高考数学 热点题型和提分秘籍 专题14 导数与函数的单调性、极值 理（含解析）

专题十四导数与函数的单调性、极值【高频考点解读】1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)．【热点题型】题型一利用导数研究函数的单调性例1、(年高考全国新课标卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)．(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；(2)当m≤2时，证明f(x)>0.【方法技巧】1．当f(x)不含参数时，可以通过解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间．2．导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤：(1)求f′(x)；(2)确认f′(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数．【提分秘籍】1．求函数f(x)的单调区间，也是求不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)的解集，但单调区间不能脱离定义域而单独存在，求单调区间要坚持“定义域优先”的原则．2．由函数f(x)在区间[a，b]内单调递增(或递减)，可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立，而不是f′(x)>0(或<0)恒成立，“＝”不能少．【举一反三】设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(a,2)x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.(1)求b，c的值；(2)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．【热点题型】题型二利用导数研究函数的极值例2(年高考重庆卷)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值．【提分秘籍】利用导数研究极值需注意以下几点(1)首先考虑定义域.(2)判断函数的单调性时要注意分类讨论．(3)导数值为0的点不一定是函数的极值点．【举一反三】设函数f(x)的定义域为R，x0(x0≠0)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A．∀x∈R，f(x)≤f(x0)B．－x0是f(－x)的极小值点C．－x0是－f(x)的极小值点D．－x0是－f(－x)的极小值点【热点题型】题型三利用导数研究方程根的问题例3、已知函数f(x)＝ln(2ax＋1)＋eq\f(x3,3)－x2－2ax(a∈R)．(1)若x＝2为f(x)的极值点，求实数a的值；(2)当a＝－eq\f(1,2)时，方程f(1－x)＝eq\f(1－x3,3)＋eq\f(b,x)有实根，求实数b的最大值．【提分秘籍】1．利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式方程解的个数问题的一般思路(1)将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上交点问题；(2)利用导数研究出该函数在该区间上单调性、极值(最值)、端点值等性质，进而画出其图象；(3)结合图象求解．2．证明复杂方程在某区间上有且仅有一解的步骤第一步：利用导数证明该函数在该区间上单调；第二步：证明端点值异号.【高考风向标】1．（·安徽卷）设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．2．（·安徽卷）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).方法二：设f(x)＝eq\f(p－1,p)x＋eq\f(c,p)x1－p，x≥ceq\f(1,p)，则xp≥c，所以f′(x)＝eq\f(p－1,p)＋eq\f(c,p)(1－p)x－p＝eq\f(p－1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c,xp)))>0.由此可得，f(x)在[ceq\f(1,p)，＋∞)上单调递增，因而，当x>ceq\f(1,p)时，f(x)>f(ceq\f(1,p))＝ceq\f(1,p).①当n＝1时，由a1>ceq\f(1,p)>0，即aeq\o\al(p,1)>c可知3．（·福建卷）已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.(3)证明：①若c≥1，则ex≤cex.又由(2)知，当x>0时，x2<ex.故当x>0时，x2<cex.取x0＝0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.4．（·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．5．（·江西卷）若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．（·江西卷）已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，求b的取值范围．7．（·全国卷）曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．18．（·新课标全国卷Ⅱ）设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】y′＝a－eq\f(1,x＋1)，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.9．（·陕西卷）设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)，比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．证明如下：由①②可知，结论对n∈N＋成立．方法三：如图，eq\i\in(0,n,)eq\f(x,x＋1)dx是由曲线y＝eq\f(x,x＋1)，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)是图中所示各矩形的面积和，∴eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＋…＋eq\f(n,n＋1)>eq\i\in(0,n,)eq\f(x,x＋1)dx＝eq\i\in(0,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x＋1)))dx＝n－ln(n＋1)，结论得证．10．（·四川卷）设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn.所以，Tn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).11．（·新课标全国卷Ⅰ）已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x≤0，,ln（x＋1），x＞0.))若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是()A．(－∞，0]B．(－∞，1]C．[－2，1]D．[－2，0]12．（·广东卷）若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________．【答案】－1【解析】∵y′＝k＋eq\f(1,x)，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，故k＝－1.13．（·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________．【答案】2【解析】f(ex)＝x＋ex，利用换元法可得f(x)＝lnx＋x，f′(x)＝eq\f(1,x)＋1，所以f′(1)＝2.14．（·北京卷）设L为曲线C：y＝eq\f(lnx,x)在点(1，0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方．15．（·全国卷）若函数f(x)＝x2＋ax＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))是增函数，则a的取值范围是()A．[－1，0]B．[－1，＋∞)C．[0，3]D．[3，＋∞)【随堂巩固】1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|2．下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x) B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)解析：由题意可知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．答案：A3．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋3a，x<0，,ax，x≥0，))(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是()A．(0,1) B．[eq\f(1,3)，1)C．(0，eq\f(1,3)] D．(0，eq\f(2,3)]4．下列区间中，函数f(x)＝|ln(2－x)|在其上为增函数的是()A．(－∞，1] B．[－1，eq\f(4,3)]C．[0，eq\f(3,2)) D．[1,2)解析：由2－x>0，得x<2，即函数定义域是(－∞，2)．作出函数y＝|ln(－x)|的图象，再将其向右平移2个单位，即函数f(x)＝|ln(2－x)|的图象，由图象知f(x)在[1,2)上为增函数．答案：D5．函数y＝(eq\f(1,2))2x2－3x＋1的递减区间为()A．(1，＋∞) B．(－∞，eq\f(3,4))C．(eq\f(1,2)，＋∞) D．[eq\f(3,4)，＋∞)6．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(eq\f(1,2))>0>f(－eq\r(3))，则方程f(x)＝0的根的个数为()A．0 B．1C．2 D．37．函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．8．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0,0，x＝0,－1，x<0))，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．9．已知函数f(x)＝eq\f(\r(3－ax),a－1)(a≠1)，若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．10．已知函数f(x)对任意的a，b∈R恒有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－11．已知f(x)＝eq\f(x,x－a)(x≠a