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文档简介

广东省韶关市新丰一中2025届高三入学摸底考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a–1,2a]上的偶函数,那么a+b的值是A. B.C. D.2.已知向量,则向量在向量方向上的投影为()A. B. C. D.3.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,下列命题正确的是()A.若,,,,则B.若,,,则C.若,,,则D.若,,,则4.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计,烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:)服从正态分布,则直径在内的概率为()附:若,则,.A.0.6826 B.0.8413 C.0.8185 D.0.95445.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.6.某市气象部门根据2018年各月的每天最高气温平均数据,绘制如下折线图,那么,下列叙述错误的是()A.各月最高气温平均值与最低气温平均值总体呈正相关B.全年中,2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大C.全年中各月最低气温平均值不高于10°C的月份有5个D.从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值呈下降趋势7.曲线在点处的切线方程为()A. B. C. D.8.已知a,b∈R,,则()A.b=3a B.b=6a C.b=9a D.b=12a9.框图与程序是解决数学问题的重要手段,实际生活中的一些问题在抽象为数学模型之后,可以制作框图,编写程序,得到解决,例如,为了计算一组数据的方差,设计了如图所示的程序框图,其中输入,,,,,,,则图中空白框中应填入()A., B. C., D.,10.“”是“函数的图象关于直线对称”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件11.一个陶瓷圆盘的半径为,中间有一个边长为的正方形花纹,向盘中投入1000粒米后,发现落在正方形花纹上的米共有51粒,据此估计圆周率的值为(精确到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.14712.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在的展开式中,的系数等于__.14.若实数,满足,则的最小值为__________.15.过直线上一动点向圆引两条切线MA,MB,切点为A,B,若,则四边形MACB的最小面积的概率为________.16.已知双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为,则双曲线的焦距为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.18.(12分)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得分,投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.从所有参赛选手中随机抽取人,将他们的得分按照、、、、分组,绘成频率分布直方图如图:(1)分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数;(2)从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手,以表示这名选手中得分不超过分的人数,求的分布列和数学期望.19.(12分)如图,在四棱锥中,底面,,,,为的中点,是上的点.(1)若平面,证明:平面.(2)求二面角的余弦值.20.(12分)一酒企为扩大生产规模,决定新建一个底面为长方形的室内发酵馆,发酵馆内有一个无盖长方体发酵池,其底面为长方形(如图所示),其中.结合现有的生产规模,设定修建的发酵池容积为450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元,发酵池造价总费用不超过65400元(1)求发酵池边长的范围;(2)在建发酵馆时,发酵池的四周要分别留出两条宽为4米和米的走道(为常数).问:发酵池的边长如何设计,可使得发酵馆占地面积最小.21.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.22.(10分)在中,内角,,所对的边分别是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

依照偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x),且定义域关于原点对称,a﹣1=﹣2a,即可得解.【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称,且f(x)是定义在[a–1,2a]上的偶函数,得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故选B.本题考查偶函数的定义,对定义域内的任意实数,f(﹣x)=f(x);奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称,定义域区间两个端点互为相反数.2.A【解析】

投影即为,利用数量积运算即可得到结论.【详解】设向量与向量的夹角为,由题意,得,,所以,向量在向量方向上的投影为.故选:A.本题主要考察了向量的数量积运算,难度不大,属于基础题.3.B【解析】

根据空间中线线、线面位置关系,逐项判断即可得出结果.【详解】A选项,若,,,,则或与相交;故A错;B选项,若,,则,又,是两个不重合的平面,则,故B正确;C选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故C错;D选项,若,,则或或与相交,又,是两个不重合的平面,则或与相交;故D错;故选B本题主要考查与线面、线线相关的命题,熟记线线、线面位置关系,即可求解,属于常考题型.4.C【解析】

根据服从的正态分布可得,,将所求概率转化为,结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意,,,则,,所以,.故果实直径在内的概率为0.8185.故选:C本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题,考查了正态曲线的对称性,属于基础题.5.A【解析】

根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.6.D【解析】

根据折线图依次判断每个选项得到答案.【详解】由绘制出的折线图知:在A中,各月最高气温平均值与最低气温平均值为正相关,故A正确;在B中,全年中,2月的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大,故B正确;在C中,全年中各月最低气温平均值不高于10℃的月份有1月,2月,3月,11月,12月,共5个,故C正确;在D中,从2018年7月至12月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值,先上升后下降,故D错误.故选:D.本题考查了折线图,意在考查学生的理解能力.7.A【解析】

将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线,即,当时,代入可得,所以切点坐标为,求得导函数可得,由导数几何意义可知,由点斜式可得切线方程为,即,故选:A.本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.8.C【解析】

两复数相等,实部与虚部对应相等.【详解】由,得,即a,b=1.∴b=9a.故选:C.本题考查复数的概念,属于基础题.9.A【解析】

依题意问题是,然后按直到型验证即可.【详解】根据题意为了计算7个数的方差,即输出的,观察程序框图可知,应填入,,故选:A.本题考查算法与程序框图,考查推理论证能力以及转化与化归思想,属于基础题.10.A【解析】

先求解函数的图象关于直线对称的等价条件,得到,分析即得解.【详解】若函数的图象关于直线对称,则,解得,故“”是“函数的图象关于直线对称”的充分不必要条件.故选:A本题考查了充分不必要条件的判断,考查了学生逻辑推理,概念理解,数学运算的能力,属于基础题.11.B【解析】

结合随机模拟概念和几何概型公式计算即可【详解】如图,由几何概型公式可知:.故选:B本题考查随机模拟的概念和几何概型,属于基础题12.B【解析】

由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.7【解析】

由题,得,令,即可得到本题答案.【详解】由题,得,令,得x的系数.故答案为:7本题主要考查二项式定理的应用,属基础题.14.【解析】

由约束条件先画出可行域,然后求目标函数的最小值.【详解】由约束条件先画出可行域,如图所示,由,即,当平行线经过点时取到最小值,由可得,此时,所以的最小值为.故答案为.本题考查了线性规划的知识,解题的一般步骤为先画出可行域,然后改写目标函数,结合图形求出最值,需要掌握解题方法.15..【解析】

先求圆的半径,四边形的最小面积,转化为的最小值为,求出切线长的最小值,再求的距离也就是圆心到直线的距离,可解得的取值范围,利用几何概型即可求得概率.【详解】由圆的方程得,所以圆心为,半径为,四边形的面积,若四边形的最小面积,所以的最小值为,而,即的最小值,此时最小为圆心到直线的距离,此时,因为,所以,所以的概率为.本题考查直线与圆的位置关系,及与长度有关的几何概型,考查了学生分析问题的能力,难度一般.16.1【解析】

由双曲线的渐近线,以及求得的值即可得答案.【详解】由于双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为,所以,即①,把代入,得,即②又③联立①②③,得.所以.故答案是:1.本题考查双曲线的性质,注意题目“双曲线的渐近线与准线的一个交点坐标为”这一条件的运用,另外注意题目中要求的焦距即,容易只计算到,就得到结论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】

(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.18.(1)所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人;(2)分布列见解析,.【解析】

(1)将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果;(2)由题可知,随机变量的可能取值为、、,利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率,可得出随机变量的分布列,并由此计算出随机变量的数学期望值.【详解】(1)由题意知,所抽取的人中得分落在组的人数有(人),得分落在组的人数有(人).因此,所抽取的人中得分落在组的人数有人,得分落在组的人数有人;(2)由题意可知,随机变量的所有可能取值为、、,,,,所以,随机变量的分布列为:所以,随机变量的期望为.本题考查利用频率分布直方图计算频数,同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解,考查计算能力,属于基础题.19.(1)证明见解析(2)【解析】

(1)因为,利用线面平行的判定定理可证出平面,利用点线面的位置关系,得出和,由于底面,利用线面垂直的性质,得出,且,最后结合线面垂直的判定定理得出平面,即可证出平面.(2)由(1)可知,,两两垂直,建立空间直角坐标系,标出点坐标,运用空间向量坐标运算求出所需向量,分别求出平面和平面的法向量,最后利用空间二面角公式,即可求出的余弦值.【详解】(1)证明:因为,平面,平面,所以平面,因为平面,平面,所以可设平面平面,又因为平面,所以.因为平面,平面,所以,从而得.因为底面,所以.因为,所以.因为,所以平面.综上,平面.(2)解:由(1)可得,,两两垂直,以为原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为,所以,则,,,,所以,,,.设是平面的法向量,由取取,得.设是平面的法向量,由得取,得,所以,即的余弦值为.本题考查线面垂直的判定和空间二面角的计算,还运用线面平行的性质、线面垂直的判定定理、点线面的位置关系、空间向量的坐标运算等,同时考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力.20.(1)(2)当时,,米时,发酵馆的占地面积最小;当时,时,发酵馆的占地面积最小;当时,米时,发酵馆的占地面积最小.【解析】

(1)设米,总费用为,解即可得解;(2)结合(1)可得

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