余弦定理、正弦定理-2025年高考数学备考复习

第六章平面向量、复数

第4讲余弦定理、正弦定理

课标要求命题点五年考情命题分析预测

2023新高考卷IT17；2023新高考卷

IIT17；2023全国卷乙T4；2023全国卷

甲T16；2022新高考卷IT18；2022新高

利用

考卷DT18；2022全国卷甲T16；2021

正、余

全国卷甲T8；2021全国卷乙T15；2021本讲每年必考，主要

弦定理

新高考卷IT19；2021浙江T14；2020全考查正、余弦定理的

借助向量的解三角

国卷IT16；2020全国卷HT17；2020全应用，如求解三角形

运算，探索形

国卷HIT7；2020新高考卷IT17；2019全的边长、角度、周

三角形边长

国卷IT17；2019全国卷UT15；2019全长、面积等问题，也

与角度的关

国卷IHT18会作为方法求解其他

系，掌握余

判断三章节问题，难度中等.

弦定理、正

角形的2021新高考卷HT18预计2025年高考命题

弦定理.

形状稳定，备考时要重视

2023全国卷乙T18；2022全国卷乙正、余弦定理的应用.

与面

T17；2022新高考卷UT18；2022北京

积、周

T16；2021北京T16；2021新高考卷

长有关

IIT18；2020全国卷HT17；2019全国卷

的问题

IHT18

6学生用书P122

1.余弦定理、正弦定理

在△NBC中，若角/,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△N8C的外接圆半径，贝ij

定理余弦定理正弦定理

a2=b2+c2-26ccosA；

内容b1=①c2+q2—2cacos5；—=—=—=(§)2R.

sinZsmBsinC

c2=②a2+-2—2q6cosC.

(1)a=2Rsin/,b=®2RsinB,c=

,b2+c2—a2

变形cosA——；

2bc⑦2RsinC；

cos”④—警(2)sinA=­,sinB=®-,sinC

2R—2R-

二⑨-;

COS。=⑤,~~.-2R-

——2ab——

(3)alb：c=⑩sirL4:sing:sinC；

(4)a+b+c=^=2R.

sin4+sin3+sinCsinA

2.在△48C中，若已知角/,8所对的边a,6和角力,则解的情况如下:

/为锐角A为钝角或直角

Cc

Cc

*一

图形

1B

A”

AZ13/A..

关系式a<bsinAa=bsinAbsinA<a<ba>ba>ba<b

解的个数无解⑪懈⑫两解⑬懈一解无解

3.三角形中常用的面积公式

△/BC中，角/,B,C对应的边分别为a,b,c.则：

(1)S=^ah(人表示边a上的高)；

(2)S=,6sin。=⑭'acsing=⑮扣csirU；

(3)S=^r(a+b+c)(r表示三角形⑯内切圆的半径).

常用结论

三角形中的常见结论

(1)在△4BC中,N+3+C=TI.变形：于„

(2)在△45C中，a>6Q/>5OsinZ>sin50cos4VcosA

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(4)在△Z5C中，sin(4+5)=sinC；cos(/+B)=—cosC；tan(4+8)=—tanC；

.A+BCA+B.c

sin-7—=cos-；cos——=sin

2222

(5)在△NBC中，角/,B,。成等差数列^+C=y.

(6)在斜△4SC中，tanZ+tan5+tanC=tan/tan8tanC

(7)在△4SC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccos^；c=bcosA+acosB(射影定

理).

|rUEM

1.以下说法正确的是(A)

A.在△48。中，/>8是sin4>sin8的充要条件

B.在△/BC中，若62+c2>/,则为锐角三角形

C.在△/2C中，若sin2/=sin25,则△/2C为等腰三角形

D.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比

解析易知A正确；对于B,当62+c2—a2>。时，只能说明角/为锐角，△/8C不一定

为锐角三角形，故B错误；对于C,若sin2/=sin23,则2/=22或24+22=兀，所以/

=3或/+8=5，所以△/BC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D,三角形中

的三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比，故D错误.

2/2021全国卷甲］在△/BC中，已知5=120。，AC=A,48=2,则BC=（D）

A.lB.V2C.V5D.3

解析由余弦定理得/Gn/4+BC2—2/8BGcos8,得15=0,解得8c=3

或3。=一5（舍去）.故选D.

3.［多选］记△/BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,则符合下列条件的有且

只有一个的是（AC）

A.<2=V2,6=1,4=45。B.tz=l,b=2,c=3

C.b=c=l,5=45°D.a=l,b=2,4=100°

解析对于A,由正弦定理得」一=4-,所以sin8=L又所以8=30°,所以满足

sinBsin452

条件的三角形只有一个；

对于B,a+b=c,构不成三角形；

对于C,b=c=l,所以8=C=45°,4=90°,所以满足条件的三角形只有一个；

对于D,a<b,所以/<3,而/=100。，所以没有满足条件的三角形.

4.己知2a+l,a,2a—1是钝角三角形的三边，则己数。的取值范围是（2,8）.

2a+1>0,

a>0,解得。.显然2〃+1是三角

{2a—1>0,

形的最大边，则要使2Q+1,a,2a—1构成三角形，需满足a+2a—解得Q>2.

222

设最大边对应的角为。（钝角），则COSe="+（2a：）-----（2a+l）

2a（2a-l）

a2+（2a—1）2—（2a+1）2<0,即层一8aV0,解得0VaV8.

又a>2,・・・〃的取值范围是（2,8）.

5.在△Z5C中，4=60。，AC=4fBC=?W,则△45C的面积等于2H.

解析设△ZBC中，角4,B,。对应的边分别为a,b,c.

由题意及余弦定理得COS4=6;a=竺三——解得C=2,所以S^ABC=T：bcsmA=

2bc2x4xc22

Ix4x2xsin60°=2百.

0学生用书P124

命题点1利用正、余弦定理解三角形

例1(1)［2023全国卷乙］在△NBC中，内角4,B,C的对边分别是a,b,c,若acosB一

bcosA=c,且C=p,则2=(C)

A.—B*C.—D.=

105105

解析因为QcosB—bcos4=c,所以由正弦定理得sin/,cos5—sinBcos4=sinC=sin(B

+4),则2sin5cosZ=0.在△45C中，sin^0,则cosZ=0,所以5=兀一Z—C=

台弟故选C

(2)[2021全国卷乙]记△NBC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,面积为百，B=

60°,a2+c2=3ac,则b=2近.

解析由题意得SuBC=Lcsin3=qac=V^,则ac=4,所以°2+02=3℃=3><4=12,所以

24

b2=a1+c2—2accosB=12—2x4x|=8,贝IZ?=2V2.

方法技巧

应用正、余弦定理的解题技巧

(1)求边：利用正弦定理变形公式。=驾等或余弦定理层=〃+廿一26ccos/等求解.

smB

(2)求角：利用正弦定理变形公式sin/=竺普等或余弦定理变形公式cos/=反导贮等求

b2bc

解.

(3)利用式子的特点转化：若出现层+"一/=而6的形式，则用余弦定理；若等式两边

是关于边或角的正弦的齐次式，则用正弦定理.

训练1(1)［全国卷口△45C的内角/,B,C的对边分别为q,b,c.已知osinZ一加inB=

4csinC,cosA=--f则2=(A)

4c

A.6B.5C.4D.3

解析由题意及正弦定理得Z?2—q2=-402,所以由余弦定理得，cosA=h+c——=—1^=

2bc2bc

-得2=6.故选A.

4c

(2)［全国卷的内角4B,。的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinW(sin。一

cosC)=0,a=2,c=V2,则C=(B)

A.—B.-C.-D.-

12643

解析因为sinB+sin/(sinC-cosC)=0,所以sin(/+C)+sin/s%C—sindcosC

=0,所以sinZcosC+cosZsinC+sin/sinC—sin/cosC=0,整理得sinC(sin^4+cos

A)=0.因为sinC#0,所以sinZ+cos4=0,所以tan4=—1.因为(0,兀),所以4=

—,由正弦定理得sinC=*^=&W=工，又0<C<±所以C=E.故选B.

4a2246

命题点2判断三角形的形状

例2在△Z8C中，a,b,c分别为角N,B,C的对边，^=sin2p则△43。的形状为

（A）

A.直角三角形

B.等边三角形

C.等腰三角形或直角三角形

D.等腰直角三角形

解析由cos2=1-2sin2月，sin2-=1cosg,所以土FpcosB=-.

2222c2c

解法一由余弦定理得COS5=巴与—即〃2+。2—扶=2〃2,所以层+62=。2,所以

2acc

△45。为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

解法二由正弦定理得cos5=史经，又sin4=sin（5+C）=sinBcosC+cosBsinC,所以

sinf

cosBsinC=sinBcosC+cosBsinC,即sin5cosC=0,又sin3,0,所以cosC=0,又角。

为△ZBC的内角，所以。=今所以△45。为直角三角形，但无法判断两直角边是否相等.

命题拓展

［变条件］将例2中的条件"7=五吟"改为'包）=巴，（6+c+a）（b+c-a）=3bc”,贝U

2c2smBc

LABC的形状为等边三角形.

解析因为当=2,所以由正弦定理得所以b=c.又（b+c+〃）（6+c—Q）=3bc,

sinncbc

,k2ir2_n2“1

所以反+C2—Q2=A,所以由余弦定理得COS4=-------=丁=-.因为/£（0,71）,所以

2bc2bc2

A=^,所以是等边三角形.

方法技巧

判断三角形形状的方法

（1）化为边：通过正、余弦定理将角化边，利用因式分解、配方等得出边之间的关系进行

判断.判断技巧:

a2+b2<c2cosC<0c为钝角三角形为钝角三角形

az+b2=c2cosC=0c为直角三角形为直角三角形

无法判断（只有。为最大角时才可

az+b2>c2cos00。为锐角

得出三角形为锐角三角形）

（2）化为角：通过正、余弦定理将边化角，通过三角恒等变换公式、三角形的内角和定理

得出角的大小或角之间的关系.

注意（1）不能随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种形状的可能.

（2）注意挖掘隐含条件，在变形过程中注意角的范围对三角函数值的影响.

训练2[2021新高考卷川在△/3C中，角/,B,。所对的边分别为a,b,c,b=a+],c

—u~\~2.

(1)若2sinC=3sin/,求△48C的面积.

(2)是否存在正整数〃，使得△/BC为钝角三角形？若存在，求〃；若不存在，说明理由.

解析(1)由2sinC=3sin4及正弦定理，得2c=3〃.

又C=Q+2,所以Q=4,c=6,

所以b=q+l=5.

222

^田内,b+c~a25+36—163

由余弦定理，付COS4=-----------=------------

2bc2x5x64

又(0,71),所以sinZ=¥，

所以S^ABC=^bcsinA=^5^6^=^-.

(2)存在.

22

由题意知c>6>°,要使△/2C为钝角三角形，需cos仁上：'—c2=.+'"+i>—"+2)二

啜＜°

得0＜。＜3.

因为.为正整数，所以a=l或a=2.

当a=l时，6=2,c=3,此时不能构成三角形；

当a=2时，6=3,c=4,满足题意.

综上，存在正整数a=2,使得△48。为钝角三角形.

命题点3与面积、周长有关的问题

角度1面积问题

例3[2023全国卷乙]在△43。中，已知NA4c=120。，48=2,AC=\.

(1)求sin/4SC；

(2)若。为8C上一点，且/A4D=90。，求△/DC的面积.

2

解析(1)由余弦定理得BC=/22+/C2—2y45/c.cosNA4C=22+12+2x2xixT=7,得

BC=巾.

BC4V3._

由正弦定理得4C则smZ^C=^=f.

sin乙4BCsin^BAC9

(2)解法一如图，由sin//BC=詈，得tanN45C=?,

•7X/Ar＞Z--DADAfAA28

又tanZABC=一=一,所以,

AB295'

故的面积为沙/Osin(120。一9。。)=9号<lx：圣

SNDC_聂C/DsinAG4D_sin30。_1

解法二S„ABC^AC-ABsinZBAC1乂2吟书,

S^BAD^AB-AD-sin^BAD2xsin90°4’

故△4℃的面积为

方法技巧

与面积有关问题的解题思路

1.利用面积公式S=^absinC=-|tzcsin5=-|/?csinA求面积，一般是已知哪个角就使用哪一个

公式.

2.与面积有关的问题，一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.

角度2周长问题

例4[2022全国卷乙]记△45C的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinCsinG4一

B)=sin5sin(C-A).

(1)证明:2a2=b2+c2；

(2)若。=5,cos24=||,求△45C的周长.

解析(1)解法一由sinCsin(A~B)=sinBsin(C-A)可得，sinCsin^cosB-

sinCeos^sin5=sin5sinCeos^4—sinBcosCsinA,

结合正弦定理一三=一二=一£一可得accosB—bccosA=bccosA—abcosC,即tzccosB+

sinAsmBsine

abcosC=2bccosA.

由余弦定理得巴『欧+立*《=〃+c2—02,整理得2a2=〃+c2.

解法二因为/+3+。=兀，

所以sinCsin(A—B)=sin(/+B)sin(A—B)=sin2^4cos25—cos2^sin25=sin2^(1—

sin25)—(1—sin2^4)sin25=sin2^—sin25.

同理有sin5sin(C~A)=sin(C+A)sin(C-A)=sin2C—sin2^,所以sin24—sin25=

sin2C-sin2^,

由正弦定理可得2层=62+。2.

(2)由(1)及层=按+C2—2bccosZ得，a2=2bccosA,所以2bc=31.

因为Z)2+C2=26Z2=50,

所以(6+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9,

所以的周长为a+b+c=14.

方法技巧

与周长有关问题的解题思路

(1)若边长易求，直接求出边长，进而求出周长；

(2)若边长不易求，可利用整体思想，构造以两边长的和为未知数的方程求解，进而求出

周长.

训练3[2022北京高考]在△45。中，sin2C=V3sinC.

(1)求NC；

（2）若6=6,且的面积为6百，求的周长.

解析（1）因为sin2C=V3sinC,

所以2sinCcosC=V3sinC.

因为(0,7i),所以sin。/),所以COSC=TT，C=y.

26

(2)因为△48C的面积S=36sinC=：xax6x：=6百，所以。=4次.

由余弦定理可得c2=a2+62-2abcosC=48+36—72=12,所以c=2旧，所以△/BC的周

长为0+6+。=4百+6+2*\/^=6(V3+1).

。学生用书P126

射影定理的应用

例5[2023四川遂宁三诊]在△N8C中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,若:=

卢若，c=4,C=3则△/BC的面积为（B）

2—cosy43

A.2V3B.4V3C.12D.16

解析解法一（射影定理法）由£=生理得2c=a+acosC+ccos/,则由射影定理可得

a2—cosZ

a+b=2c.

_n211.2―„2

因为c=4,所以Q+6=2C=8,又。=-，所以由余弦定理得cosC=-----------=

32ab

2

(a+b)—2出?-1648-2〃1

得ab=\6.

2ab2ab2

所以△43C的面积为、bsinC=、bsin^=枭6=4旧.故选B.

解法二由正弦定理及£=心”，得陋=2±吧，

a2—C0Si4sinA2—cosA

所以sin/+sin/cosC=2sin。一cos/sinC,

所以sin+sin^4cosC+cos^sinC=2sinC,

即sin4+sin(Z+C)=2sinC,

所以sin/+sin5=2sinC,由正弦定理得a+b=2c

后同解法一

方法技巧

射影定理：在△45。中，a,b,c分别为内角4,B,。的对边，贝!J〃=bcosC+ccos5,b

=6zcosC+CCOSA9c=acosB+bcosA.

训练4[2023济南历城二中5月模拟]△45C的内角Z,B,C的对边分别为〃，b,c,若

3bcosC+3ccos3=5asin/,且/为锐角，则当《取最小值时，一七的值为坐.

be2b+c15

解析由3bcosC+3ccos5=5asinZ及射影定理得3a=5asin4,可得sinZ=g,又4是锐

.Q2X+c2——be

角，所以cosA=-,则由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=b2+c2--bc,则；=----.—

55bebe

=1—答一5=•!，当且仅当6=c时，工取得最小值3

be5DC55be5

此时小=；"，即所以—一=空.

552b~rc15

1.［命题点1/2023南京市二模］在△N8C中，角，，B,。所对的边分别为a,b,c.若加市专

=csinS,则角C的大小为（B）

A*B=喧D年

解析,/=csin5,sinBcos-sinCsinB,又sinB>0,.".cos-sinC—

2sin|cos|.v|G（0,2,.・.co吟>0,〉.si吟C=）攵选B.

2.［命题点1/浙江高考］在△NBC中，/2=60。，AB=2,M是2C的中点，AM=2®贝！|

AC=2V13,cosZMAC=—.

-------------13.一

解析由/B=60。，AB=2,AM=2y［3,及余弦定理可得90=4,因为M为8C的中点，

所以8C=8.

解法一在△/BC中，由余弦定理可得NG-482+BC2—2/8.8。七0$/2=4+64—

2x2x8x1=52,所以/。=2旧.在△NMC中,由余弦定理得cos/M4C="*叱二呵=

2lAC'AM

52+12-16_2属

2x2713x27313,

解法二过点。作CD_LA4交3/的延长线于点D,则8。=4,AD=2,CZ）=4V3,所以

在RtZ\4DC中，AC2^CD2+AD2^4S+4^52,得/C=2g.以下同解法一.

3.［命题点12024杭州市质检］已知四边形N2CD是个圆的内接四边形，如图，若4B=

1,BC=3,CD=DA=2.

（1）求线段的长；

（2）若NBPD=/求尸3+P。的取值范围.

解析（1）由题意知，A+C=n,（圆的内接四边形的一个性质是对角

互补）

所以cos/=cos（兀一C）=—cosC.

根据余弦定理BD2=AB?+AD2-2ABADcosA,BD?=CB2+CD2-2CBCDcosC,得BD2=

5—4cos/,SD2=13-12cosC.

所以5—4cos/=13—12cosC,所以cosC=g.

所以

（2）解法一因为BD2=PB2+PD2—2PB-PDCOS/BPD=PB2+PD2—PB-PD

=（PB+PD）2-3PBPD

2

>（PB+PD）2-3-IPB^D,（提示：此处用到了PBPD<（及产）2）

2

_（PB+PD）

4，

所以（PB+PD）2<28,所以PB+PD及巾（当且仅当尸时取等号）.

所以夕.（注意：三角形中两边之和大于第三边）

解法二由题意知/2尸。=今设NPBD=9,则

H十3、EPBPDBD

由正弦定理------=------=------,

sinz.PDBsinz.PBDsinz.BPD

hQPBPDBD2\［72\［212\/21.Z2JI4、.2V21.mx

可付————=工=-^=方=不一.所以尸3=F-sm（--6>）,nPrD=——smn0,（利用正

sin（寸一6）sin0sin-V33333

弦定理化边为角）

所以依+尸。=竽［sind+sin号-6）］=2V7sin（6»+J）.（三角恒等变换主要是和角、差

角公式及辅助角公式的应用）

因为0<6（空，所以工<0+巴<巴，

3666

所以2近sin（（9+-）e（V7,2夜］.（三角函数有界性的应用）

所以小VPB+PD^H.

4.［命题点2/全国卷H］Z\43C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2q+/）+

,_5

cosA—.

4

（1）求4；

（2）若证明：是直角三角形.

解析（1）由已知得sin2Z+cos/=：,

即cos2^—cos^4+-=0.

4

所以（COS/-L）2=0,cosA

22

由于0V4〈兀，故4=今

（2）由正弦定理及已知条件可得sin5—sinC=Rsin4

由（1）知5+。=空，所以sin5—sin（—―5）=—sin-.

3333

即|sin5—*os3=g,sin（5—^）=；.

由0<5<曰，得5=要则△Z5C是直角三角形.

5.［命题点3/2024长春市质量监测(一)］在△43C中，4D为2C边上的中线，AD=g,

AD=位,tanZBAD=^-.

(1)求△/BC的面积；

(2)若族=£而，求NBEC

解析(1)由tanN34D=亨，可得sin/34D=手，

在△/2D中，由BD=®AD=y/7,结合正弦定理BD=一,得冬=夕,

''V,口sin434。sin乙4BD'叵sin乙43。'

7

解得sin/ABD=1,所以ZABD=90°,

从而AB=AD2-BD2=7-3=2.

在△/8C中，AB=2,BC=2BD=2®ZABC=9Q°,

所以△43C的面积S=1X2X2V3=2A/3.

(2)以8为坐标原点，BC,前的方向分别为x轴，y轴的正方向，建

立如图所示的平面直角坐标系，则3(0,0),/(0,2),C(2百，

0),D(V3,0),所以而=(V3,-2).

由版=9而得标=(半，-y),

所以£(竽，—“，

从而丽=(—竽，与)，EC=(手，9,

10V34V3.6684

所以c°s＜而,前＞=谭看一〒“〒十沟~49

p所以

一竿)2+电2卜竽2十与2336[84

~49~X^49

ZBEC=nO°.

(---------------------,练习帮;练透好题精准分层-----------------------------

。学生用书•练习帮P320

1.［2024湖北模拟］在△/3C中，内角N,B,C所对应的边分别是a,b,c,若a=3,b=

V13,8=6。°,则c=(D)

A.lB.2C.3D.4

解析由余弦定理得62=a2+c2—2accosB=9+c2—3c=13,即c?—3c—4=0,解得c=

—1(舍去)或c=4,；.c=4.故选D.

2.在△NBC中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=3,cos5=—,则4=

4

(A)

A*B=若D零噂

解析在△45C中，cosB==,所以sinB=/l—COS2B=5,又Q=2,6=3,所以由正弦

4y4

.3

定理可得sinZ=Qs;B=W=；,又因为b>。，所以4为锐角，所以4=；.故选A.

b326

3.Z\48C的内角4,B,C的对边分别为Q,b,c,已知csin4=V^zcosC,c=2b，ab=

8,则的值是（A）

A.6B.8C.4D.2

解析由csinZ=gacosC及正弦定理可得sinCsin4=V^sin4cosC,因为sinZWO,所以

sinC=V3cosC,可得tanC=遮，又（0,兀）,所以C=］.又c=2B,ab=8,所以由

22

余弦定理可得12=/+b2—ab=（Q+6）—3ab=（a+6）—24,所以Q+6=6.故选A.

4.在△/5C中，D为边BC上一点,AD=6,BD=3,/4BC=45。,则sinN/QC的值为

（C）

A1+V3n1+V2c1+V7cW

A.------D.-----C.—■-U.~-

3444

解析因为在△4BC中，D为边BC上一点、,40=6,BD=3,ZABC=45°,所以由正弦

定理得一--=」一，所以sin/3/D=在，因为AD>BD,所以/氏4。<45°,所以

sinzBXDsin45o>4，，，，

COSZST4D=—,所以sin/ZDC=sin（/2/。+45°）=—x（―+—）.故选C.

42444

5」设问创新/多选］黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心

把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△NBC中，内角4,B,C的对边分别为a,b,

c,已知。=2,……，解得3=60。.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题

的其余已知条件？（ABD）

A.Z>=2V3,C=90°B/=30°,c=4

C.b=2同/=30°D.b=2g,c=4

解析对于A,因为。=2,Z?=2V3,C=90°,所以tan8=2=^=遮，又0。<2<180°,

a2

所以2=60°,故A选项可以作为已知条件.

对于B,因为。=2,N=30°,c=4,所以根据正弦定理得三=三，即一方=三，所以

sinAsinesin30sine

sinC=l,又0°<C<180°,所以。=90°,所以2=60°,故B选项可以作为已知条件.

对于C,因为。=2,6=2圾/=30°,所以根据正弦定理得一三=2与，所以sin3=£

sin30°smB2

又（FV5V180。，且所以5=60。或120。，故C选项不可以作为已知条件.

对于D,因为q=2,Z）=2V3,c=4,所以根据余弦定理得cos5=土上——=­?———（）

2ac2x2x4**

=|,又0°<3<180°,所以2=60°,故D选项可以作为已知条件.故选ABD.

6.［多选］在△/2C中，内角4,B,C的对边分别为a,b,c,下列条件能判断△/8C是钝

角三角形的有（BC）

A.Q=6,b=5,c=4

B.ABBC=2a

CCL-b_sinC

c+bsinA+sinB

D.b2sin2C+c2sin25=2/JCCOSBCOSC

解析A选项，由a>6>c知/>2>C,又因为尻+，=41>36=层，所以/是锐角，故

A不正确.

B选项，由荏-前=-accos2=2a,得cos8<0,所以2为钝角，故B正确.

u2_i_r2_n2

c选项，由'=嘉惠及正弦定理得7bM222

b+c—a=-bcf贝Icos^4=———-----

所以4=与，故C正确.

D选项，由正弦定理得，已知条件等价于sin25sin2C+sin2Csin25=2sinBsinCeosBcosC,

易知sinBsinC，0,所以sin5sinC=cos8cosC,即cos(B+C)=0,又因为OVB+CV

兀，故5+C/,所以4=兀一(5+C)=p故D不正确.

7.［2024河北唐山一中段考］在△45C中，内角4B,。所对的边分别为Q,b,c,4=也

(1+V3)c=2b,则B=—.

12

解析解法一在△45。中，由余弦定理得层=62+02-26"0$4=〃+。2一百儿，又6=

史旦，所以Q=&,由正弦定理得°=，一,所以sinC=4inZ=J^,sinU=W.因为c<6,

22sinAsinea62

所以。为锐角，C=-,所以5=兀一2一2==.

46412

解法二在△45C中，由(1+V3)c=2b及正弦定理得(1+V3)sinC=2sinB,因为/

=-,所以(1+V3)sin(——5)=2sinB,展开得“"cos5+""sin5=2sinB,化简整

6622

IT.IT

i+遮.tan-+tan-

理得tan5=~7it~~n=tan嗫火BG(0,7t),所以

1-V31-tan-xtan-

8.［2024青岛模拟］在△NBC中，角4B,C的对边分别是a,b,c,已知N=60。，b+c=

6,且△NBC的面积为百，则△48C的内切圆的半径为国一五.

解析由题意得△48C的面积S=5csin/=^c=V^,故6c=4,由余弦定理得小fZ+c2

-2bccosA=b2+c2-bc=(6+c)2-3Z>c=24,所以a=2返，△NBC的周长为6+2逐.设

△/8C的内切圆半径为厂，则］(a+6+c)r=1x(6+2乃)r=V3,所以厂=百一A/I

9.［角度创新］在△48C中，内角N,B,C所对的边分别为a,b,c,若:<cos/,则△NBC

的形状为钝角三角形.

解析已知：<cos/,由正弦定理，得以工<cos/,即sinC<sin3cos/,所以sinG4+3)

bsmB

<sinBcosA,sinB,cosA+cosBsinA—sinBcosA<0f所以cos5sin4<0.又因为

sin^>0,于是有cos5<0,即5为钝角，所以△/BC是钝角三角形.

10J2024惠州市一调］在△45C中，角4,B,C的对边分别是否b,c,已知b+bcos4=

BasinB.

(1)求4；

(2)若。=历，6=4,求△Z5C的面积.

解析（1）由正弦定理，得sin5+sin5cos4=gsin4sin5.

Vsin5>0,/.V3sinA—cosA=\,得sin（A—-）=；.

62

•••/e（0,兀），；./一/（一也称），•••/—3=也即/=与