8.6.2直线与平面垂直第1课时课件高一下学期数学人教A版

直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定[目标导航]课标要求1.理解并掌握直线与平面垂直的定义、判定定理,并能根据定义和判定定理证明线面垂直和线线垂直的相互转化.2.理解并掌握直线与平面所成角的定义,会求直线与平面所成的角.素养达成通过直线与平面垂直的定义、判定定理的学习,提升逻辑推理和空间想象的核心素养.1新知导学素养启迪1.直线与平面垂直的定义(1)一般地,如果直线l与平面α内的

都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作

.(2)过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的

,

叫做这个点到该平面的距离.思考1:过空间一点垂直于已知平面的直线有几条?答案:过空间一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.任意一条直线l⊥α垂线段垂线段的长度2.直线与平面垂直的判定定理(1)文字语言:如果一条直线与一个平面内的

,那么该直线与此平面垂直.(2)符号语言:两条相交直线垂直(3)图形语言:如图.思考2:直线与平面内的两条平行线垂直,则直线与该平面垂直吗?答案:不一定垂直.思考3:直线与平面内的无数条直线都垂直,则直线与该平面垂直吗?答案:不一定垂直.3.直线与平面所成的角(1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但

,这条直线叫做这个平面的斜线.(2)斜足:

.(3)斜线在平面上的射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过

叫做斜线在这个平面上的射影.不与这个平面垂直斜线和平面的交点A垂足O和斜足A的直线AO(4)直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面上的

所成的角.(5)一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是0°.直线与平面所成的角θ的取值范围是

.

射影0°≤θ≤90°4.可以直接作为线面垂直判定的两个结论(1)如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,则它必垂直于另一个平面.2课堂探究素养培育题型一线面垂直的判定定理[例1]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,且PA=PC,判断直线AC与平面PBD是否垂直,并说明理由.解:直线AC与平面PBD垂直,理由如下:设AC∩BD=O,连接PO,因为底面ABCD是菱形,则AC⊥BD,且O为AC的中点,因为PA=PC,则PO⊥AC,又因为PO∩BD=O,PO,BD⊂平面PBD,所以AC⊥平面PBD.利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤:(1)在平面内找到两条直线,使已知直线与这两条直线垂直.(2)确定平面内的两条直线是相交直线.(3)根据判定定理得出结论.题型二线面垂直定义和判定定理的综合应用[例2]如图,P为△ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,∠ABC=90°,AE⊥PB于点E,AF⊥PC于点F.求证:证明:(1)因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以PA⊥BC.因为∠ABC=90°,所以AB⊥BC.又AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,所以BC⊥平面PAB.(1)BC⊥平面PAB;证明:(2)因为BC⊥平面PAB,AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.因为PB⊥AE,BC∩PB=B,BC,PB⊂平面PBC,所以AE⊥平面PBC.(2)AE⊥平面PBC;证明:(3)因为AE⊥平面PBC,PC⊂平面PBC,所以AE⊥PC.因为AF⊥PC,AE∩AF=A,AE,AF⊂平面AEF,所以PC⊥平面AEF.(3)PC⊥平面AEF.由线面垂直的定义,知直线与平面内的任一直线垂直,应用时,应根据后续需证的结论,找到平面内一条合适的直线与之垂直,如(1)由PA⊥平面ABC,可得PA与AB,AC,BC都垂直,但根据需要,选择PA⊥BC.[变式与拓展2-1]如图,在四棱锥E-ABCD中,DA⊥平面ABE,四边形ABCD是正方形,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.求证:AE⊥平面BCE.证明:因为BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,所以BF⊥AE.因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,由DA⊥平面ABE,可知BC⊥平面ABE,又AE⊂平面ABE,所以BC⊥AE,因为BC∩BF=B,BC,BF⊂平面BCE,所以AE⊥平面BCE.题型三直线与平面所成的角[例3]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.求平面的斜线与平面所成的角的步骤:(1)作.过斜线上一点作平面上的垂线,得斜线的射影.(2)证.说明斜线与射影所成的角即为所求线面角.(3)算.在直角三角形中计算这个角,最后得出结论.1.下列做法可以使旗杆与水平地面垂直的是(

)①过旗杆底部在地面上画一条直线,使旗杆与该直线垂直;②过旗杆底部在地面上画两条直线,使这两条直线垂直;③在旗杆顶部拴一条长度大于旗杆高度的无弹性的细绳,拉紧在地面上找三点,使这三点到旗杆底部的距离相等.A.①②

B.②③

C.③

D.②√解析:过旗杆底部在地面上画一条直线,无法确定旗杆与水平地面垂直,故①错误.过旗杆底部在地面上画两条直线,只有当这两条直线相交,且旗杆与这两条直线都垂直时,才能使旗杆与水平地面垂直,故②错误.当旗杆与水平地面垂直时,斜线相等时射影相等,能在地面上找三点,使这三点到旗杆底部的距离相等,则旗杆与水平地面垂直,因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直,故③正确.故选C.2.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是(

)A.平面DD1C1C B.平面A1DBC.平面A1B1C1D1

D.平面A1DB1√解析:因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1⊂平面A1DB1,所以AD1⊥平面A1DB1.故选D.3.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则AB与平面α所成的角是(

)A.60° B.45° C.30° D.120°√4.下列说法中正确的是(

)①过平面外一点有且只有一条直线和已知平面垂直;②过直线外一点有且只有一个平面和已知直线垂直