江苏省2024高考数学二轮复习 二级结论巧用 学案

必备四二级结论巧用

结论一函数的奇偶性

1.奇函数与偶函数的定义域关于原点对称.

2.函数f(x)为奇函数,且在x=0处有定义,则f(0)=0.

3.假如f(x)为偶函数,那么f(x)=f(|x|).

4.奇函数在对称的区间内有相同的单调性,偶函数在对称的区间内有不同的单调性.

跟踪集训

1.定义在R上的奇函数f(x)满意：当x》0时,f(x)=log2(x+2)+(a-1)x+b(a,b为常数)，若f(2)=-1,贝！If(-6)

的值为.

2.已知偶函数f(x)在区间［0,+8)上单调递增，则满意f(2xT)<fQ的x的取值范围是.

3.设奇函数f(x)在(0,+8)上为增函数,且f(2)=0,则不等式(-的解集

为.

结论二函数的单调性、极值与最值

1.函数的单调性

(1)Vxi,xzGD,xi#xz,—(“\"〉o«0)=y=f(x),xCD单调递增(递减).

I-2

(2)复合函数的单调性：“同增异减”；单调区间是定义域的子集.

(3)f(x)在(a,b)上是增函数nf,(x)在区间(a,b)上恒成立;f(x)在(a,b)上是减函数=f'(x)WO

在区间(a,b)上恒成立.

留意:①等号不能少;②逆命题不成立;③单调区间不能用“U”连接.

(4)f(x)在(a,b)上存在单调递增区间nf'(x)>0,xeD有解.

(5)存在xi,X2£D,XHX2,f(xi)=f(x2)=y=f(x),xGD不单调.

2.函数的单调性与极值：(1)函数f(x)有三个单调区间=f(x)有两个极值点Qf'(x)=0有两个不等

根;

⑵函数f(x)在［a,b］上不单调of(x)在(a,b)上有极值点,可求出f(x)的极值点xoe(a,b).

o^D,f(o)=M,

3.函数的最值:函数f(x)在D上的最大值为Mo函数f(x)在D上的最

()<,恒成立.

oeD,f(o)=m,

小值为

()>,e恒成立.

跟踪集训

4.设f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,上的单调增函数，则m的值为

5.已知函数f(x)=|X2-4I+aIx-21,xG[-3,3]的最大值是0,则实数a的取值范围是.

32

6.已知函数f(x)=x-x+mx+2,若对随意Xi,x?GR,均满意(xi-x2)[f(xi)-f(x2)]>0,则实数m的取值范围

是.

2

7.已知函数f(x)4：+ax(x<1),若存在x?GR,且xiWxz,使得f(x。=f(x2)成立,则实数a的取值范

i2-5(>r),

围是■

结论三抽象函数的周期性与单调性

1.函数的周期性

(1)若函数f(x)满意f(x+a)=f(x-a),则f(x)为周期函数,2a是它的一个周期.

(2)设f(x)是R上的偶函数,且图象关于直线x=a(a/0)对称,则f(x)是周期函数,2a是它的一个周

期.

(3)设f(x)是R上的奇函数,且图象关于直线x=a(aWO)对称,则f(x)是周期函数,4a是它的一个周

期.

(4)f(x+a)f(x)=k(a>0)、f(x+a)+f(x)=k(a>0)(k为常数)都表明函数f(x)是周期为2a的周期函数.

2.函数图象的对称性

(1)若函数f(x)满意f(a+x)=f(a-x),即f(x)=f(2ar),则f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)若函数函x)满意f(a+x)=-f(a-x),即f(x)=-f(2a-x),则f(x)的图象关于点(a,0)对称.

(3)若函数f(x)满意f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=+对称.

⑷若f(x+a)+f(b-x)=c,则函数y=f(x)的图象关于点(小，彳)对称.

跟踪集训

8.奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f⑻+f(9)=.

9.若偶函数f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(3)=3,则f(-l)=.

10.函数f(x)对随意xGR都有f(x+2)=f(-x)成立,且函数y=f(x-l)的图象关于点(1,0)对称,f(1)=4,则

f(2024)+f(2024)+f(2024)的值为.

结论四函数零点

1.一元二次方程实根分布理论:一元二次方程的两个实根分布在同一区间上的条件:开口方向、对称

轴、判别式、区间端点的函数值的符号;两个实根分布在两个不同区间上的条件:开口方向、区间端点的

函数值的符号.

2.函数有零点(方程有解)问题,利用分别参数法将参数的取值范围转化为函数值域求解.

3.确定函数的零点个数或者已知函数的零点个数,求参数的值或范围,一般利用数形结合法求解,画

图形时尽量是动直线与定曲线的图形.

跟踪集训

H.已知函数f(x)=1?，x<：，若函数y=f(x)-m有两个不同的零点,则实数m的取值范围

［10g3(x+1),x>2,

是.

12.已知函数f(X)=3X-32JII在［T,1］上有零点，则实数m的取值范围是.

13.己知函数f(x)=1*'X：2，、”(a为常数,e为自然对数的底数)的图象在点A(O,1)处的切线

与该函数的图象恰好有三个公共点,则实数a的取值范围是.

结论五三角函数

l.sin(,+a)4户sin(=2),

I211(-l*cos(=2+1);

_/\((-l)ycos(=2),

2.cost——Fa)="!+1

'271(-1)—sin(=2+1);

3.asina+bcosa~以^sin(a+0)(协助角巾所在象限由点(a,b)所在象限确定,tan。=—).

4.求三角函数在给定范围上的单调区间：一般是求出全部的单调区间,再与给定区间取交集.

5.正弦函数、余弦函数最值的等价说法:f(a)Wf(x),Vx成立等价于f(a)是f(x)的最小值,x二a是

函数的一条对称轴.

跟踪集训

14.已知角a的始边为x轴正半轴，终边上一点P的坐标为(-4,3),则濡)、>9”:的值

为.

15.设a,gG［0,兀］,且满意sinacosB一cosasinB=1,则sin(2a-0)+sin(a-2B)的取值范围

为.

16.设f(x)=sin2x-V3cosxcos^+»则f(x)在"上的单调增区间为.

结论六解三角形

1.sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C);

2.A>B=sinA〉sinB,cosA〈cosB(要会证明);

3.tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC;

4.对锐角三角形的理解和应用:三个角都是锐角的三角形;随意两个角的和是钝角的三角形;在锐角

三角形中，随意一个角的正弦值大于其余两个角的余弦值,随意两边的平方和大于第三边的平方,即

(2+2>2,

sinA>cosB,sinA>cosC,<2+2>2,

2>2.

跟踪集训

17.在斜AABC中，若tanA:tanB:tanC=l：2：3,则cosA=.

18.锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA.

⑴求B的大小；

(2)求cosA+sinC的取值范围.

结论七不等式

1-2+<:wj:(a,b>0).

2.(l)xyW―i—;(2)xyW(——);(3)当x〉0时,x+!22;

(4)当x,y同号时,一+—22;当x,y异号时,一+—W-2.

3.不等式恒成立、有解问题:二次不等式在R上恒成立,利用判别式;若给定区间,则分别参数是常用

方法.通过分别参数,不等式恒成立问题可以转化为a<f(x),xGD恒成立,则a<f(x)min.x^D;若是

a<f(x),x£D有解,则a<f(x)mM,xGD.假如不能分别参数,则利用函数的最值或图象求解最值,如

f(x)〉0,xeD恒成立，即为f(x)n,i„>0,xeD.

跟踪集训

19.若在区间［1,3］内，存在实数满意不等式Zx'+mx-lVO,则实数m的取值范围是.

20.不等式a，8b2与Ab(a+b)对随意a,bGR恒成立，则实数X的取值范围为.

21.已知实数x,y满意x?+y2=l,则的最小值为.

22.若a>0,b>0,且2a+b=l,则S=2A/-(4a2+b2)的最大值是.

结论八平面对量

1.三点共线的判定

A,B,C三点共线=一'共线；向量.中,A,B,C三点共线Q存在实数a,B使得

=a(+3)，且a+6=1.

2.三角形“四心”的向量形式的充要条件

设0为4ABC所在平面上一点,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,则

(l)O^AABC的外心。

2sin2sin2sin

(2)0为AABC的重心Q^+=0.

(3)0^jAABC的垂心=*•=>・"二>•\

(4)0为AABC的内心*+b*+c-0.

3.向量中线定理:4ABC中，点D为BC的中点,则—*+—=2—\

4.||a|-|b||W|a-b|W|a|+|b|,留意等号成立的条件.

5.若a,b都是非零向量，则a〃boa=入b=xiy2=X2yi=夹角等于0°或180°o|a・b|=|a||b|.

6.若a,b都是非零向量,则a_Lb=a,b=00xiX2+yiy2=0=夹角等于90°«|a+b|=|a-b|.

7.数量积的其他结论:当a与b同向共线时,a•b二|a|・|b|;当a与b反向共线时,a•b二-|a|•|b|;

当a与b共线时，|a•b|=|a|•|b|;当a与b为随意向量时，|a・b|=|a|•|b|•|cos。|W|a|•|b|(0

为a与b的夹角)；a与b的夹角为锐角的充要条件是［,=?彳+丫小2>“

(x1y2-x2y1丰0.

a与b的夹角为钝角的充要条件是［,=?；2+丫也<。，

(x1y2-x2y1W0.

跟踪集训

23.已知A,B,C是直线1上不同的三个点，点0不在直线1上,则使等式x2—（+x-）+-=0成立的实数

x的取值集合为.

24.P是4ABC所在平面内一点,若一'•一=―'-一=—,•一则P是4ABC的.（填

“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种）

25.已知A,B,C是平面上不共线的三点，动点P满意一中（1-入）—Ml-入）-<+（1+2入）—1XeR,

则点P的轨迹肯定经过AABC的.（填“外心”“重心”“内心”“垂心”中的一种）

结论九等差数列

1.在等差数列｛a„｝中，ap=q,aq=p（pWq）=>ap+g=0;Sm+„=Sm+S„+mnd.

2.若Sm,S2m,弱分别为｛aj的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm,S2sS3t>盘“成等差数列.

3.若等差数列｛a„｝的项数为2m,公差为d,全部奇数项之和为S奇,全部偶数项之和为S假,则全部项之

和S2nl=m（am+am+i）,S假-S#=md,——=----.

偶+1

4.若等差数列｛aj的项数为2m-1,全部奇数项之和为S奇,全部偶数项之和为S假,则全部项之和

=-_=

S2m-i（2m1）am,S奇umam,S倜=（ml）am,S奇—Sfgam,——=——

fST

跟踪集训

26.等差数歹！J｛aj的前n项和为S„,若Sio=2O,S20=50,贝|Sso=.

27.一个等差数列的前12项和为354,前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27,则该数列的公

差为.

结论十等比数列

1.等比数歹!J｛a„｝的前n项和为Sn,若Sm,S2„-Sm）SSLS2.均不为0,贝|Sm,S2m-Sm>SSLSZH成等比数歹U.

2.S*=S计q-S^Sn+qS,.

3.在有限等比数列瓜｝中，公比为q,全部奇数项之和为S奇,全部偶数项之和为S假.若n为偶数,则S

<H=qS奇；若n为奇数，贝ljSij=ai+qS修

4.假如数列｛aj是等差数列，那么数列｛｝（总有意义）必是等比数歹U.假如数列｛aj是等比

数列,那么数列｛loga|an|｝（a>0,且a/l）必是等差数列.

跟踪集训

28.在等比数列｛aj中，若Sio=lO,Szo=3O,贝US3o-.

29.数列｛a„｝中，2+i=4an,ai=l,a„>0,则a„=.

30.等比数列｛aj共有奇数项,全部奇数项和S奇=255,全部偶数项和S斫T26,末项是192,则首项

3.1-.

结论十一直线与圆

1.阿波罗尼斯圆:若点A、B是定点,M是动点,且MA=kMB,k>0,kWl,则动点M的轨迹是圆(阿波罗尼

斯圆).

2.定点A到动直线1的距离等于定长的直线1是以A为圆心,定长为半径的圆的切线.

3.以AB为直径的圆经过点C,则ACLBC,可以利用斜率或向量求解.

4.对角互补的四边形有外接圆.

5.以A(xi,yj,B(xz,y?)为直径两端点的圆的方程为(X-XI)(x-X2)+(y-yJ(y-yz)=0.

6.过圆々七尸+6-^^行上一点(x0,yo)的切线方程为(x-a)(x()-a)+(y-b)(yo-b)=r；过圆外一点可以

作圆的两条切线.

7.过圆内肯定点的弦长最长的有1条,是过该点的直径,最短的弦有1条,是垂直于过该点直径的弦.

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31.若A(l,1),B(3,4),且点A和B到直线1的距离都等于1,则这样的直线1有条.

32.已知圆M:(x-l)2+(y-l)M,直线l:x+y-6=0,A为直线1上一点.若圆M上存在两点B,C,使得

ZBAC=60°,则点A横坐标的取值范围是.

33.在平面直角坐标系xOy中，已知圆Oi,圆均与x轴相切且圆心01,02与原点0共线,0),02两点的横坐

标之积为6,设圆。与圆0?相交于P,Q两点，直线l:2x-y-8=0,则点P与直线1上随意一点M之间的距离

的最小值为.

结论十二圆锥曲线

1.椭圆中的常用结论：(1)焦点弦长公式:左焦点弦AB=2a+e(xi+x2);右焦点弦AB=2a-e(xi+x2);(2)通

92022

径长为(3)焦点三角形的面积S=b2tany；(4)若A、B是椭圆C:「+「=l(a>b〉0)上关于坐标原点对称的

2

两点,P为椭圆C上随意一点，则kPAkPB=--.

2

2.双曲线中焦点三角形的面积S=——.

tan5

22

3.若点M(x0,y。)在曲线土上,则过M的切线方程为T土

4.过抛物线/=2Px(p>0)焦点的弦AB有如下结论：

2c9

(1)XA•XB=—;⑵y«•yB=-p;⑶|ABI=「一(a是直线AB的倾斜角).

4sin"a

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34.设P是有公共焦点Fl,F2的椭圆G与双曲线C2的一个交点,且PF」PFz,椭圆C1的离心率为ei,双曲线

C2的禺心率为©2,若©2—3ei,贝!J61—.

22

35.已知椭圆(a>b〉O),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上随意一点，且直线PM,PN的

斜率分别为kbk?(khWO),若椭圆的离心率为',贝1kJ+1kz|的最小值为.

36.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,0为坐标原点,则aOAB

的面积为.

答案精解精析

结论一函数的奇偶性

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1.答案4

解析由已知得f(O)=O=l+b,

/.b=-l,又f⑵=2+2(a-l)-l=-l,

a=0,/.f(x)=log2(x+2)-x-l(x^O),

.*.f(-6)=-f(6)=-3+6+l=4.

2.答案g,I)

解析由f(X)是偶函数知f(x)=f(-X)=f(IxI),则f(2X-1)<fC)=f(2X-11)<fQ),结合f(x)在[0,+8)

上单调递增得|2x-1解这个不等式得,x的取值范围是(；，

3.答案(-2,0)U(0,2)

解析由已知得,函数f(x)在(-8,0)上也为增函数.画出函数的草图(如图)，可得在(-2,0)和⑵+8)上

f(x)>0,在(-8,-2)和(0,2)上f(x)<0.当x>0时，由()—「)〈0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)<0,结合图象

可知,xG(0,2);当x<0时，由一——---<0,可得f(x)-f(-x)=2f(x)>0,结合图象可知xG(-2,0).综

上，xe(-2,0)U(0,2).

结论二函数的单调性、

极值与最值

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4.答案6

解析由f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m,n£R)是R上的单调增函数，得f'(x)=12x2+2mx+m-320在R上恒成

立,则4m2-48(m-3)W0,即(m-6)Wo,故m=6.

5.答案(—,-5]

解析易知f⑵=0,则要使f(x),xe[-3,3]的最大值是0,只需f(x)WO,Xe[-3,3]恒成立,则

2

-a|x-212|X-4I,x£[-3,3],-|x+21max-5,x£[-3,2)U(2,3],所以a,〈-5,实数a的取值范围是

(-8,-5],

6.答案[g,+8)

32

解析由对随意Xi,X2^R,均满意(X1-X2)[f(xi)-f(X2)]>0,得函数f(x)=x-x+mx+2在R上递增，贝！J

f'(x)=3x2-2x+m20在R上恒成立,贝Um2(-3/+2动心,当x=1时取等号,故实数m的取值范围是区+

7.答案(-8,4)

解析由mxiWxz,X1,xzGR,f(xj=f(xz),得f(x)在R上不单调.若f(x)在R上单调，只能单调递增,此时

{>0,解得a》4,故函数不单调时实数a的取值范围是a〈4.

(-1+<2-5,

结论三抽象函数的

周期性与单调性

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8.答案1

解析因为f(x)为R上的奇函数，所以f(-x)=-f(x),f(0)=0.因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2),

所以f(x+4)=f(-x)=-f(x),所以f(x+8)=f(x),即函数f(x)的周期为8,故f(8)+f(9)=f(0)+f(1)=1.

9.答案3

解析因为f(x)的图象关于直线x=2对称，

所以f(x)=f(4-x),f(-x)=f(4+x),

又f(-x)=f(x),所以f(x)=f(4+x),

则f(-l)=f(4-l)=f(3)=3.

10.答案4

解析因为函数y=f(x-l)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x)是R上的奇函数.因为f(x+2)=-f(x),所以

f(x+4)=-f(x+2)=f(x),故f(x)的周期为4.所以f(2024)=f(504X4+1)=f(1)=4,又因为

f(2024)+f(2024)=-f(2014)+f(2014+4)=-f(2014)+f(2014)=0,所以f(2024)+f(2024)+f(2024)=4.

结论四函数零点

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11.答案(1,+8)

解析画出函数y=f(x),y=m的图象如图，由图象可得当m>l时，函数y=f(x)-m有两个不同的零点.

12.答案[-6,|]

解析令3=t,te[l,3],则函数f(x)=3'-3"-m在[T,1]上有零点QirF-tlt,teg,3],则me[-6,非

13.答案[-5,-2V2-2)

解析曲线f(x)在点(0,1)处的切线方程为y=x+l,该切线与f(x)的图象恰有三个公共点，则该切线与

f(x)=(l-x)(a+x),x22有两个不同交点，即关于x的方程x+l=(l-x)(a+x),x£[2,+8)有两个不等根,整

(=2-4(1-a)>0,

理得x2+ax+l-a=0,x£[2,+8)有两个不等根,所以卜万>2

(4+2+1->0,

解得-5

结论五三角函数

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14.答案-

解析由已知得,tana3

cos(}+a)sin(-n-)

则cos(A^-a)sin(^+a)

-sin2a

cos(*a)sin(T+a)

.9.9

一sin”a一sin”a3

=tana=一一.

-cos(y-a^cos-sincos4

15.答案[-1,1]

解析由sinacosB一cosasinB=sin(a-P)=1,a,8£析n]，得a-B胃,所以a二B+y,B=a-y.

所以sin(2a-6)+sin(a-26)=sinl+T)+sin('-B)=cosa+cosB=cosB+cos+

y^=cosB-sin8=V2cos^+?),由a,Bw[0,n],a=0+—得6e[o,y],则B+ye[Y»；]，

贝！Jcos(+在修，升

所以施cos(+g£[-i,i].

16.答案[0,y]

解析f(x)=-cc^2'+V3cosxsinx=ysin2x-|cos2x+|=sin^2一孑)+；，由2k兀一，W2x-^W2k兀+，，k£Z得

knn+pkGZ,与[O,9取交集得所求递增区间是何y].

结论六解三角形

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17.答案f

解析设tanA=k,k>0,则tanB=2k,tanC=3k,由

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得6k=6k3,k=l,则tanA=l,则

A.,COsA=y.

1•,jr

18.解析(1)由a=2bsinA得sinA=2sinBsinA,因为sinAWO,所以sinB=-,又B是锐角，则B=小.

(2)cosA+sinC=cosA+sin(A+B)=cosA+sin(+2)=[sinA+|cosA=V5sin(+£)，又由AABC为锐角三角

[0<<-,

形得n5.A"则苫A4，

3

(0<=--A<7>2

则A+谷缺，豹,

6sin(+£)e停,3，

即cosA+sinC的取值范围是停，g).

结论七不等式

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19.答案m<-l

解析由题意知,不等式m<--2x(xe[1,3]),易知函数y=--2x,xe[1,3]单调递减,则y»ax=-l,即

实数的取值范围是m〈-l.

20.答案[-8,4]

22

解析由题意知a-Xab+(8-X)b^0VaGR恒成立,则

△=入"b~-4(8-A)b-W0,即入?+4入-32W0,解之得-8W入W4,即实数人的取值范围是[-8,4].

21.答案-V2-1

解析2xy=(x+y)2-(x2+y2)=(x+y)2-1=(x+y+1)•(x+y-1),又(一^—)W―i—，所以

22

^?=x+y-l^-V2(+)-l=-V2-l,当且仅当x=y时取等号.故三%的最小值为-方-1.

22.答案等

解析由J。•，得加一弓,且4a西斗所以

S=2V-(4a+b2)=V2•V2-(4a+b2)^4当且仅当2a=b千寸取等号，即S的最大值为

结论八平面对量

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23.答案{-1}

解析\

x2>+x*+--0,

即--X2>+(1-X)\

点A、B、C都在直线1上，点。不在1上，

/.-X2+(1-X)=l,

即x=0(舍去)或x=T,

••.X的取值集合为{T}.

24.答案重心

解析由',-'•>,可得<*(->)=0,即(*-0,/.\同理可

证:\.'.P是4ABC的垂心.

25.答案重心

解析取AB的中点D,

则2—=->+—>,

(1-入)*+(1-A))+(1+2A),

•••一胃［2(广入)-X1+2A)-—>+*—:

.*.2(1-)1'+2-L•

33

••.P,C,D三点共线，

.•.点P的轨迹肯定经过4ABC的重心.

结论九等差数列

跟踪集训

26.答案90

解析(Szo-Si。)-Si°=(S3o-S2o)-(S2o-Slo),则S3O=3S2O-3S1O=3X50-3X20=90.

27.答案5

解析设该等差数列的前12项中奇数项的和为S奇,偶数项的和为S儆公差为d.

奇+偶=354,

由已知条件，得

=32：27,

l偶•奇

=192,

偶

解得

=162.

奇

又Sffl-s«=6d,

192-162

所以d=------=5.

6

结论十等比数列

跟踪集训

28.答案70

解析解法——：•.,Su)=ai+a2+…+aio,

lolololo

S2o-Sio=aii+ai2+--+a2o=aiq+a2q+--+aioq=qSio,

S30-S2o=@21+822+,,,+a3o=aiq2O+a2q2°+,,•+aioq20zzq20S10,

10

•••Si。，S2o-Sio,S3LS2。成等比数歹!J,公比为q.

(S20—Sio)~=S10(S301s20),

VSio=lO,S2O=3O,

(30-10)=10(Sao-30),.\S3O=7O.

解法二：：SIO=1O,S2O=3O,

S2o-Sio+aii+ai2+，•,+a2o

10.101,,,।10

=bio+aiq+@2q++aiOq

=Sio+q1OSio=lO(l+qlo)=3O,

••­q10=2Q,

・・S30=S2o+a21+a22+—・+a3O

_Q।100i20G

二Sio+qSio+qSio

=10(l+q10+q2°)

=70.

29.答案22-©

2

解析对于+i=4an,等号两边取以2为底的对数得,21og2an+i=log2an+2.

——

令bn—log2an,则2bn+l—bn+2,即2(bn+l2)—bn2.

令Cn=bn-2,则Cn+F|Cn,

Vai=l,.*.bi=O,Ci=-2,

｛Q｝是首项为-2,公比为T的等比数列，

22

,\b„=2-g)-,an=2"©".

30.答案3

解析等比数列｛aj共有2k+l(kGN)项，贝!J&2k+i=192,贝!]S#=ai+a3+,>,+a2k-i+a2k+i=一(a2+a&+…+azk)+a2k+i=—S

11

(S+a2k+i=-—+192=255,解得q=-2,而S巾='+二T了「=255,解得ai=3.

1-21-(-2)

结论十一直线与圆

跟踪集训

31.答案4

解析由题意可得直线1与圆A:(x-l)2+(y-l)2=l和圆B:(x-3)2+(y-4)2=l都相切,又AB=V13>2,则圆A

和圆B相外离,所以两圆有4条公切线，即直线1有4条.

32.答案[1,5]

解析由题意可得过点A作圆M的两条切线,则两切线之间的夹角大于等于60°,连接CM,则CM与一条

切线的夹角大于等于30°,又圆M的半径为2,

设A(x,6-x),

则MA=J(-I)?+(5-x/W4,

解得1WXW5.

33.答案”-述

5

解析设圆01：(x-ai)+(y-bi)2=彳，圆O2：(x-a2)2+(y-b2)、於两式相减得

2(a2-ai)x+2(b2-bi)y+彳一>0⑴，由0b02,0共线可得」二，二k,贝|bi=kabbz=k出,代入(1)化简得