2+2x+3,则下列

结论:

⑴柱子0A的高度为"m；

4

⑵喷出的水流距柱子1m处达到最大高度；

⑶喷出的水流距水平面的最大高度是2.5m；

⑷水池的半径至少要2.5m才能使喷出的水流不至于落在池外.

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点(最大高度)，与

x轴，y轴的交点，解答题目的问题.

【解答】解：当x=0时，y=3,故柱子OA的高度为Hm；(1)正确；

44

*.'y=-x2+2x+—=-(x-1)2+2.25,

4

・••顶点是(1,2.25),

故喷出的水流距柱子1m处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是

2.25米；故⑵正确，⑶错误；

解方程-x2+2x+g=0,

4

MXl=--,X=—)

222

故水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，(4)正确.

故选：C.

【点评】本题考查了抛物线解析式的实际应用，掌握抛物线顶点坐标，与x轴交

点，y轴交点的实际意义是解决问题的关键.

6.已知x：y=5：2,则下列各式中不正确的是（）

A.曲=工B.三型C.上工D.上工

y2y2x+y7y-x3

【考点】S1：比例的性质.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据合比性质，可判断A,根据分比性质，可判断B,根据合比性质、

反比性质，可判断C,根据分比性质、反比性质，可判断D.

【解答】解：A、由合比性质，得曲=工，故A正确；

y2

B、由分比性质，得包=芭，故B正确；

y2

C、由反比性质，得y：x=2：5.由合比性质，得也=工,再由反比性质，得上

x5y+x

=$,故c正确；

7

D、由反比性质，得y：x=2：5.由分比性质，得空再由反比性质，得上

x5y-x

=_L,故D错误；

-3

故选；D.

【点评】本题考查了比例的性质，利用了反比性质，合比性质、分比性质，记住

性质是解题关键.

7.如图是著名画家达芬奇的名画《蒙娜丽莎》.画中的脸部被包在矩形ABCD内,

点E是AB的黄金分割点，BE>AE,若AB=2a,则BE长为（）

A.（V5+1）aB.（V5-1）aC.（3-近）aD.（近-2）a

【考点】S3：黄金分割.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接根据黄金分割的定义求解.

【解答】解：：点E是AB的黄金分割点，BE>AE,

.•.BE=35T.AB=V^V・2a=（粕-1）a.

22

故选B.

【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,

且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC）,叫做把线段AB黄金分割，

点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=Y^1AB=0.618AB,并且线段AB的

2

黄金分割点有两个.

8.如图，在aABC中，D为AB上的一点，过点D作DE〃BC交AC于点E,过点

D作DF〃AC交BC于点F,则下列结论错误的是（）

AAD_DERDE_AE「AE_BFnCE_BF

DBBFBCACCECFACBC

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再把它们等量代换，即可得

出答案.

【解答】解：：DF〃AC,

•••-A-D-.--C-F,

BDBF

：DE〃BC,

四边形DECF为平行四边形，

，DE=CF,

AD=DE,故A正确；

BDBF

•.,DE〃BC,

.\DE=AE,故B正确；

BCAC

DE〃BC,DF〃AC,

•AE=ADADCF故错误;

，，CE-BD，BD-=BFC

：DE〃BC,DF/7AC,

BD

C-E---BD_BF

B，------，

ACAB1ABBC

C-E-F

-B-

ACC,故D正确;

故选C.

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，此题比较简单，注意掌握比例线

段的对应关系是解此题的关键.

9.对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）

A.图形中线段的长度与角的大小都保持不变B.图形中线段的长度与角的大小

都会改变C.图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D.图形中线段的

长度可以改变、角的大小保持不变

【考点】S5：相似图形.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】根据相似图形的性质得出相似图形的对应边成比例，对应角相等，即可

得出答案.

【解答】解：根据相似多边形的性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等，

•••对一个图形进行收缩时，图形中线段的长度改变，角的大小不变，

故选D.

【点评】本题主要考查对相似图形的性质的理解和掌握，能熟练地根据相似图形

的性质进行说理是解此题的关键.

10.如图所示，图中共有相似三角形（)

A.2对B.3对C.4对D.5对

【考点】S8：相似三角形的判定；M5：圆周角定理.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】可以运用相似三角形的判定方法进行验证.

【解答】解：共四对，分别是△PACS^PBD、△AOCs^DOB、

△AOB^ACOD>APAD^APCB.

故选c.

【点评】主要考查相似三角形的判定方法的掌握情况.

11.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,对角线AC与BD相交于点O,如果SMCD：

SAABC=1：2,那么SAAOD：SABOC是（）

【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LH：梯形.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】首先根据：：可得然后根据相似三角形

SMCDSAABC=12,AD：BC=1：2；

的面积的比的等于它们的相似比的平方，求出SAAOD：S^BOC是多少即可.

【解答】解：•在梯形中，而且：：

ABCDAD〃BC,SMCDSAABC=12,

AAD：BC=1：2；

•.,AD〃BC,

.♦.△AOD〜△BOC,

VAD：BC=1：2,

SAAOD：SABOC=1：4.

故选：B.

【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质的应用，以及梯形的特征和应

用，要熟练掌握.

12.如图，已知小鱼与大鱼是位似图形，则小鱼的点（a,b）对应大鱼的点（）

【考点】SC：位似变换；D5：坐标与图形性质.

【专题】选择题

【难度】易

【分析】直接利用位似图形的性质得出位似比，进而得出答案.

【解答】解：由图形可得，小鱼与大鱼的位似比为：1：2,

则小鱼的点（a,b）对应大鱼的点为：（-2a,-2b）.

故选：D.

【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出位似比是解

题关键.

二.填空题

13.如图，在同一时刻，测得小丽和旗杆的影长分别为1m和6m,小华的身高

【考点】SA：相似三角形的应用.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】由小丽与旗杆的长度之比等于影子之比求出所求即可.

【解答】解：根据题意得：上电=三，

解得：x=10.4,

则旗杆的高约为10.4m,

故答案为：10.4

【点评】此题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的

关键.

14.人体下半身与身高的比例越接近0.618,越给人美感.遗憾的是，即使芭蕾舞

演员也达不到如此的完美.某女士身高1.68m,下半身1.02m,她应该选择穿

（精确到0.1cm）的高跟鞋看起来更美.

【考点】S3：黄金分割；1H：近似数和有效数字.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】设她应选择高跟鞋的高度是xcm,根据黄金分割的定义，列出方程直接

求解即可.

【解答】解：设她应选择高跟鞋的高度是xcm,则

102+x=o618,

168+x

解得：x^4.8cm.

经检验知x^4.8是原方程的解,

答：她应该选择穿4.8cm的高跟鞋看起来更美.

故本题答案为：4.8.

【点评】此题主要考查了黄金分割，据题黄金分割的定义列出方程是本题的关

键.注意身高不要忘记加上高跟鞋的高度.

【考点】S4：平行线分线段成比例.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】如图，首先证明△ADEs^ABC,列出比例式即可解决问题.

【解答】解：如图，：DE〃BC,

.,.△ADE^AABC,

•••-E--A----D-E----4-,

AC-BC-5

故答案为4：5.

【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；牢固掌握平行

线分线段成比例定理、准确找出图形中的对应线段是解题的关键.

16.如图，AABC内接于。O,D是第上一点，E是BC的延长线上一点，AE交

©0于点F,若要使△ADBs/XACE,还需添加一个条件，这个条件可以

【考点】S8：相似三角形的判定；M6：圆内接四边形的性质.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据圆内接四边形的性质得到NADB=NACE,然后可以根据有两组角对

应相等的两个三角形相似添加条件.

【解答】解：•••四边形ADBC为。。的内接四边形，

AZADB=ZACE,

当NDAB=NCAE时，AADB^AACE.

故答案为NDAB=NCAE.

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边

相交,所构成的三角形与原三角形相似;三组对应边的比相等的两个三角形相似;

两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两

个三角形相似.也考查了圆内接四边形的性质.

17.二次函数y=-x2+2x-3,用配方法化为y=a(x-h)2+k的形式为.

【考点】H9：二次函数的三种形式.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】直接利用配方法表示出顶点式即可.

【解答】解：：y=-x2+2x-3

=-(x2-2x)-3

=-(x-1)2-2.

故答案为：y=~(x-1)2-2.

【点评】此题主要考查了二次函数的三种形式，正确配方法是解题关键.

18.某种商品的进价为40元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(100

-x)件，当x=时才能使利润最大.

【考点】HE：二次函数的应用.

【专题】填空题

【难度】中

【分析】根据题意可以得到利润与售价之间的函数关系式，然后化为顶点式即可

解答本题.

【解答】解：设获得的利润为w元，由题意可得，

w=(x-40)(100-x)=-(x-70)2+900,

.,.当x=70时，w取得最大值，

故答案为：70.

【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件.

三.解答题

19.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为(10,0),抛物线y=ax2+bx+4

过点B,C两点，且与x轴的一个交点为D(-2,0),点P是线段CB上的动点,

设CP=t(0<t<10).

⑴请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；

⑵过点P作PELBC,交抛物线于点E,连接BE,当t为何值时，ZPBE=ZOCD?

⑶点Q是x轴上的动点，过点P作PM〃BQ,交CQ于点M,作PN〃CQ,交BQ

于点N,当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由抛物线的解析式可求得C点坐标，由矩形的性质可求得B点坐标,

由B、D的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

⑵可设P(t,4),则可表示出E点坐标，从而可表示出PB、PE的长，由条件可

证得△PBEs^ocD,利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；

⑶当四边形PMQN为正方形时，则可证得△COQs^QAB,利用相似三角形的性

质可求得CQ的长，在RtABCQ中可求得BQ、CQ,则可用t分别表示出PM和

PN,可得到关于t的方程，可求得t的值.

【解答】解：

⑴在y=ax2+bx+4中，令x=0可得y=4,

AC(0,4),

:四边形OABC为矩形，且A(10,0),

AB(10,4),

1

100a+10b+4=4a一3

把B、D坐标代入抛物线解析式可得(解得,

4a-2b+4-0

抛物线解析式为y=-lx2+-^x+4；

63

(2)由题意可设P(t,4),则E(t,-lt2+^-t+4),

63

PB=10-t,PE=-lt2+-^-t+4-4=-lt2+At,

6363

VZBPE=ZCOD=90°,ZPBE=ZOCD,

.,.△PBES/XOCD,

/.BP=P1,即BP・OD=CO・PE,

COOD

：.2(10-t)=4(-lt2+-^-t),解得t=3或t=10(不合题意，舍去),

63

.•.当t=3时，ZPBE=ZOCD；

⑶当四边形PMQN为正方形时，贝l]NPMC=NPNB=NCQB=90。，PM=PN,

AZCQO+ZAQB=90°,

VZCQO+ZOCQ=90",

NOCQ=NAQB,

RtACOQ^RtAQAB,

ACO=OQ(gpOQ»AQ=CO»AB,

AQAB

设0Q=m,贝UAQ=10-m,

m(10-m)=4X4,解得m=2或m=8,

①当m=2时，CQ=,0C2+OQ2=2&,BQ=,AQ2+AB2=4泥,

.，.sinNBCQ®=^Xsin/CBQ=%^,

BC5CB5

.,.PM=PC»sinZPCQ=±^-t,PN=PB«sinZCBQ=^(10-t),

55

...氏巳=匹(io-1),解得t=世，

553

②当m=8时，同理可求得t=型，

3

・•.当四边形PMQN为正方形时，t的值为此或空.

33

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及矩形的性质、待定系数法、相似三角

形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形、方程思想等知识.在⑴中注意利

用矩形的性质求得B点坐标是解题的关键，在⑵中证得△PBEs/iOCD是解题的

关键，在⑶中利用RgCOQsRQQAB求得CQ的长是解题的关键.本题考查知

识点较多，综合性较强，难度较大.

20.如图，直线y=-与x+y分另U与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，

ZACB=90°,抛物线y=ax2+bx+遂经过A,B两点.

⑴求A、B两点的坐标；

⑵求抛物线的解析式；

⑶点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M作MHLBC于点H,作MD〃y

轴交BC于点D,求△DMH周长的最大值.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】(1)由直线解析式可求得B、C坐标，在RtABOC中由三角函数定义可求

得ZOCB=60°，则在Rt△AOC中可得NACO=30°，利用三角函数的定义可求得0A,

则可求得A点坐标；

⑵由A、B两点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；

⑶由平行线的性质可知NMDH=NBCO=60。，在RtaDIVIH中利用三角函数的定义

可得到DH、MH与DM的关系，可设出M点的坐标，则可表示出DM的长，从

而可表示出△DMH的周长，利用二次函数的性质可求得其最大值.

【解答】解：

(I)：•直线y=-返x+遂分另U与x轴、y轴交于B、C两点，

3

AB(3,0),C(0,5)，

.*.0B=3,OC=A/3>

AZBCO=60°,

VZACB=90",

ZACO=30°,

.,.^O.=tan30°=^l,即塌=也，解得AO=1,

CO3V33

AA(-1,0)；

⑵：抛物线y=ax2+bx+«经过A,B两点，

f=V3

...[a-b+F]，解得J

19a+3b+V3=0,2V3

伊丁

•，•抛物线解析式为y=-1x2+2国x+近；

33

(3)：MD〃y轴，MH±BC,

AZMDH=ZBCO=60",贝ljNDMH=30°,

.•.DH」DM,MH=^DM,

22

.♦.△DMH的周长=DM+DH+MH=DM+LDM+返DM=^i^DM,

222

当DM有最大值时，其周长有最大值，

点M是直线BC上方抛物线上的一点，

，可设M（t,-乎12+当“遮），则D（t,-率+遮），

.,.DM=-返t2+^Zlt+«）,则D（t,-返t+遂），

333

DM=-*t2+当lt+5-（-*t+5）=-^-t2+V3t=-乎（t-慨）2+^^.,

.•.当t=2时，DM有最大值，最大值为曳1,

24

此时3+遥DM=3+FX3愿=%'3+’,

2248

即aDIVIH周长的最大值为士叵电.

8

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角函数的定义、二次

函数的性质、方程思想等知识.在⑴中注意函数图象与坐标的交点的求法，在⑵

中注意待定系数法的应用，在⑶中找到DH、MH与DM的关系是解题的关键.本

题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.

21.如图，已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线I：y=-(x

-h）2+l（h为常数）与y轴的交点为C.

⑴抛物线I经过点B,求它的解析式，并写出此时抛物线I的对称轴及顶点坐标;

⑵设点C的纵坐标为yc,求yc的最大值，此时抛物线I上有两点（xi,yi）,（x2,

丫2），其中X1>X2》O,比较yi与丫2的大小；

⑶当线段0A被I只分为两部分，且这两部分的比是1：4时，求h的值.

【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H7：二次函数的最值.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】⑴把x=2,y=l代入二次函数的解析式计算，得到解析式，根据二次函

数的性质得到抛物线I的对称轴及顶点坐标；

⑵根据坐标的特征求出加，根据平方的非负性求出火的最大值，根据二次函数

的性质比较yi与丫2的大小；

⑶根据把线段0A分1：4两部分的点是（-1,0）或（-4,0）,代入计算即可.

【解答】解：⑴把x=2,y=l代入y=-（x-h）2+1,得：h=2,

解析式为：y=-（x-2）2+1,

对称轴为：x=2,顶点坐标为：（2,1）；

2

（2）点C的横坐标为0,则yc=-h+l,

・•.当h=0时，yc有最大值为1,

此时，抛物线为：y=-x2+l,对称轴为y轴，

当x>0时，y随着x的增大而减小，

.'.xi>X2》0时，yi<yz；

⑶把线段OA分1：4两部分的点是（-1,0）或（-4,0）,

把x=-1,y=0代入y=-（x-h）2+1,得：h=0或h=-2.

但h=-2时，线段OA被分为三部分，不合题意，舍去，

同样，把x=-4,y=0代入y=-（x-h）2+l,

得：h=-5或h=-3（舍去），

Ah的值为0或-5.

【点评】本题考查的是二次函数的最值的确定、待定系数法的应用，灵活运用待

定系数法求出二次函数的解析式、熟记二次函数的性质是解题的关键.

22.如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果空■更，那么点C为线段

ABAC

AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到"黄金分割

线"，类似地给出"黄金分割线”的定义:直线I将一个面积为S的图形分成两部分，

这两部分的面积分别为Si、S2,如果&=此，那么称直线I为该图形的黄金分割

SS]

线.

⑴研究小组猜想：在4ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示,

则直线CD是AABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；

⑵请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.

【考点】S3：黄金分割；K3：三角形的面积.

【专题】解答题

【难度】难

【分析】⑴结合线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析计算；

⑵根据三角形的中线的概念可知分成的两个三角形的面积相等，显然不符合黄

金分割线的概念.

【解答】解：VSaacdA型,

^AABC皿2AACD皿

又是AB的黄金分割点，

•ADBD

,*AB^AD，

SAABCSAACD

/.CD是4ABC的黄金分割线；

⑵不是.

VCD>AABC的中线,

，AD=DB,

•SAACD_1

^AABC2

而SABCD=L

SAACD

•SAACDfSABCD

••-/------------------，

SAABCSAACD

...中线不是黄金分割线.

【点评】主要考查的是线段的黄金分割点的概念和三角形的面积公式.

23.如图，在直角梯形OABC中，OA〃BC,A、B两点的坐标分别为A(13,0),

B(11,12).动点P、Q分别从0、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿

x轴向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC方向运动；当点P停止运

动时，点Q也同时停止运动.线段PQ和OB相交于点D,过点D作DE〃x轴，

交AB于点E,射线QE交x轴