初中数学中考复习讲义练习：瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题

【专题说明】

动点轨迹问题是中考的重要压轴点.受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为

学生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞.掌握该压轴点的基本图形，构建

问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径.本文就动点轨迹问题的基本图形作一详述.动点轨

迹基本类型为直线型和圆弧型.

【知识精讲】

动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

(1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值

(2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不

变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

如图，尸是直线上一动点，连接AP,取AP中点。，当点尸在2C上运动时，。点轨迹是？

【分析】当尸点轨迹是直线时，。点轨迹也是一条直线.

可以这样理解：分别过4。向作垂线，垂足分别为M、N,在运动过程中，因为

所以QN始终为AM的一半，即。点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线.

【引例】如图，△"口是等腰直角三角形，乙阴。=90。且AP=AQ,当点尸在直线BC上运动时,

求。点轨迹？

【分析】当A尸与A。夹角固定且为定值的话，P、。轨迹是同一种图形.

当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的。点的位置，连线即可，比如。点的起始位置和

终点位置，连接即得Q点轨迹线段.

【模型总结】

必要条件：

主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（/以。是定值）;

主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP4。是定值）.

结论:

P、。两点轨迹所在直线的夹角等于NB4Q（当NB4维90。时，/孙。等于MN与8c夹角）

P、。两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABCS/XAMN,可得AP:A0=8C:MN）

【精典例题】

1、如图，正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点、,且8E=1,尸为A8边上的一个动点，连接ER以

跖为边向右侧作等边△EFG,连接CG,则CG的最小值为.

【分析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将B点看成是由

点B向点A运动，由此作出G点轨迹：

考虑到尸点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点

在&位置，最终G点在与位置（G2不一定在CD边），G1G2即为G点运动轨迹.

CG最小值即当CGJ.G1G?的时候取到，作CHJ.GJG2于点“，C”即为所求的最小值.

根据模型可知：G02与夹角为60。，故

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过点E作所，C8于点R则班'=@后=1,CF=-CE=~,

22

所以CH=3,因此CG的最小值为9.

22

2、如图，等腰RSABC中，斜边AB的长为2,O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQLOP交BC

于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）

A.旦兀B.巫万C.1D.2

42

【答案】C

【详解】连接OC,作PE_LAB于E,MH_LAB于H,QF_LAB于F,如图,

VAACB为到等腰直角三角形，

.•.AC=BC=_AB=J2-ZA=ZB=45°,

2

：O为AB的中点，

AOCXAB,OC平分NACB,OC=OA=OB=1,

.-.ZOCB=45°,

VZPOQ=90o,ZCOA=90°,

.,.ZAOP=ZCOQ,

在RSAOP和4COQ中

NA=ZOCQ

<AO=CO,

ZAOP=ZCOQ

；.RtAAOP^ACOQ,

；.AP=CQ,

易得△APE和八BFQ都为等腰直角三角形，

.-.PE=^1AP=—CQ,QF=^BQ,

222

.•.PE+QF=—(CQ+BQ)=_BC=—x-x/2=l-

222

；M点为PQ的中点,

/.MH为梯形PEFQ的中位线,

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(PE+QF)=5,

即点M到AB的距离为

2

而CO=1,

；.点M的运动路线为△ABC的中位线，

，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=工AB=1,

2

故选C.

3、如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=6,点P是矩形ABCD内一动点，且S*.=S^CD，则FC+FZ)

的最小值为.

【答案】25

【详解】

ABCD为矩形,

AB=DC

乂-sPAB=sPCD

点尸到AB的距离与到CD的距离相等，即点P线段AO垂直平分线MN上，

连接AC,交MN与点,P,此时PC+?D的值最小，

且PC+=AC=^AB2+BC2="2+62=屈=2而

故答案为：2而

4、如图，在平面内，线段AB=6,P为线段AB上的动点，三角形纸片COE的边CD所在的直线与线段A8

垂直相交于点P,且满足PC=B4.若点尸沿AB方向从点A运动到点B,则点£运动的路径长为.

【答案】6五.

【详解】

解:如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EE,由平移的性质可知AC=EE,

在R3ABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=90°,；.EE=AC=正+6?=60，故答案为：6母.

5、如图，等边三角形ABC的边长为4,点D是直线AB上一点.将线段CD绕点D顺时针旋转60。得到线

段DE,连结BE.

(1)若点D在AB边上(不与A,B重合)请依题意补全图并证明AD=BE；

(2)连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【答案】(1)见解析；(2)2s

【详解】

解：(1)补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

,/AABC是等边三角形，

；.AB=BC=AC,/A=NB=60°,

由旋转的性质得：ZACB=ZDCE=60°,CD=CE,

ZACD=ZBCE,

AACD^ABCE(SAS),

；.AD=BE.

图1

(2)如图2,过点A作AFLEB交EB延长线于