高考数学 热点题型和提分秘籍 专题13 变化率与导数、导数的计算 理（含解析）

专题十三变化率与导数、导数的计算【高频考点解读】1.了解导数概念的实际背景．2.理解导数的几何意义．3.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数．4.能利用常见的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．5.能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．【热点题型】题型一导数的概念例1、直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,2)，则ab＝()A．－8B．－6C．－1D．5【提分秘籍】1．并不是所有的函数在其定义域上的每一点处都有导数，如函数y＝|x|在点x＝0处就没有导数，但在定义域上的其他点处都有导数．2．曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．3．曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．【举一反三】曲线y＝2x－x3在x＝－1处的切线方程为()A．x＋y＋2＝0 B．x＋y－2＝0C．x－y＋2＝0 D．x－y－2＝0解析：∵f(x)＝2x－x3，∴f′(x)＝2－3x2.∴f′(－1)＝2－3＝－1.又f(－1)＝－2＋1＝－1，∴切线方程为y＋1＝－(x＋1)，即x＋y＋2＝0.答案：A【热点题型】题型二导数的运算例2、函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为(A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)解析：f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)答案：C【提分秘籍】1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q，(cosx)′＝－sinx.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.3．导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即[u(x)±v(x)±…±w(x)]′＝u′(x)±v′(x)±…±w′(x)．【举一反三】函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinx B．－xsinxC．xcosx D．－xcosx【热点题型】题型三导数的几何意义例3、(1)曲线y＝x3－2x＋1在点(1,0)处的切线方程为()A．y＝x－1 B．y＝－x＋1C．y＝2x－2 D．y＝－2x＋2(2)已知曲线y＝eq\f(1,3)x3＋eq\f(4,3).①求曲线在点P(2,4)处的切线方程；②求斜率为4的曲线的切线方程．【提分秘籍】1．求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；(2)由点斜式方程求得切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．2．求曲线的切线方程需注意两点(1)当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；(2)当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．【热点题型】题型四利用导数的几何意义求参数值或范围例4、(1)已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)的直线方程为y＝ax＋16，与曲线y＝f(x)相切，则实数a的值是()A．－3 B．3C．6 D．9(2)(年温州第一次适应性测试)若曲线f(x)＝ax2＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【提分秘籍】利用导数的几何意义，求参数值或参数范围时要注意判断已知点是否为切点．【热点题型】题型五求切线倾斜角的范围例5、点P在曲线y＝x3－x＋eq\f(2,3)上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))【解析】因为y′＝3x2－1，所以tanα＝3x2－1≥－1，又α≠eq\f(π,2)，故α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)).【答案】B【提分秘籍】利用导数的几何意义，先确定切线斜率的范围，再根据k＝tanα，α∈[0，π)及正切函数图象可求倾斜角α的范围．【举一反三】设直线y＝eq\f(1,2)x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．【高考风向标】1．[·安徽卷]设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a＞0.(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．又f(0)＝1，f(1)＝a，所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．2．[·安徽卷]设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*.(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；(2)数列{an}满足a1＞ceq\f(1,p)，an＋1＝eq\f(p－1,p)an＋eq\f(c,p)aeq\o\al(1－p,n)，证明：an＞an＋1＞ceq\f(1,p).综上所述，an>an＋1>ceq\f(1,p)，n∈N*.方法二：设f(x)＝eq\f(p－1,p)x＋eq\f(c,p)x1－p，x≥ceq\f(1,p)，则xp≥c，所以f′(x)＝eq\f(p－1,p)＋eq\f(c,p)(1－p)x－p＝eq\f(p－1,p)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(c,xp)))>0.由此可得，f(x)在[ceq\f(1,p)，＋∞)上单调递增，因而，当x>ceq\f(1,p)时，f(x)>f(ceq\f(1,p))＝ceq\f(1,p).3．[·福建卷]已知函数f(x)＝ex－ax(a为常数)的图像与y轴交于点A，曲线y＝f(x)在点A处的切线斜率为－1.(1)求a的值及函数f(x)的极值；(2)证明：当x>0时，x2<ex；(3)证明：对任意给定的正数c，总存在x0，使得当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.(2)证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由(1)得，g′(x)＝f(x)≥f(ln2)＝2－ln4>0，故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，所以当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.证明如下：令h(x)＝eq\f(1,3)x3－ex，则h′(x)＝x2－ex.由(2)知，当x>0时，x2<ex，从而h′(x)<0，h(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以h(x)<h(0)＝－1<0，即eq\f(1,3)x3<ex.取x0＝eq\f(3,c)，当x>x0时，有eq\f(1,c)x2<eq\f(1,3)x3<ex.因此，对任意给定的正数c，总存在x0，当x∈(x0，＋∞)时，恒有x2<cex.4．[·广东卷]曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．5．[·江西卷]若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．[·江西卷]已知函数f(x)＝(x2＋bx＋b)eq\r(1－2x)(b∈R)．(1)当b＝4时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))上单调递增，求b的取值范围．7．[·全国卷]曲线y＝xex－1在点(1，1)处切线的斜率等于()A．2eB．eC．2D．1【答案】C【解析】因为y′＝(xex－1)′＝ex－1＋xex－1，所以y＝xex－1在点(1，1)处的导数是y′|x＝1＝e1－1＋e1－1＝2，故曲线y＝xex－1在点(1，1)处的切线斜率是2.8．[·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0，0)处的切线方程为y＝2x，则a＝()A．0B．1C．2D．3【答案】D【解析】y′＝a－eq\f(1,x＋1)，根据已知得，当x＝0时，y′＝2，代入解得a＝3.9．[·陕西卷]设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．当a>1时，对x∈(0，a－1]有φ′(x)<0，∴φ(x)在(0，a－1]上单调递减，∴φ(a－1)<φ(0)＝0.即a>1时，存在x>0，使φ(x)<0，故知ln(1＋x)≥eq\f(ax,1＋x)不恒成立．综上可知，a的取值范围是(－∞，1]．故有ln2－ln1>eq\f(1,2)，ln3－ln2>eq\f(1,3)，……ln(n＋1)－lnn>eq\f(1,n＋1)，上述各式相加可得ln(n＋1)>eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n＋1)，结论得证．10．[·四川卷]设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图像上(n∈N*)．(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图像上，求数列{an}的前n项和Sn；(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－eq\f(1,ln2)，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn)))的前n项和Tn.因此，2Tn－Tn＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝2－eq\f(1,2n－1)－eq\f(n,2n)＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).所以，Tn＝eq\f(2n＋1－n－2,2n).【随堂巩固】1．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为()A．e2 B．eC.eq\f(ln2,2) D．ln2解析：由f(x)＝xlnx得f′(x)＝lnx＋1.根据题意知lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，因此x0＝e.答案：B2．已知曲线y＝x3在点(a，b)处的切线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则a的值是()A．－1 B．±1C．1 D．±33．函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1，或x>1} D．{x|x<－1，或0<x<1}4．若函数y＝f(x)在R上可导且满足不等式xf′(x)>－f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是()A．af(b)>bf(a) B．af(a)>bf(b)C．af(a)<bf(b) D．af(b)<bf(a)解析：令g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0∴g(x)在R上为增函数，∵a>b，∴g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)．答案：B5．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()6．已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是()①f(x)<0恒成立；②(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0；③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0；④feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(fx1＋fx2,2)；⑤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(fx1＋fx2,2).A．①③ B．①③④C．②④ D．②⑤答案：D7．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)<0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在eq