人教A版（2019）必修第二册6.2平面向量的运算(精讲)(原卷版+解析)

6.2平面向量的运算（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一平面向量的线性运算【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）化简（1）（2）；（3）＋．【例1-2】（2022·全国·高一课前预习）计算：（1）；（2）.【一隅三反】1．（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．2．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）．3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，，求作和.考点二共线定理【例2】（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定的值，使和共线；(3)若与不共线，试求的取值范围.【一隅三反】1．（2022·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):(1);(2);(3).3．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)试确定实数，使和同向．考点三数量积【例3-1】（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【例3-2】（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（

）A． B． C． D．【例3-3】．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，，则_________.【例3-4】（2021·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．【一隅三反】1．（2022·上海市）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．2．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____．3．（2022·上海市控江中学高一期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.4．（2022·全国·高一课时练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝5．（2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考（文））已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________．考点四取值范围【例4-1】（2022·湖北）若，则的取值范围是（

）A．[3，7] B． C． D．【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.【一隅三反】1．（2022·上海崇明·）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.2．（2022·上海）如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______3．（2022·上海）设，为单位向量，非零向量，．若，的夹角为，则的最大值等于________．6.2平面向量的运算（精讲）思维导图思维导图典例精讲典例精讲考点一平面向量的线性运算【例1-1】（2022·全国·高一课时练习）化简（1）（2）；（3）＋．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）方法一(统一成加法)：方法二(利用)：（2）．（3）【例1-2】（2022·全国·高一课前预习）计算：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）=.（2）=【一隅三反】1．（2022·湖南·高一课时练习）化简：(1)；(2)；(3)．(4)；(5)；(6)．【答案】(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6).【解析】(1).(2).(3).(4).(5).(6).2．（2022·全国·高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）原式；（2）原式；（3）原式．3．（2022·全国·高一专题练习）已知向量，，，求作和.【答案】详见解析【解析】由向量加法的三角形法则作图：由向量三角形加减法则作图：考点二共线定理【例2】（2022·全国·高一课时练习）设，是两个不共线的向量，如果，，.(1)求证：A，B，D三点共线；(2)试确定的值，使和共线；(3)若与不共线，试求的取值范围.【答案】(1)证明过程见解析(2)(3)【解析】（1）证明：因为，所以与共线.因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线.（2）因为与共线，所以存在实数，使.因为，不共线，所以所以.（3）假设与共线，则存在实数m，使.因为，不共线，所以所以.因为与不共线，所以.【一隅三反】1．（2022·浙江·高一期中）已知为不共线的两个单位向量，若与平行，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为与平行，所以存在实数，使得，即，又为不共线，所以，解得.故选：B.2．（2022·全国·高一专题练习）判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):(1);(2);(3).【答案】(1)共线；(2)共线；(3)不共线.【解析】(1)因，则有，所以共线.(2)因，，则，所以共线.(3)假设，则，即，因不共线，于是得，此方程组无解，因此不存在实数，使得，所以不共线.3．（2022·全国·高一课时练习）设两个非零向量与不共线．(1)若，，，求证：，，三点共线；(2)试确定实数，使和同向．【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】（1）证明：因为，，，所以．所以，共线．又因为，有公共点，所以，，三点共线．（2）解：因为与同向，所以存在实数，使，即．所以．因为，是不共线的两个非零向量，所以，解得，或，又因为，所以．考点三数量积【例3-1】（2022·湖北省天门中学高一阶段练习）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，所以，所以，故选：A【例3-2】（2022·内蒙古大学满洲里学院附属中学高一期末）已知向量，满足，，则向量，的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，即，即，又，，解得，，所以.故选：C【例3-3】．（2022·全国·高一课时练习）已知向量，满足，，，则_________.【答案】【解析】由可得，，即，解得：，所以．故答案为：．【例3-4】（2021·山东·高一阶段练习）在中，，若D为BC中点，则为_________．【答案】【解析】，所以，故，，两式相减得，所以，所以＝.故答案为：【一隅三反】1．（2022·上海市）已知向量满足的夹角为，则的值是_____．【答案】【解析】，即，即，解得或（舍）.故答案为：3.2．（2022·上海市曹杨中学高一期末）已知向量与的夹角为，记且，则_____．【答案】【解析】且，，即又向量与的夹角为，，解得，，，又，所以故答案为：3．（2022·上海市控江中学高一期末）已知向量满足且，则在方向上的数量投影为______.【答案】【解析】，，所以在方向上的数量投影为.故答案为：4．（2022·全国·高一课时练习）已知单位向量，满足，若向量，则＝【答案】【解析】因为，是单位向量，所以，又因为，，所以，，所以，因为，所以5．（2021·云南·昭通市昭阳区第一中学高二月考（文））已知向量与的夹角为，且，，设，，则向量在方向上的投影为___________．【答案】2【解析】与的夹角为，且，,又，，设,在方向上的投影为在方向上的投影为故答案为：2考点四取值范围【例4-1】（2022·湖北）若，则的取值范围是（

）A．[3，7] B． C． D．【答案】C【解析】由题意知，且,当同向时，取得最小值，；当反向时，取得最大值，；当不共线时，取得最小值，，故的取值范围是，故选：C【例4-2】（2022·上海）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是______.【答案】2【解析】因为在方向上的数量投影为，所以当最小时，数量投影取得最小值.设，则.因为，则当时，有最小值6.所以，在方向上的数量投影的最小值是.故答案为：2.【一隅三反】1．（2022·上海崇明·）在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P为其内部或边界上一点，则的取值范围为______.【答案】【解析】正六边形ABCDEF中，过点B作于，则又即，故的取值范围为故答案为：2．（2022·上海）如图，已知正六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则的取值范围为______【答案】【解析】由