江西省南康区2024年中考联考数学试题（含解析）

江西省南康区重点达标名校2024年中考联考数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题,每小题3分，共30分）

1.下列计算正确的是（）

A.y/3+V2y[5B.-A/3y/3C.y/3xy/2=6D.4=4

V2

2.下列调查中适宜采用抽样方式的是（）

A.了解某班每个学生家庭用电数量B.调查你所在学校数学教师的年龄状况

C.调查神舟飞船各零件的质量D.调查一批显像管的使用寿命

3.图为小明和小红两人的解题过程.下列叙述正确的是（）

3x—3

计算:

-x---l+-1---X-27

小明的解决

小叔的M法

田上=改此一・卢土二

岸"（『型引体出桢

匚.幅*二3.«.©....@

一靖。僮-|）

二・W3+X-3.....Q

3-lx-1.......”♦④I

A.只有小明的正确B.只有小红的正确

C.小明、小红都正确D.小明、小红都不正确

4.已知a-b=l,则a3-a?b+b2-2ab的值为（）

A.-2B.-1C.1D.2

5.下列判断错误的是（）

A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形

C.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形D.四条边都相等的四边形是菱形

「3x-2y=3①

6.用加减法解方程组，-时，如果消去y,最简捷的方法是（）

4x+y=15②

A.①x4-②x3B.①x4+②x3C.②x2-①D.②x2+①

7.如图所示，二次函数y=ax?+bx+c（a#））的图象经过点（-1,2）,且与x轴交点的横坐标分别为xi、xi,其中-2

<X1<-1,0<X2<l.下列结论:

@4a-2b+c<0；®2a-b<0；③abcVO；®b2+8a<4ac.

C,3个D.4个

8.如图，△ABC的面积为8cm2,AP垂直NB的平分线BP于P,则4PBC的面积为（）

A.2cm2B.3cm2C.4cm2D.5cm2

9.如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形区域，并涂上了相应的颜色，转动转盘，转盘停止后，指针指

向蓝色区域的概率是（）

1

A.B.

63

j_2

C.D.-

23

10.天气越来越热，为防止流行病传播，学校决定用420元购买某种牌子的消毒液，经过还价，每瓶便宜0.5元，结

果比用原价购买多买了20瓶，求原价每瓶多少元？设原价每瓶X元，则可列出方程为（）

420420420420

A.=20B.-----------=20

%+0.5XX%+0.5

420420420_420_

C.=20D.20

x-0.5XXx-0.5

二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）

《x++52>小1+的2%解集是一

11.不等式组《

12.为迎接文明城市的验收工作，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查.各组

随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是.

13.如图，直线（时0）与抛物线y2=ox2+6x+c（存0）分别交于A（-1,0）,B（2,-3）两点，那么当yi

>72时，X的取值范围是.

14.一个多边形的内角和是720,则它是边形.

15.如图，在矩形ABCD中，E、F分另IJ是AD、CD的中点，沿着BE将△ABE折叠，点A刚好落在BF上，若AB=2,

贝！］AD=________

16.观察下列各等式:

-2+3=1

—5—6+7+8=4

-10-11-12+13+14+15=9

-17-18-19-20+21+22+23+24=16

根据以上规律可知第11行左起第一个数是

三、解答题（共8题，共72分）

17.（8分）《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块

矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？

18.（8分）（本题满分8分）如图，四边形ABCD中，一T二一.4（二）二：灰二、,E是边CD的中点，连接

BE并延长与AD的延长线相较于点F.

(1)求证：四边形BDFC是平行四边形；

(2)若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积.

19.(8分)如图，已知一次函数二二二二一二的图象与反比例函数W的图象交于A,B两点，点A的横坐标是2,点

B的纵坐标是-2。

(1)求一次函数的解析式；

(2)求的面积。

20.(8分)已知：关于x的一元二次方程kx?-(4k+l)x+3k+3=0(k是整数).

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根都是整数，求k的值.

21.(8分)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A,B,M,N均在格点上，P为线段MN上的一个动点

(1)MN的长等于,

(2)当点P在线段MN上运动，且使PA2+PB2取得最小值时，请借助网格和无刻度的直尺，在给定的网格中画出点

P的位置，并简要说明你是怎么画的，(不要求证明)

22.(10分)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九

客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每间客房住9人，那么就空出一间

房.求该店有客房多少间？房客多少人？

23.(12分)在初入短。中,4。=8,5。=6,/。=90。，AO是NC4B的角平分线，交于点。.

⑴求AB的长；

⑵求CD的长.

24.春节期间,，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游.

租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费.

共享汽车：无固定租金，直接以租车时间（时）计费.

如图是两种租车方式所需费用yi（元）、y2（元）与租车时间x（时）之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题:

（1）分别求出yi、y2与x的函数表达式；

（2）请你帮助小丽一家选择合算的租车方案.

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1、B

【解析】

根据同类二次根式才能合并可对A进行判断；根据二次根式的乘法对B进行判断；先把g化为最简二次根式，然

后进行合并，即可对C进行判断；根据二次根式的除法对D进行判断.

【详解】

解：A、若与友不能合并，所以A选项不正确；

B、屈-^=2拒-6=C'所以B选项正确；

C、73x72=76，所以C选项不正确；

辰___

D、造=瓜+0=20+叵=2,所以D选项不正确.

故选B.

【点睛】

此题考查二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算.

2、D

【解析】

根据全面调查与抽样调查的特点对各选项进行判断.

【详解】

解：了解某班每个学生家庭用电数量可采用全面调查；调查你所在学校数学教师的年龄状况可采用全面调查；调查神

舟飞船各零件的质量要采用全面调查；而调查一批显像管的使用寿命要采用抽样调查.

故选：D.

【点睛】

本题考查了全面调查与抽样调查：全面调查与抽样调查的优缺点：全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、

耗时长，而且某些调查不宜用全面调查.抽样调查具有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关

系到对总体估计的准确程度.

3、D

【解析】

直接利用分式的加减运算法则计算得出答案.

【详解】

3x—3

------+

1-x(l-x)(l+x)

3(1+x)x-3

~+

(l-x)(l+x)(l-x)(l+x)

—3—3x+x—3

(l-x)(l+x)

-2x-6

(1-x)(l+x)'

故小明、小红都不正确.

故选：D.

【点睛】

此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键.

4、C

【解析】

先将前两项提公因式，然后把"-5=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算.

【详解】

a3-a2b+b2-2ab-a2(a-b')+b2-2ab=a2+b2-lab-(a-b)2=1.

故选C.

【点睛】

本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结

合.

5、C

【解析】

根据平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，对选项进行判断即可

【详解】

解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项正确；

B、四个内角都相等的四边形是矩形，故本选项正确；

C、两条对角线垂直且平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故本选项错误；

D、四条边都相等的四边形是菱形，故本选项正确.

故选C

【点睛】

此题综合考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握判定法则才是解题关键

6、D

【解析】

小一2》=3①

试题解析：用加减法解方程组,“时，如果消去7,最简捷的方法是②X2+①，

4x+y=15②

故选D.

7、C

【解析】

首先根据抛物线的开口方向可得到aVO,抛物线交y轴于正半轴，则c>0,而抛物线与x轴的交点中，-2VX1V-1、

b

0<X2<l说明抛物线的对称轴在-1〜0之间，即*=->1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标

2a

来进行判断

【详解】

b

由图知：抛物线的开口向下，则a<0；抛物线的对称轴*=——>-1,且c>0；

2a

①由图可得：当x=-2时，y<0,即4a-2b+cV0,故①正确；

b

②已知x=——>-1,且aVO,所以2a-b<0,故②正确；

2a

③抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，又c>0,故abc>0,所以③不正确；

④由于抛物线的对称轴大于-1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即：生』>2,由于a<0,所以4ac-b2V

4a

8a,即b2+8a>4ac,故④正确；

因此正确的结论是①②④.

故选：C.

【点睛】

本题主要考查对二次函数图象与系数的关系，抛物线与X轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和

掌握，能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.

8、C

【解析】

延长AP交3c于E,根据AP垂直N3的平分线3P于P,即可求出AAB尸丝△3EP,又知△APC和△CPE等底同高，

可以证明两三角形面积相等，即可求得APBC的面积.

【详解】

延长AP交3C于E.

；4尸垂直N5的平分线5尸于P,；.NABP=NEBP,ZAPB^ZBPE=90°.

在△AP5和△E尸3中，；____।____,AAAPB^AEPBCASA),：.SAAPB=SAEPB,AP=PE,/.AAPC^ACPE

I-rl

__■—_—

I------厂————,一

等底同高，，SAAPC=SAPCE,：•SAPBC=SAPBE+S&PCESAABC=4CM・

故选C.

【点睛】

本题考查了三角形面积和全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出SAPBC=SAPBE+SAPCES^ABC.

9、B

【解析】

试题解析：•••转盘被等分成6个扇形区域，

而黄色区域占其中的一个，

二指针指向黄色区域的概率=』.

6

故选A.

考点：几何概率.

10、C

【解析】

关键描述语是：“结果比用原价多买了1瓶”；等量关系为：原价买的瓶数-实际价格买的瓶数=1.

【详解】

原价买可买420,瓶，经过还价，可买一42匕0瓶.方程可表示为：4--2-0------4-2-0-=1.

xx-0.5x-0.5x

故选C.

【点睛】

考查了由实际问题抽象出分式方程.列方程解应用题的关键步骤在于找相等关系.本题要注意讨价前后商品的单价的

变化.

二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)

11、2<x<l

【解析】

分别解两个不等式得到x<l和x>2,然后根据大小小大中间找确定不等数组的解集.

【详解】

x+5>1+2x(1)

解：，

[3%+2,,4x(2)

解①得xVl,

解②得x>2,

所以不等式组的解集为2<x<l.

故答案为29<1.

【点睛】

本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共

部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找

不到.

1

12、—

3

【解析】

将三个小区分别记为A、B、C,列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可.

【详解】

解：将三个小区分别记为A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，

31

所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为X=-.

93

故答案为：-.

3

【点睛】

此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法

适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验.用到的知识点为：概率=所求情况

数与总情况数之比.

13、-l<x<2

【解析】

根据图象得出取值范围即可.

【详解】

解：因为直线(时0)与抛物线y2=ax2+/»x+c(存0)分别交于A(-1,0),B(2,-3)两点，

所以当yi>72时，-1VXV2,

故答案为-l<x<2

【点睛】

此题考查二次函数与不等式，关键是根据图象得出取值范围.

14、六

【解析】

试题分析：这个正多边形的边数是n,则(n-2).180°=720°,解得：n=l.则这个正多边形的边数是六，故答案为六.

考点：多边形内角与外角.

15、2y/2

【解析】

如图，连接EF,

•••点E、点F是AD、DC的中点，

11

，AE=ED,CF=DF=-CD=-AB=1,

22

由折叠的性质可得AE=A，E,

/.A,E=DE,

在RtAEArF和RtAEDF中,

EA'=ED

EF=EF'

/.RtAEAT^RtAEDF(HL),

.,.AT=DF=L

/.BF=BA,+AT=AB+DF=2+1=3,

在RtABCF中，

BC=7BF2-CF2=A/32-I2=2A/2•

，AD=BC=20.

点睛：本题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是连接EF,证明RtAEA'FgRtAEDF,得出BF的长，再利用

勾股定理解答即可.

16、-1.

【解析】

观察规律即可解题.

【详解】

解：第一行=M=1,第二行=22=4,第三行=32=9...

.•.第n行=*第11行=1]?=121,

又•••左起第一个数比右侧的数大一，

.•.第11行左起第一个数是1

【点睛】

本题是一道规律题,属于简单题，认真审题找到规律是解题关键.

三、解答题（共8题，共72分）

17、12

【解析】

设矩形的长为x步，则宽为（60-x）步，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果.

【详解】

解：设矩形的长为x步，则宽为（60-x）步，

依题意得：x（60-x）=864,

整理得:x2-60x+864=0,

解得：x=36或x=24（不合题意，舍去），

.•.60-x=60-36=24（步），

.*.36-24=12（步）,

则该矩形的长比宽多12步.

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键.

18、（1）见解析；（2）6二或*三

【解析】

试题分析：（1）根据平行线的性质和中点的性质证明三角形全等，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形完

成证明；

(2)由等腰三角形的性质，分三种情况：①BD=BC,②BD=CD,③BC=CD,分别求四边形的面积.

试题解析：(1)证明：•.•NA=NABC=90。

；.AF〃BC

ZCBE=ZDFE,ZBCE=ZFDE

；E是边CD的中点

ACE=DE

/.△BCE^AFDE(AAS)

/.BE=EF

二四边形BDFC是平行四边形

(2)若4BCD是等腰三角形

①若BD=DC

在RtAABD中，AB=、二口；-二二。==二、：

二四边形BDFC的面积为S=：：x3=6\］；

②若BD=DC

过D作BC的垂线，则垂足为BC得中点，不可能；

③若BC=DC

过D作DGJ_BC,垂足为G

在RtACDG中，DG=、工-一二二:==

二四边形BDFC的面积为S=:V.

考点：三角形全等，平行四边形的判定，勾股定理，四边形的面积

19、(1)二二二+二；(2)6.

【解析】

(1)由反比例函数解析式根据点A的横坐标是2,点B的纵坐标是-2可以求得点A、点B的坐标，然后根据待定系

数法即可求得一次函数的解析式；

(2)令直线AB与y轴交点为D,求出点D坐标，然后根据三角形面积公式进行求解即可得.

【详解】

(1)当x=2时，丫=±=4,

当y=-2时,-2=-,x=-4>

所以点A(2,4),点B(-4,-2),

将A,B两点分别代入一次函数解析式，得

(:二十口=4

一二,二1=-二’

解得：三=]

电=z

所以，一次函数解析式为——*-J;

⑵令直线AB与y轴交点为D,则OD=b=2,

SXE=+XBD=：X：XG+/)=d.

a3

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.

20、(3)证明见解析(3)3或-3

【解析】

(3)根据一元二次方程的定义得原2,再计算判别式得到△=(3兀-3)3,然后根据非负数的性质，即左的取值得到△>2,

则可根据判别式的意义得到结论；(3)根据求根公式求出方程的根，方程的两个实数根都是整数，求出发的值.

【详解】

证明：(3)A=[-(4k+3)]3-4k(3k+3)=(3k-3)3.

为整数，

(3k-3)3>2,即4>2.

...方程有两个不相等的实数根.

(3)解：•方程kx3-(4k+3)x+3k+3=2为一元二次方程，

Vkx3-(4k+3)x+3k+3=2,即[kx-(k+3)](x-3)=2,

.rk+1,1

••X3=39%2=---------H・

kk

•.•方程的两个实数根都是整数，且k为整数，

，k=3或-3.

【点睛】

本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与A的关系是解答此题的关键.

21、（1）V34；（2）见解析.

【解析】

（1）根据勾股定理即可得到结论；

（2）取格点S,T,得点R；取格点E,F,得点G；连接GR交MN于点P即可得到结果

【详解】

（l）W=732+52=734；

（2）取格点S,T,得点R；取格点E,F,得点G；连接G