5.2平面向量的数量积

5.2平面向量的数量积课标要求精细考点素养达成1.理解平面向量数量积的含义并会计算2.理解向量a在向量b上的投影向量的概念3.掌握平面向量数量积的性质及其运算律,并会应用数量积的基本运算1.通过向量数量积的相关概念的学习,培养数学抽象、数学运算的核心素养投影向量及应用2.通过向量数量积的运算,培养数学运算、逻辑推理的核心素养向量模与夹角的有关计算1.(概念辨析)(多选)下列说法不正确的有().A.投影是一种变换,投影向量是向量B.若a·b<0,则a和b的夹角为钝角C.若a∥b,b∥c,则a∥cD.若a·b=b·c,则a=c2.(对接教材)已知|a|=1,|b|=2,a·b=2,则向量a,b的夹角为().A.π6 B.π4 C.3π43.(对接教材)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,且a与b的夹角为π3,则|a+b|=()A.3 B.5 C.7 D.34.(易错自纠)在△ABC中,AB=3,AC=2,BC=10,则BA·AC的值为.

5.(模拟演练)(2024·广东七校联考)等边△ABC边长为2,BD=13BC,则AD·BC=(A.1 B.1 C.23 D.平面向量的数量积典例1(1)(2023·全国乙卷文)正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则EC·ED=().A.5 B.3C.25 D.5(2)(2024·江苏如东期初学情检测)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a2b|=3,则|ab|=().A.2 B.3 C.2 D.5(3)(2023·江苏如皋中学月考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|=2,且(ab)⊥b,则向量b在向量a方向上的投影向量的模为.

(4)设两个向量a,b满足|a|=1,|b|=2.若(2ab)·(a+b)=3,则a,b的夹角θ=;若a,b的夹角为60°,向量2tab与2a+tb的夹角为钝角,则实数t的取值范围为.

向量数量积的求法1.求两个向量的数量积,首先确定两个向量的模及向量的夹角,其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.2.求向量a,b的夹角θ的思路:(1)求向量的夹角的关键是计算a·b及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||(2)在个别含有|a|,|b|与a·b的等量关系式中,常利用消元思想计算cosθ的值.3.解决向量投影问题应注意以下三点:(1)向量a在b方向上的投影向量为|a|cosθe(其中e为与b同方向的单位向量),它是一个向量,且与b共线,其方向由向量a和b夹角θ的余弦值决定;(2)向量a在b方向上的投影向量为a·b(3)向量a在b方向上的投影向量与b在a方向上的投影向量不同,即向量b在a上的投影向量可表示为a·b训练1(1)已知a,b,c均为单位向量,且a+2b=3c,则a·c=().A.13 B.13 C.1 (2)(2023·江苏连云港高中月考)若|a+b|=233|a|,且a⊥b,则向量a+b与a的夹角为(A.π6 B.π3C.2π3 (3)已知向量a,b满足|a|=5,|ab|=6,|a+b|=4,则向量b在向量a方向上的投影向量的模为.

平面向量数量积的性质典例2关于非零的平面向量a,b,c,下列说法正确的是.(填序号)

①若a·c=b·c,则a=b;②(a+b)·c=a·c+b·c;③若a2=b2,则a·c=b·c;④(a·b)c=(b·c)a;⑤|a·b|≤a·b;⑥若|a+b|=|a||b|,则存在实数λ,使得a=λb.(1)向量的数量积不满足消去律:设a,b,c均为非零向量且a·c=b·c,则不一定能得到a=b.(2)一般地,向量的数量积(a·b)c≠(b·c)a,这是由于a·b,b·c都是实数,(a·b)c表示与c共线的向量,(b·c)a表示与a共线的向量,而a与c不一定共线.(3)两个结论:①(a+b)2=a2+2a·b+b2;②(a+b)·(ab)=a2b2.训练2给出以下结论:①0·0=0;②0a=0;③|a·b|=|a||b|;④a·b=0⇒a=0或b=0;⑤a⊥b⇒(a·b)c=0.其中正确的结论是.(填序号)

投影法的应用典例3(2023·河北石家庄月考)已知A,B是圆x2+y2=4上的两个动点,|AB|=2,点C满足CB=52CA,若M为AB的中点,则OC·OM的值为(A.3 B.23C.2 D.3作为数量积的几何定义,通常适用于处理几何图形中的向量问题1.图形中出现与所求数量积相关的垂直条件,尤其是垂足确定的情况下(此时便于确定投影),例如:直角三角形,菱形对角线,三角形的外心(外心到三边的投影为三边中点)2.从模长角度出发,在求数量积的范围中,如果所求数量积中的向量有一个模长是定值,则可以考虑利用投影,从而将问题转化为寻找投影最大、最小的问题.训练3如图,在△ABC中,O是外接圆圆心,D是BC中点,AB=3,AC=2,则AD·AO=.

极化恒等式1.极化恒等式:a·b=14[(a+b)2(ab)2(1)公式推导:(a+b)2=a2+2a·b+b(2)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的142.平行四边形模式:如图,在平行四边形ABCD中,O是对角线的交点,则AB·AD=14(|AC|2|BD|2)3.三角形模式:如图,在△ABC中,设D为BC的中点,则AB·AC=|AD|2|BD|2.(1)推导过程:AB·AC=12(AB+AC)21(2)三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式,几乎所有的问题都是用它解决.(3)记忆规律:向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.典例如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2,点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则EF·FG+GH·HE=().A.32 B.32C.34极化恒等式使用步骤在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下,极化恒等式的一般步骤如下:第一步,取第三边的中点,连接向量的起点与中点;第二步,利用极化恒等式公式,将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差;第三步,利用平面几何方法或用正弦、余弦定理求中线及第三边的长度,从而求出数量积.如需进一步求数量积的最值或范围,可以用点到直线的距离或三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边或基本不等式等求得中线长的最值或范围.训练如图,在平面四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若AB·AD=7,则BC·DC的值是.

一、单选题1.(课本改编题)在锐角三角形ABC中,下列关于向量夹角的说法,正确的是().A.AB与BC的夹角是锐角 B.AC与BA的夹角是锐角C.AC与BC的夹角是锐角 D.AC与BC的夹角是钝角2.下列说法正确的是().A.向量a,b满足|a·b|≤a·bB.若向量a,b,c满足a·c=b·c(c≠0),则a=bC.若向量a∥b,b∥c,则a∥cD.对任意两向量a,b,ab与ba是相反向量3.(2024·广东高三摸底考试)已知平面单位向量a,b,c满足a+b+12c=0,则a·b=()A.52 B.2 C.3 D.4.(2023·江苏徐州一中调研)在△ABC中,C=90°,点D在AB上,AD=3DB,|CB|=4,则CB·CD=().A.8 B.10 C.12 D.16二、多选题5.设平面向量|a|=1,|b|=2,b在a方向上的投影向量为c,则().A.a·c=c·bB.a·b=a·cC.|a·c|≤2 D.a·c=|a|·|c|6.(2023·江苏泗洪中学月考)已知向量a,b的夹角为π6,|a|=3,|b|=1,t∈R,则()A.b在a方向上的投影向量的模为3B.a+3b在a方向上的投影向量的模为3C.|ta+b|的最小值为1D.当|ta+b|取得最小值时,a⊥(ta+b)三、填空题7.(2023·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足|ab|=3,|a+b|=|2ab|,则|b|=.

8.(2024·福建第一次质量检测)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点P在BC边上(包括端点),则AD·AP的取值范围是.

四、解答题9.已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2ab)=3.(1)求|ab|;(2)若向量b与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.10.如图,在△ABC中,CM=2MB,点Q为AC的中点,BQ交AM于点N.(1)证明:点N为BQ的中点;(2)若NA·NM=6,求|AM|.11.(多选)定义一种向量运算“