第04讲 一元二次函数（方程不等式）知识+真题+6类高频考点 精讲（原卷版）-备战2025年高考新结构数学一轮复习精讲精练

第04讲一元二次函数（方程，不等式）目录TOC\o"1-3"\h\u第一部分：基础知识 1第二部分：高考真题回顾 3第三部分：高频考点一遍过 3高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参） 3高频考点二：一元二次不等式解法（含参） 4高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系 6高频考点四：一元二次不等式恒成立问题 7角度1：上恒成立（优选法） 7角度2：上成立（优选法） 7角度3：上恒成立（优选分离变量法） 8角度4：上成立（优选分离变量法） 8角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法） 8高频考点五：分式不等式 10高频考点六：一元二次不等式的应用 11第四部分：典型易错题型 13备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。 13备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。 13第五部分：新定义题（解答题） 13第一部分：基础知识1、二次函数（1）形式：形如的函数叫做二次函数.（2）特点：①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().2、一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.3.或型不等式的解集不等式解集4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式二次函数的图象一元二次方程的根有两相异实数根，()有两相等实数根没有实数根一元二次不等式的解集一元二次不等式的解集5、分式不等式解法（1）（2）（3）（4）6、单绝对值不等式（1）（2）第二部分：高考真题回顾1．（2023·全国·统考高考真题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．22．（2023·全国·（新课标Ⅰ卷））设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．第三部分：高频考点一遍过高频考点一：一元二次（分式）不等式解法（不含参）典型例题例题1．（2024上·江西南昌·高一校联考期末）不等式的解集是（

）A． B． C． D．例题2．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．(1)求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围．例题3．（2024上·湖南长沙·高一校考期末）解下列关于x的不等式：(1)；(2).练透核心考点1．（2024上·广东江门·高一统考期末）一元二次不等式的解集为.2．（2024上·湖南岳阳·高一校考期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.(1)求集合；(2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.3．（2024上·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）已知集合．(1)若，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．高频考点二：一元二次不等式解法（含参）典型例题例题1．（2024上·四川南充·高一统考期末）已知函数.(1)若关于的不等式的解集为，求实数，的值；(2)求关于的不等式的解集.例题2．（2024上·重庆·高一校联考期末）已知函数.(1)当时，求函数的零点；(2)当时，求不等式的解集.例题3．（2024上·甘肃庆阳·高一校考期末）已知函数，其中.(1)若，求实数的值；(2)求不等式的解集.练透核心考点1．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）设为实数，则关于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．2．（2024上·四川宜宾·高一统考期末）已知集合，集合．(1)当时，求；(2)若，求实数m的取值范围．3．（2024上·福建宁德·高一统考期末）已知.(1)若，求的值；(2)求关于的不等式的解集.高频考点三：一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系典型例题例题1．（多选）（2024上·湖南娄底·高一统考期末）已知关于x的不等式（，）的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B．的最大值为C．的最小值为4 D．的最小值为例题2．（2024上·江西萍乡·高一统考期末）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为．例题3．（2023上·江苏南京·高一期末）已知不等式的解集为，设不等式的解集为集合.(1)求集合；(2)设全集为R，集合，若是成立的必要条件，求实数的取值范围.练透核心考点1．（多选）（2024上·山东临沂·高一统考期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（

）A．且 B．C．不等式的解集为 D．不等式的解集为2．（2024上·湖南·高一校联考期末）已知.(1)若不等式的解集是，求实数的值；(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.3．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知二次函数．(1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值；(2)若，，解关于的不等式．高频考点四：一元二次不等式恒成立问题角度1：上恒成立（优选法）典型例题例题1．（2023上·云南昆明·高一官渡五中校考期中）若不等式的解集为R，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．例题2．（2023上·重庆沙坪坝·高三重庆市第七中学校校考阶段练习）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（）A． B． C． D．角度2：上成立（优选法）典型例题例题1．（2023上·广东珠海·高一校联考期中）命题：，为真命题，则实数的取值范围为.角度3：上恒成立（优选分离变量法）典型例题例题1．（2023上·辽宁铁岭·高三校联考期中）已知，，，则实数m的取值范围是（

） B． C． D．角度4：上成立（优选分离变量法）典型例题例题1．（2023上·浙江·高二校联考期中）若关于x的不等式在上有解，则实数m的最小值为（

）A．9 B．5 C．6 D．角度5：已知参数，求取值范围（优选变更主元法）典型例题例题1．（2024上·福建福州·高一福建省长乐第一中学校考阶段练习）已知函数.(1)当时，求的解集；(2)是否存在实数，使得不等式对满足的所有恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.练透核心考点1．（2023上·湖南张家界·高一慈利县第一中学校考期中）（1）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.2．（2024上·福建南平·高一统考期末）设函数．(1)若，求不等式的解集；(2)若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围．3．（2024上·安徽芜湖·高一统考期末）设函数，关于的一元二次不等式的解集为．(1)求不等式的解集；(2)若，求实数的取值范围．4．（2024上·四川内江·高一统考期末）已知二次函数的最小值为，且是其一个零点，都有．(1)求的解析式；(2)求在区间上的最小值；(3)若关于x的不等式在区间上有解，求实数m的取值范围．5．（2024上·安徽安庆·高一安庆一中校考期末）设定义域为的奇函数，（其中为实数）．(1)求的值；(2)是否存在实数和，使不等式成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．高频考点五：分式不等式典型例题例题1．（2024上·山东滨州·高一统考期末）已知集合，.(1)当时，求；(2)若，求的取值范围.例题2．（2024上·江苏南京·高一南京师大附中校考期末）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.练透核心考点1．（2024上·陕西宝鸡·高一统考期末）已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.2．（2024上·湖南长沙·高一湖南师大附中校考期末）设全集，集合，．(1)求；(2)已知集合，若，求a的取值范围．高频考点六：一元二次不等式的应用典型例题例题1．（2023上·贵州贵阳·高一校考阶段练习）一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量（单位：辆）与创造的价值（单位：元）之间有如下的关系：.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上，则在一个星期内大约应该生产（填写区间范围）辆摩托车？例题2．（2024上·全国·高一专题练习）某新能源公司投资280万元用于新能源汽车充电桩项目，且年内的总维修保养费用为万元，该项目每年可给公司带来200万元的收入.设到第且年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入-累计维修保养费-投资成本）为万元.已知到第3年年底，该项目的纯利润为128万元.(1)求实数的值.并求该项目到第几年年底纯利润第一次能达到232万元；(2)到第几年年底，该项目年平均利润（平均利润=纯利润年数）最大？并求出最大值.练透核心考点1．（2024下·西藏·高一开学考试）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为万元.(1)要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.2．（2023上·陕西宝鸡·高一宝鸡市渭滨中学校考阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？第四部分：典型易错题型备注：一元二次不等式最高项系数容易忽略化正。1．（2023上·湖南永州·高一校考阶段练习）一元二次不等式的解集是（

）A．或 B．或C． D．备注：分式不等式容易直接乘到另一侧忽略正负而漏解。2．（2023上·吉林·高一吉化第一高级中学校校考阶段练习）不等式的解集