高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）空间向量及其运算和空间位置关系

空间向量及其运算和空间位置关系(理)

1基础知要打牢强双基|固本源|得基础分|掌握程度

［知识能否忆起］

一、空间向量及其有关概念

语言描述

共线向量(平行表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合.

向量)

共面向量平行于同一平面的向量.

共线向量定理对空间任意两个向量a,b(bWO),a〃2存在4ER,使a=46.

若两个向量a,b不共线，则向量。与向量a,b共面o存在唯一的有序实

共面向量定理

数对(x,y),使。=xa+y6.

(1)定理：如果三个向量a、6、.c不共面，那么对空间任一向量口存在有

空间向量基本序实数组{x,7,z}^.%p=xa+yb+zc.

定理(2)推论：设。、4B、，是不共面的四点，则对空间一点户都存在唯一的

三个有序实数X、y、zOP=xOA+yOB+zOCs,x+y+z-\.

二、数量积及坐标运算

1.两个向量的数量积

(1)a•b=/a//Z>/cos(a,b)；

②6为非零向量)；

(3)\a\2=a,|a\-y^x+y+z.

2.向量的坐标运算

a-（5i,&,&）,b-（&,坊，bi）

向量和a+b-（a+瓦，.+迤+优）

向量差a-6=(.一瓦，电一员、透一々)

数量积a,b二期bi+侬—+&员

共线a//b=^>.=一氏上电:入也、—二9力(ER)

垂直a±b<*aibi+侬―+侬&二0

夹角

劭―+石2—+续一

公式COS〈&u)—1-5-----9----2/~--2---2

迥+遨+聚\!玩+坛+&

三、平面的法向量

(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量,显然一个平面的法向量有无数多个，

它们是共线向量.

(2)在空间中，给定一个点/和一个向量a,那么以向量a为法向量且经过点力的平面是唯二的一

［小题能否全取］

1.(课本习题改编)已知a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=(-4,-6,2)则下列结论正确的是()

A.a//c,b//cB.a//b,a±c

C.a//c,aLbD.以上都不对

解析：选Cc=(-4,-6,2)=2a,r.a〃c.又a•6=0,aLb.

2.(•济宁一模)若{a,b,c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()

A.{a,a+b,a-b}B.{/>,a+b,a-b}

C.{c,a+b,a-b\D.{a+6,a-b,a+26}

解析：选C若c、a+6、a-b共面，则c=4(a+b)+/(a-Z>)=(4+〃)a+(八-血"则a、氏c

为共.面向量，与{a,b,c}为空间向量的一组基底矛盾，故c,a+b,a-b可构成空间向量的一组基底.

3.(教材习题改编)下列命题：

①若/、B、C、，是空间任意四点，则有45+BC+CD+DA=0;

(2)gMB=xMA+yMB,则以P、4、6共面；

③若。=xa+y〃则。与a,6共面.

其中正确的个数为()

A.0B.1

C.2D,3

解析：选D可判断①②③正确.

4在四面体。-46c中，OA=a,OB=b,OC=c,，为6C的中点,E为力。的中点，则OE=(用

a,b,c表示).

->11

解析：如图，OE=-OA+-OD

B

111

一

而o-

-帆+4-+4-c

1-11

26+

2-4-4-c

-111

答案：^a+~b+~c

5.已知力式》-4合44为正方体，.①+4已+4瓦/=34瓦2.②•（A瓦-A^A）

=0；③向量皿与向量为方的夹角是60。;④正方体四5-484〃的体积为|A5•AA；•A力1.其

中正确命题的序号是.

解析:设正方体的棱长为1,①中（&人+A”+A瓦）2=3A瓦2=3,故①正确；②中工瓦-

=AB）,由于AS1AC,故②正确；③中4人与两异面直线所成角为60。，但AO；与的夹角为

120°,故③不正确;④中|AB•AA,•AD|=0.故④也不正确.

答案：①②

1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长

度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般

可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化.

2.直线的方向向量与平面的法向量的确定：

（1）直线的方向向量：，是空间一直线，46是直线/上任意两点，则称.方为直线）的方向向量，

与A5平行的任意非零向量也是直线/的方向向量.

（2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是平面。内两不共线向量，A为平面。的法向量，则

［n,a=0,

求法向量的方程组为e=o.

后高频考点要通关

抓考点I学技法I得拔高分I掌握程度

空间向量的线性运算

典题导入

［例1］如图，在平行六面体力6切-4为G"中G为△4初的重心,设AB=a,

AD=b,AA]=c,试用a,b,c表示AC】，AG

[自主解答]AC[=AB+BC+CC[=AB+AD+A^

=a+b+c.

AG=AAj+Afi

—1-►

=AA1+§z(4£)+A^B)

-AAX+~(AD-AAX)+[(AB-AAX)

111

1病X1

一

-一

ooo

ooo

111

3a+3b+3a

>»一题叁变

本例条件不变，设4G与笈〃交点为四试用&b,。表示MG.

解：如图，

MG=MAt+A^G

1——1——•

=_](A居+(A^D+AtB)

二+AD-AAX)+1(AB-AAr)

111111

一或一犷+於-铲+铲-铲

112

--6a--6b--3c

由题悟法

用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减

法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则.

以题试法

1.如图所示，已知空间四边形物8a其对角线为如、AC,M、“分别

中点，点G在线段可上，且=2丽，若。。=xOA+yOB+zOC,

值分别为—.

—.■■1—.9—

解析：•「OG=OM+MG=-0A+-MN

12

-2-OA3-

122

一

丽

-2-帆+3-3-

1—.21—•—»91—•

=zOA+-x-(OB+OC)-TX-OA

乙J乙J乙

1-1-1

=~OA+-OB+-OC

633

•••X,y,Z的值分别为!，T,T.

ooo

111

答

案6_3-3-

3共线、共面向量定理的应用

典题导入

［例2］如右图，已知平行六面体力85-卬B'CD',E、F、G、〃分别是

棱，P、"C、C。和的中点，求证£、F、G、〃四点共面.

［自主解答］取即'=a,EF=b,EH=c,则HG=HB+BC+CG

------------1------

=D'F+2ED'+-AAf

=b—a+2a+j(AH+HE+EA')=6+a+-a-c-a)

Jb-gc,与6、C共面.即民尺G、〃四点共面.

由题悟法

应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：

三点（户，46）共线空间四点（幽P,A,而共面

PA=A尸方且同过点，MP=xMA+yMB

对空间任一点。，OP=OM+xMA+

对空间任一点0,OP=OAf+tAB

yMB

对空间任一点。，OP=xOM+yOA+(1

对空间任一点。，OP=xOA+（1-x）OB

-x-y)OB

以题试法

2.已知以F、G、〃分别是空间四边形26口的边BC、CD、DA的中点，用向

量方法，求证：

(1)及F、G、〃四点共面；

(2)初〃平面斯就

证明：⑴连接用，则EG=EB+BG

—1——~•

=EB+-(BC+BD)

=EB+BF+EH=EF+EH,

由共面向量定理知：

E、F、G、〃四点共面.

(2)因为EH=AH-AE

11-11

=^AD--AB=-(AZ>-AB)=^BD,

又因为民H、B、，四点不共线，而以EH//BD.

又Ek平面EFGH,BIA平面EFGH,

所以劭〃平面及烟

3利用空间向量证明平行或垂直

典题导入

[例3](•湖南模拟)已知”，平面/期庞，平面/O,LACD

形，边长为2a,AD=DE=2AB,尸为切的中点.

(1)求证：平面比F；

(2)求证：平面加及L平面CDE.

[自主解答]依题意，以"C所在的直线为x轴，力6所在的直线为z轴，过

点A且垂直于/C的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则

4(0,0,0),C(2a,0,0),8(0,0,a),D{a,y[3a,0),E(a、y[3a,2a).

F为缪的中点，...ga，*a,o).

|a,半a,0),BE=(a,

⑴易知，AF=/a,a),BC=(2a,0,-a),

.AF=1(BE+BC),AFI平面及五

平面旌

(2)AF=^|a,乎a,o),CD=(-a,y[3a,0),ED=(0,0,-2a),

..AF•CD=0,XF-ED=0,

AF1CD,AFrED,即AFX.CD,AFVED.

又CDCED=D、.•J£L平面CHE

又/%平面比F,，平面腔:L平面。血

由题悟法

利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直.

(1)设直线Z的方向向量匕二(2，bi,Cl),4的方向向量02=(电生C2).

贝IJ/1〃/2=匕〃皈=(囱，61,c)=k(&、尻、Q)(4ER).

7i±72<=>V\±於=2&+Z?i&+。。=0.

(2)设直线/的方向向量为v=(a,bi,ci),平面a的法向量为刀二(物久Q),贝"〃a=

+b\bi+eg=0.

/_L。=0〃〃=(皿bi,。1)=4(石2,bi,C2).

(3)设平面。的法向量加=(4,bi,ci),£的法向量为Zfe=(az,bz,c2),则a"BonJm、a1

80z?i_Lih.

以题试法

3.(-汕头模拟)

如图所示的长方体ABCD-ABCQ中，底面/及力是边长为2的正方形，。为

〃与劭的交点，BB、=阻,〃是线段BM的中点.

⑴求证：倒物平面RAC；

(2)求证：一班平面阳C

证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点。(1,1,0)、"(0,0,

■-OD[=(-1,-1,p,

又点6(2,2,0),Ml,1,p,

BM=(-1,-1,^2),

OD[=BM,

又•.•如与胡不共线,

ODj/BM.

又如u平面D.AC,BMX平面KAC,

.•.碗〃平面〃然

A

(2)连接0B..■：OD.•。叫=(-1,-1,/2)•(1，1,血=0,ODX-AC=(-1,-1,镜)•(-

2,2,0)=0,

ODl1OB】,OD^AC,

gpOIWOBx,ODtlAC,

又OBiC\AC=0,.•.40_L平面ABC

却！解瞿”蜉要高效抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

A级全员必做题

1.（•大同月考）若直线/的方向向量为4平面。的法向量为也能使/〃。的是（）

A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)

B.a-(1,3,5),n-(1,0,1)

C.a-(0,2,1),(-1,0,-1)

D.a-(1,-1,3),n-(0,3,1)

解析：选D若7〃a,贝3•〃二。.而A中a•刀二一2,

B中石•〃=1+5=6,C中石•〃二一1,

只有D选项中a•n--3+3=0.

2.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,4),若a,b,c三向量共面，则实数才等于

)

6263

A-B-

6065

c-~D-

解析：选D由题意得c-ta+Li6=（2力一〃，—2+4〃，3方一2〃）,

33

t--

7，

7二22一）,

17

5=一方+4口--

7，

4二3方一2

।65

共二〒

3.如图所示，在平行六面体4?5-4AG〃中，〃为4G与瓦91的交点.若A5

a,AD=b,AA；=c,则下列向量中与5M相等的向量是（)

1111

A.-53+56+0B.~a+-b+c

1111

c.一1a一寸+cD.~a--b+c

—.1—.---

解析：选ABM=3瓦+BM二

X=4Al+-(AZ)-AB)

=c+-(Z?-a)=-+-/?+c.

__cJ[

4.（•晋中调研）如图所示，已知空间四边形物8a0B=0C、且乙/如木=AAOC=~,

则cos〈04,,BC）的值为（）

8

AOB1

-

2

CV23V1

D.2

OB-6*-

由已知条件<a,b)=〈a,c)=—,且归=|c|,

OA,BC=a,(c-6)=a,c-a•b

11.

=-1a1\c\-~^\a.\\b.\=0,/.cos<OA,BC)=0.

5.(•舟山月考)平行六面体四切〃中，向量45、A。、AA；两两的夹角均为60°,且|A5

=1,AD1=2,1AA^1=3,贝力AC」等于()

A.5B.6

C.4D.8

解析：选A设AB=a,AD=b,AAX=c,则ACX=a+b+c,

21

ACX-a+if+c+2a•c+2b•c+2c,a=25,

因此I泡I=5.

6.在正方体力及/-48K〃中，户为正方形48K〃四边上的动点，0为底面正

方形切的中心，此"分别为2及6c的中点，点0为平面加切内一点，线段"0

与。户互相平分，则满足MQ=AMN的实数A的值有()

A.0个B.1个

C.2个D.3个

解析：选C建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2,

则P(x,%2),0(1,1,0),

的中点坐标为

(x+1y+1)

[2，2'

又知”(0,0,2),•••0(x+l,y+1,0),

而。在胸上，为+为=3,

.'.x+y=1,即点尸坐标满足x+y=1.

二有2个符合题意的点P,即对应有2个人

7,在下列条件中，使〃与4B、C一定共面的是

®OM=2OA-OB-OC-,(2)0M+\oB+\oC;®MA+MB+MC=0-@OM+

?Jz

OA+OB+OC=0.

解析：；MA+MB+MC=0,MA=-MB-MC,贝I]M4、MB.MC为共面向量，即M、

/、B、C四点共面.

答案：③

8.如图，正方体力a/-4EG”的棱长为1,E、户分别是棱比；DD\

6归，平面ABF,则CE与小的和的值为.

解析：以"4、"G、〃，分别为x,y,2轴建立空间直角坐标系，

=y,

则易知£(x,l,1),5(1,1.0),.-.^=(^-1,0,1),

又尸(0,0,1-力,5(1,1.1),.-.^=(1.1,力,

由于故若45^平面/况

只需尸至一•B[E=(1,1,y)•(x-1,0,1)=0=x+y=l.

答案：1

9.如图所示，为垂直于正方形/版所在平面，AB=2,£为期的中点，COS

〈DP,AE)=乎，若以物、DC,分所在直线分别为x,y,z轴建

立空间直角

O

坐标系，则点£的坐标为.

B

解析：设划=a,则力(2,0,0),6(2,2,0),

户(0,0,a),41,1,0

DP=(0,0,a),AE=^-1,1,|j.

由cos〈DP,AE〉=*，

••・£的坐标为(1,1,1).

答案：(1,1,1)

10.如图所示，在四棱锥P-26切中，为，底面46〃AB1AD,AC1.乙ABC

60°,PA=AB=BC,£是户C的中点.证明：

WAELCD；

⑵PDL平面ABE.

证明：AB、AD、4P两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系，设为="=欧=1,则2(0,0,1).

(1)•••AABC=60°,

.•.△A6C为正三角形.

乎,°)4坐0

设，(0,万o),AC1CD,得A0-CD=0,

即厂平,则6,平,0)

•■-C5=H'W"又版=3乎,9

AE-CD=-1x1+^x^=0,

AE1CD,即AEVCD.

⑵法-：)(0,0,1),，尸0=[o,平，-1

又AE•PD=-^x^^+|x(-1)=0,

PD1AE,gpPDLAE.

•「AB=(1,0,0),/.PD•AB=0.

.'.PD1AB,XABHAE=A,7.勿_1平面/股

法二：AB=(1,0,0),AE=小半，!

设平面力座的一个法向量为z?=(x,y,z),

x=0,

则’1事1

-x+^y+-z=Q,

令y=2,贝IJz=：.n=（0,2,-邓）.

PD=|^0,平，-1J显然PZ）=g.

•••PD//n,：.PD1平面ABE,即PDA.平面ABE.

11.已知矩形极力中，力8=6,BC=6^2,£为加的中点（图甲）.沿庞将△/龙折起，使二面角4-

庞-C为直二面角（图乙），且尸为的中点.

4

图乙

（1）求证：股/平面/庞；

⑵求证：ACLBE.

证明：⑴如图1,设〃为8c的中点，连接〃侬MF.•.•尸为4C的中点，〃为比的

中点，：.MF//AB.

又•.•胡触庞，，四边形创定为平行四边形，，加〃物1V1(_

图1

■:MFC\MD=M、ABCBE=B,

，平面"汹7平面/庞：

又•.•如C平面毋W两平面/庞，

如〃平面ABE.

⑵在矩形四切(如图2)中，连接得交庞于£

BE-AC=(BA+AE)•(AB+BC)

二-AB2+AE,BC=-36+36=0.

:.ACIBE.

二在图3中，AG1BE,CGIBE.

A

BC

图3

又AGQGC=G,

，庞_L平面AGC.

又：/后平面/GC,：.AC\.BE.

12.(•长春模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD//BC,

AABC=9Q°,PDL^-^ABCD,AD=\,AB=y[3,BC=4.

⑴求证：BDLPC；

⑵设点£在棱PC上,PEAPC若庞〃平面PAB,求A的值.

解：⑴证明：如图，在平面ABCD内过点2作直线DF//AB,交BC于点F,以D

为坐标原点，加、DF、加所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-

xyz,则4(1,0,0),6(1,木,0),2(0,0,0),(7(-3,/，0).

⑴设加=a,则尸(0,0,a),=(-1,甘,0),PC=(-3,小，-a),

BD•PC=3-3=0,：.BDVPC.

⑵由题意知，AB-(0,木,0),DP=(0,0,a),PA=(1,0,-a),PC=(-3,小,-a),

,/PE=APC,PE=(-34,-'Js4,-a4)，

DE=DP+PE=(0,0,a)+(-3-4,-^34,-a4)

=(-3,y[3,a-a.

AB•〃二0,

设A=(X,y,z)为平面序夕的法向量，贝行

PA•n=0,

'小y=Q,

即彳

x-az-0.

令z=l,得X=2:.n=0,1),

:庞〃平面处及DE•z?=0,

_3aX+乃一a4二0,即3(1_44)=0,

1

O1

aA-4-

B级重点选做题

1.已知45=(1,5,-2),BC=(3,1,z),若入BP=(^-1,y,-3),且如，平面

ABC,则实数x,y,z分别为()

33154015

—4B.y,4

A-7'7，

4040

c-~'-2,4D,4,y,-15

解析：选B.AB1BC,..AB-BC=0,

即3+5-2z=0,得2=4.

x-1+5y+6=0,

又如_L平面/员\:.BPIAB,BPIBC,BC=(3,1,4),则解得

3x-1+y-12=0,

40

Y，

15

y=

2.设空间四点。，4B,尸满足OP=。4+《45,其中0〈伙1,则有（)

A.点户在线段力8上

B.点?在线段力6的延长线上

C.点?在线段BA的延长线上

D.点户不一定在直线上

解析：选A•.•（）（K1,•••尸点在线段相上.

.3.已知正方体力颔-4AG4的棱长为2,E、尸分别是隔、加的中点.求证：

⑴阳〃平面/庞;

（2）平面/庞〃平面8GE

证明：（1）如图所示，建立空间直角坐标系。-xyz,

则有D(0,0,0)、2(2,0,0)、C(0,2,0)、G(0,2.,2)、£(2,2,1)、b(0,0,1),所以

FC】=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1).

设Z21=（肛71,Z1）是平面力庞的一■个法向量，则Z211DA,7711AE,

721,DA=2,xi=0,

即1

/2i•AE=2yl+zi=0.

荀=0,

解得

zi=-2几

令团=2,则与=-1,所以Ai=(0,-1,2).

因为FQ,Th=-2+2=0,所以77cl1a.

又因为闺C平面ADE,所以闺〃平面ADE.

⑵由⑴得氏(2,2,2),。冉=(2,0,0).

设功=(X2,Z2)是平面61G6的一个法向量，

则m±FC],Ih1C1B1,

m•FC[=2万+