2024-2025学年八年级数学上册：三角形全等几何模型（一线三等角）专项练习

专题1.10三角形全等几何模型（一线三等角）（专项练习）

一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

（22-23七年级上•山东威海・期末）

1.如图，直线/上有三个正方形/、B、C,若正方形/、C的边长分别为2和3,则正方形

B的面积为（）

A.13B.15C.17D.19

（23-24八年级上•河南商丘•期中）

2.如图，已知CELCD,ADVAC,NCBE=90。，DC=EC,若/C=14,AD=6,则42

（23-24八年级上•广东东莞•期中）

3.已知：如图，AC=CD,NB=NE=90°,4c_LCD则不正确的结论是（）

D.Nl=/2

（23-24八年级上•河北沧州•阶段练习）

4.如图所示，/3_18。且48=3。，。。1.。£且。=。石，4P_LAD于点尸，CMVBD

于点ENL8。于点N,根据图中所标注的数据，可得图中实线所围成的图形（阴影部

分）的面积是（）

试卷第1页，共8页

E

A.64B.50C.48D.32

(22-23七年级下•陕西榆林•期末)

5.如图为某单摆装置示意图，摆线长O/=O8=OC=17cm,当摆线位于03位置时，过点

3作CM于点。，测得OD=15cm,当摆线位于OC位置时，。与OC恰好垂直，则

此时摆球到OA的水平距离CE的长为(CE±OA)()

A.17cmB.15cmC.12cmD.5cm

(18-19八年级上•湖南长沙•阶段练习)

6.如图，在。BC中，ABAC=90°,AB=AC,4D是经过A点的一条直线，且8、C在4D

的两侧，BD/D于D,CE_L/D于E,交4B于点、F,CE=10,BD=4,则DE的长为

()

C

A.6B.5C.4D.8

（23-24八年级上•江苏镇江・期末）

7.如图，ZACB=90°,AC=BC,4E_LCE于点£,于点。，AE=5cm,

BD=2cm,则。E的长是（）

试卷第2页，共8页

c

（23-24八年级上•江苏常州•阶段练习）

8.如图，NABC=NACD=90°,BC=2,AC=CD,则△3CD的面积为（）

A.2B.4C.5D.6

（23-24八年级上•河北唐山•期中）

9.如图，在小8。和ACOE中，点3,C,E在同一条直线上，NB=NE=NACD,

A.8B.6C.4D.2

（22-23七年级下•陕西西安•阶段练习）

10.已知如图：AC=CE,且N/CE=90。，ABA.BD于D,ED1,BD于D.BC=2,

CD=3.连接AE.则图中阴影部分的面积为（）.

A.5B.6C.9D.10

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24七年级下•宁夏银川•阶段练习）

试卷第3页，共8页

11.为了测量一幢楼高在旗杆CD与楼之间选定一点尸，使点P到楼底距离必与旗杆

高度相等，等于8米.测得旗杆顶C视线PC与地面夹角4DPC=38。，测楼顶A视线PN与

地面夹角4P8=52。，量得旗杆与楼之间距离。8=33米，楼高A8=米.

（23-24八年级上•江苏扬州•期末）

12.如图，在RtZ\/8C中，NB4c=90°,AB=AC,分别过点8、C作过点/的直线的垂

线BD、CE,若2。=5cm,CE=3cm,则DE=cm.

⑵-24八年级上•浙江衢州•期末）

13.如图，在。BC中，/C=8C,点。在边N8上，E,尸分别是射线。上的两点，且

NAFC=NBEC,ZACB+ZAFC=,AF=5,BE=2.则E/的值是；若

DF=2CF,△/FD的面积为4,贝!JADEB的面积是.

（23-24八年级上•浙江杭州•期中）

14.在同一平面内，有相互平行的三条直线。，b,c,且a,6之间的距离为1,b,c之

间的距离是2,若等腰的三个顶点恰好各在这三条平行直线上，如图所示，

NBAC=90°,在“BC的面积是.

试卷第4页，共8页

A

15.如图，在。BC中，AB=AC=3,48=/C=40。.点。在线段3C上运动(。不与

B,C重合)，连接4D,作N/DE=40。，交线段/C于点E.

(1)当48。/=120。时，2DEC=°；

(2)当DC=时，AABD年ADCE.

（23-24八年级上•江苏无锡•阶段练习）

16.如图，AB=AD,AC=AE,ABAD-ACAE=90°,AHLBC于H,H4的延长线交。£

于G,下列结论：®DG=EG-@BC=2AG；@AH=AG；®SAABC=SAADE,其中正确

(22-23七年级下•陕西西安•期末)

17.如图，在四边形中，48=4,防=6,点C是5E上一点，连接ZC、CF,若

AC=CF,ZB=ZE=ZACF,贝"BE的长为.

试卷第5页，共8页

18.如图，在同一平面内，直线/同侧有三个正方形/,B,C,若/,C的面积分别为16

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（2023•吉林松原•模拟预测）

19.如图，在A/BC中，AC=BC,NCDE=NA,若BC=BD,求证：CD=DE.

（21-22七年级下•陕西榆林•期末）

20.如图，ZABC=90°,于点/,。是线段48上的点，AD=BC,AF=BD.

An_$

⑵如图2,若点。在线段42的延长线上，点尸在点/的左侧，其他条件不变，试说明（1）

中结论是否成立，并说明理由.

（23-24七年级下•陕西•期中）

21.（1）如图1,已知：在“8C中，ABAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,8。二直

线/,CEJL直线/,垂足分别为点。、区证明：DE=BD+CE.

（2）如图2,过。8C的边48、ZC向外作正方形/ADE和正方形/CFG,4H是BC边

上的高，延长期交EG于点/,求证：/是EG的中点.

试卷第6页，共8页

（2023八年级上•全国•专题练习）

22.CD经过乙BC4顶点C的一条直线，CA=CB.E,尸分别是直线CD上两点，且

NBEC=ZCFA=Za.

（1）若直线。经过NBC/的内部，且E,尸在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1,若NBG4=90°,Za=90°,

则BE_CF；EF_\BE-AF\（填“>”，“<”或“=”）；

②如图2,若0。<N8C4<180°,请添加一个关于与/BC4关系的条件一，使①中的两个

结论仍然成立，并证明两个结论成立.

（2）如图3,若直线经过/BC4的外部，Za=ZBCA,请提出随船修匐标三条线

段数量关系的合理猜想（不要求证明）.

0队

图I图2图3

（2024•贵州•模拟预测）

23.模型的发现：

如图

⑴如图1,在。8c中，/A4c=90。，AB=AC,直线/经过点A,且民C两点在直线/

试卷第7页，共8页

的同侧，BDll,CELI,垂足分别为点请直接写出8。和CE的数量关系；

（2）模型的迁移1：位置的改变

如图2,在（1）的条件下，若反C两点在直线/的异侧，请说明。民8。和CE的数量关系,

并证明；

⑶模型的迁移2：角度的改变

如图3,在（1）的条件下，若三个直角都变为了相等的钝角，即/A4c=/l=/2=a,其

中90。180。，（1）的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明

和CE的关系,并证明.

24.如图，在中，AB=AC=2,z5=zC=40°,点。在线段8C上运动（。不与8、

。重合），连接40,作ZADE=4O。，DE交线段NC于E.

（1）当N8ZX4=115。时，4EDC=,乙DEC=；

（2）当DC等于多少时，AABD=ADCE,请说明理由；

⑶在点。的运动过程中，A4DE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出

的度数.若不可以，请说明理由.

试卷第8页，共8页

1.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌

握正方形的性质，证明/\EFG经/\GMH.证△EFGQ4GMH，推出尸G==3,=跖=2,

则£7尸=4，HM1=9,MiEEG2=EF2+FG2=EF2+HM2,代入求出即可.

【详解】解：如图,

正方形A,C的边长分别为2和3,

由正方形的性质得：ZEFG=ZEGH=ZGMH=90°,EG=GH,

ZFEG+ZEGF=90°,ZEGF+ZMGH=90°,

ZFEG=AMGH,

在AEFG和AGMH中,

ZEFG=AGMH

<ZFEG=AMGH,

EG=GH

:AEFG沿AGMH(AAS),

:.FG=MH=3,GM=EF=2,

EF2=22=4,HM2=32=9,

正方形5的面积为EG?=EF2+FG2=EF2+HM2=4+9=13,

故选A.

2.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由直角三角形的性质证

出NZ)C/=NE,证明"OC之)C£(AAS),由全等三角形的性质得出=6,则可得

出结论.

【详解】解：・・・/OLZCCELC。，

:.NA=/DCE=90。,

ZDCA+ZBCE=90°,

•・•ACBE=90°,

答案第1页，共21页

/BCE+/E=9。。,

NDCA=ZE,

又//=/CBE,DC=EC,

.•.△4DC之/CE(AAS),

/.AD=BC=6,

AB=AC-BC=AC-AD=14-6=8.

故选：A.

3.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的两锐角互余，证明

△ABC名LCED,根据全等三角形的性质结合直角三角形的两锐角互余逐项判断即可得出

答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：•.YCLC。，

Nl+N2=90。，

•・•4=90。，

Nl+N/=90。，

Z2=ZAf故B正确，不符合题意；

在AABC和MED中，

Z2=N4

<ZB=ZE=90°,

AC=CD

二.△ABC^ACED(AAS),

:.AB=CE,故C正确，不符合题意；

・・•N2+/D=90。，

-.ZA+ZD=90°,

・・•/Z与/。互为余角，故A正确，不符合题意；

Nl+N2=90。，但/I不一定等于N2,故D错误，符合题意；

故选：D.

4.D

【分析】先证尸四△BCM(AAS),得4P=BM=3,BP=CM=2,同理可得

答案第2页，共21页

CM=DN=2,DM=EH=5,得PN=12,再求梯形/ENP的面积

=；x（/P+EN）xPN=gx（3+5）xl2=48,由阴影部分的面积

=S模形AENp—SAABP—S4BCD-S^DEN,可得结果，

【详解】解：・・・45,5C,

/APB=/BMC=/ABC=90°,

:./ABP+/BAP=90。,ZABP+ZCBM=90°f

/BAP=/CBM,

在尸和△BCM中

'/APB=/BMC

<NBAP=ZCBM,

AB=BC

.•.△45尸0△BCH（AAS）,

AP=BM=3,BP=CM=2,

同理可得C"=ZW=2,DM=EH=5,

：.PN=n,

梯形/ENP的面积=gx（4P+EN）xPN=gx（3+5）xl2=48,

，阴影部分的面积=S梯如硒户-S^ABP-S"CD-SWEN

=48--x3x2--x（3+5）x2--x5x2

22''2

=48-3-8-5

=32.

故选D

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的

关键.

5.B

【分析】利用AAS证明得CE=OD=15ctn.

【详解】解：••・O8LOC,

ZBOD+ZCOE=90°,

CE1OA,BDVOA,

答案第3页，共21页

ZCEO=ZODB=90°,

NBOD+/B=90。,

/.ZCOE=AB,

在△CQE和△OAD中，

'/COE=/B

</CEO=ZODB,

OC=OB

「.△COE之△O5O(AAS),

CE=OD=l5cm,

•，•摆球到OA的水平距离CE的长为15cm,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键.

6.A

【分析】先根据AAS推出八4四2A4CE,再根据全等三角形的性质即可得到结论.

【详解】解：・j/。=90。,AB=AC,

：^BAD+Z.CAD=90°,

-CELAD于E,

；2CE+乙CAE=9。。,

；/BAD=，4CE,

在ZUAD与片中，

ZD=ZAEC=90°

</BAD=/ACE,

AB=AC

.♦.△ABDmACAE(AAS),

••.AE=BD=4,AD=CE=1U,

：.DE=AD-AE=6,

故选：A.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质，利用余角的

性质得出乙&乙4CE是解题关键.

7.B

答案第4页，共21页

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明"CEGACBQ是解题关键.利用

25”证明44。后之4。&),由全等三角形的性质可得/E=CD,CE=BD,即可获得答

案.

【详解】解：•・・/£，CE,BDLCD,

.-.ZAEC=ZCDB=90°,

•.ZACB=90°f

："CAE+/ACE=ZACE+/BCD=90°,

・•.ACAE=/BCD,

在△4C£和△CB。中，

ACAE=/BCD

</AEC=ZCDB,

AC=CB

.“ACE知CBD(AAS),

AE=CD,CE=BD,

又・・,AE=5cm,BD=2cm,

:.DE=CD—CE=AE—BD=5—2=3cm.

故选：B.

8.A

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积计算，作DH上BC,证明

小ABC知CHD,根据全等三角形的性质得到=5。=2,根据三角形的面积公式计算,

即可得到答案，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【详解】解：过点。作交5c的延长线于点H,则/C也)=90。，

•・•ZABC=90°,

・•.ABAC+ZACB=90°,

•・・//C£>=90。，

答案第5页，共21页

ZHCD+ZACB=90°,

・•.ABAC=ZHCD,

在和△CRD中，

ABAC=ZHCD

<ZABC=ZCHD=90°,

AC=CD

.•.△45C%C7TO（AAS）,

・•.DH=BC=2,

△BCD的面积=；BCD〃=；x2x2=2,

故选：A.

9.C

【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，根据三角形内角和定理，证明

“BCACED（AAS）,由。E=BC=3£—Z5即可求出结果.

【详解】解：vZB+ZACB+ABAC=180°,NB=NE=NACD,

NACD+ZACB+ABAC=180。，

ZACD+ZACB+ZDCE=180°,

ABAC=ZDCE,

在“3C和△CEO中，

ABAC=/DCE

</B=/E,

AC=CD

四△C£0（AAS）,

BC=DE,AB=CE,

AB=2,BE=6,

:.DE=BC=BE-CE=BE-AB=6-2=4,

故选：C.

10.A

【分析】先证明△NBC也△口）£,利用梯形面积与直角三角形的面积差计算即可.

【详解】如图，"ZACE=90°,ABLBD,EDYBD,

答案第6页，共21页

・•・/ABC=ZCDE=90°,ABAC=90°-ZACB=ZDCE,

'/BAC=/DCE

•门/ABC=NCDE,

AC=CE

.•・"BC%CDE（AAS）,

DE=BC=2,AB=CD=3,

・•・图中阴影部分的面积为;（2+3）x（2+3）-gx（2+3）x3=5,

故选A.

【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键.

11.25

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理.熟练掌握全等三角形的

判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键.

证明一/尸知。PC（AAS）,则尸，^DP=BD-PB,计算求解，然后作答即可.

【详解】PB=CD=S,ZPBA=90°=ZCDP,

•・•ZAPB+ZDPC=90°,ZAPB+/BAP=90°,

・•・/BAP=/DPC,

/BAP=/DPC,ZPBA=90°=ZCDP,PB=CD=8,

.-.△^P^ADPC（AAS）,

*'.AB=DP,

•；DP=BD—PB=25,

AB=25,

故答案为：25.

12.8

【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明=

是解题的关键.由8OJLOE于点。，CE_LDE于点、E,得ND=/E=90°,因为

ABAC=90°,所以/BAD=ZACE=90。一/CAE,而48=C4,即可根据“44S”证明

△BAD%Z\ACE,得AD=/E=5cm,AD=CE=3ctn,则。E=ND+/E=8cm,于是得到

问题的答案.

【详解】解：于点。，CELDE于点、E,

答案第7页，共21页

/.ND=/E=90。,

vZBAC=90°f

/./BAD=/ACE=90°-/CAE,

在ABAD和△ZCE中，

ZD=ZE

<ABAD=/ACE,

AB=CA

.•.△R4D名“CE(AAS),

BD=AE=5cm,AD=CE=3cm,

DE-AD+AE=3+5=8(cm),

故答案为：8.

13.3-##0.4

5

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；依题意，NAFC=1800-NAFD,进而得到

NACB=/AFD.再证明/C4尸再由三角形内角和定理可得/£5。=/尸C4,最

后利用ASA证明△£5。丝△尸。得出C尸=AF=CE,即可求得跖=3,进而根据

DF=2CF=4得出DE=±CE,根据全等三角形的性质得出=5/口，即可求解.

【详解】W：•••ZBEC=ZAFC=180°-ZACB_aZAFC=180°-ZAFD

・•・/ACB=ZAFD

由外角定理可得4FD=ZACD+ZCAF,

又•:ZACB=ZACD+/BCE,

：・/CAF=/BCE,

•・•/BEC=/AFC

・•・ZEBC=ZFCA

在△E3C和△尸C4中，

ZEBC=ZFCA

<BC=CA

/BCE=/CAF

nEBCAFCA(ASA).

:.CF=BE,AF=CE

答案第8页，共21页

VAF=5,BE=2

EF=CE—CF=AF—EB=5—2=3

nEBC知FCA

.V=Q

,,2&EBC-，

・•・△/ED的面积为4,DF=2CF=4

:.S.EBC=S.FCA=2,DE=DF-EF=4-3=1

-CE=5,

：.DE=-CE

5

12

ADEB的面积是1S^EBC=y

2

故答案为：3,

14.5

【分析】本题考查了平行线的距离，全等三角形的判定与性质.熟练掌握全等三角形的判定

与性质是解题的关键.

如图，过8作8。，。于。，过C作于E,证明丝△C4E（AAS）,则

AE=BD=3,AD=CE=T,DE=4,®®S^ABC=S^BCED-S^ABD-S^ACE,计算求解即

可.

【详解】解：如图，过3作于。，过。作于E,

ABDA=90°=ZAEC,BD=3,CE=1,

•••NDAB+ZABD=90°=ZDAB+ZCAE,

:"ABD=ZCAE,

•••ZABD=ZCAE,ABDA=90°=AAEC,AB=AC,

AABD名ACAE(AAS),

答案第9页，共21页

AE=BD=3,AD=CE=1,DE=4,

.__(l+3)x41x3_

y

"S.ABC=S梯形BCE。-S-BD-SJCE=2'，

故答案为：5.

15.1203

【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质;

(1)根据平角定义求出/EOC,根据三角形内角和定理求出/OEC即可；

(2)根据三角形外角的性质可得=根据全等三角形的判定定理求出即可.

【详解】(1)•:NADE=40°,ABDA=120°,

AEDC=180°-NADE-ABDA=180°-40°-120°=20°,

•••ZB=ZC=40°,

ZDEC=180°-ZC-ZEDC=180°-40°-20°=l20°,

故答案为：120；

(2)当。C=3时，△48。四△DCE,

理由是：,:DC=3,AB=AC=3,

AB=DC=AC,

/ADC=/ADE+/CDE=/B+/BAD,ZB=ZC=40°,ZADE=40°,

・•・/BAD=ZCDE,

在△4BD和△OCE中，

ZB=ZC

<AB=DC,

/BAD=ZCDE

.“ABDADCE(ASA),

即当DC=3时，AABgADCE.

故答案为：3.

16.①②④

【分析】①如图，过点。E分别作GH的垂线交所及所的延长线于点/,/，证明

△EAF咨AACH,ADIA^AAHB,△ZVG也即可得结论；②延长胡至。'，使

AD'=BA,连接C。'证明之△D'/C,取的中点G',连接/G'并延长至〃，使

^AG'=G'M,可得△NDG=Z\ND'G',证明△/G'O'gZiMG'C,AABC^/\CMA,则可

答案第10页，共21页

^BC^MA=2AG',^AG'=^BC,AG=^BC-③由①可知=故/G不一定等

于4H；④），由②）可知，ADAEm/\D'AC,则S八力.耳=「人力"，由=4。'可得8-亦=S△皿。

即可得^/\ABC=^AADE

【详解】解：①如图，过点2E分别作GH的垂线交所及％的延长线于点/,少,

=AB=AD,AC=AE,/BAD=/CAE=90。，AH1BC

ZEFA=ZEAC=/AHC=90°

ZCAH+ZACH=ZCAH+ZEAF

ZACH=ZEAF

...AEAF^AACH

同理可得ADIA咨AAHB

:.DI=AH,EF=AH

DI=EF

•;DI1IG,EFIGF

ZDIG=ZEFG=90°

又ZDGI=ZEGF

ADIG空丛EFG

DG=EG

故①正确

②如图，延长氏4至。，使=连接C。'

,•*/BAD=ZCAE=90°

答案第11页，共21页

:.ZDAE+ZBAC^iSO°

ZD'AC+ABAC=180°

:.ZD'AC=ZDAE

■.■D'A=BA=AD,AC=AE

/\DAE^/\D'AC

如图，取DC的中点G',连接NG'并延长至"，使得NG，=G，W,

.•G是。E的中点,

/\DAE^/\D'AC

NADG=ZAD'G',AD=AD',DG=-DE^-D'C=D'G'

22

AADG=AAD'G'

:.AG=AG',

AG'=G'M,D'G=CG',NAG'D'=ZMG'C

AAG'D'^AMG'C

AD'=MC,ZAD'G'=ZMCG'

BD'//MC

ABAC=NMCA

AD'=AB

AD=MC

y.AC=CA

:./\ABC^/\CMA

BC=MA=2AG'

答案第12页，共21页

:.AG'=-BC

2

:.AG=-BC

2

③如图，由①可知NX=",故NG不一定等于///

故③不正确

④如图，由②可知，4DAE必D'AC

AB=AD'

iSAABC=SAAD'C

故④正确

综上所述，故正确的有①②④

故答案为：①②④.

【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关

键.

17.10

【分析】先证明/氏4C=乙FCE,再证明△ABC之△€?£尸，即可作答.

【详解】Z.B+ABAC=NACE=ZFCE+ZACF,

又•；/B=ZACF,

/.ABAC=ZFCE,

答案第13页，共21页

NB=NE,AC=CF,

AABC^/\CEF(AAS),

:.AB=CE,BC=EF,

■;AB=4,EF=6,

:.BE=BC+CE=6+4=10,

故答案为：10.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角的性质等知识，掌握三角形的

判定与性质是解答本题的关键.

18.12

【分析】如图，先标注各顶点，^PDLPG,NEINK,0E，JVE,垂足分别为p,N,E,PD

于便交于点，则尸证明AG尸尸四△。尸。，可得：DQ=GF,PZ)=PG=4,同理利用

三角形全等的性质可得：8=3,QE=4,从而可得答案.

【详解】如图，先标注各顶点，作尸。，尸G,NE1NK,垂足分别为p,N,E,PD

于0E交于点。，则尸。，鹿,

A,C的面积分别为16和9,

•••正方形/,B,C,

:.PQ=PF,ZQPF=90°,NPDQ=NPGF=9。。,

:.ZGPF+ZDPF=90°,ZDPF+ZDPQ=90°,

NGPF=NDPQ,

:AGPF沿ADPQ,

DQ=GF,PD=PG=4,

同理可得：GF=NK=3,PG=FK=4,EN=NK=3,QE=FK=4,

DQ=3,

:.S=-x4x3+-x3x4=12.

22

故答案为：12.

答案第14页，共21页

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建全等三角形是解题

的关键.

19.见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等

腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键.先根据条件得出NACD=ZBDE,AC=BD,

判定△ACD知BDE(ASA),即可得到CD=DE.

【详解】证明：•••4C=8C,

•••ZA=ZB,

■：AC=BC,BC=BD,

・•.AC=BD,

vZCDB=AA+AACD=ACDE+ABDE,ZCDE=ZA,

・•.ZACD=ZBDE,

在"CD与ABDE中,

'=NB

<AC=BD,

ZACD=ZBDE

:.AACDOBDE(ASA),

CD=DE,

20.(1)CD=DF,CDIDF

(2)成立，见解析

【分析】(1)根据题意可直接证明△，如之△5。。，即可得出结论；

(2)仿照(1)的证明过程推出△4。方四△3C。，即可得出结论.

【详解】(1)解：由题意，ZA=ZB=90°,

在△/RD与中，

AF=BD

<ZA=NB

AD=BC

^AFD^ABDC(SAS),

答案第15页，共21页

DF=DC,ZADF=NBCD,

••・在RMBDC中，ZBDC+ZBCD=90°,

：.ZBDC+ZADF=90°,

：.ZFDC=90°,

CDVDF,

综上可知CZ>=。尸，CD1DF；

(2)解：成立，理由如下：

AFYAB,

：.ADAF=90°,

在尸和△BCD中，

AF=DB

<ZDAF=ZCBD,

AD=BC

AAD尸丝A5Cr>(SAS),

DF=DC,ZADF=ZBCD,

■■■ZBCD+ZCDB=90°,

：.AADF+ZCDB=90°,即ZCDF=90°,

：.CDIDF；

(1)中结论仍然成立.

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及直角三角形两锐角互余等，熟练掌握全等

三角形的判定定理是解题关键.

21.(1)见解析；(2)见解析

【分析】本题考查了正方形的性质，正方形中线段的和差关系，全等三角形的性质与判

定.

(1)由/B/C=90。，AB=AC,BD上直线I,CEL直线/,ZBDA=ZAEC=90°,

NBAD=90°-NCAE=NACE,得之ZUCE(AAS),得BD=AE,DA=CE,即可

DE=AE+AD=BD+CE.

(2)由正方形NBDE和正方形/CFG,NX是3c边上的高，同理得

名A4WE(AAS),得EM=AH,同理得GN=/H,得EM=GN,同理△EM

答案第16页，共21页

^AGM(AAS),得E/=G/,即/是EG的中点.

【详解】(1)证明：如图1,由/B/C=90。，AB=AC,AD2直线/,CE_L直线/,

得ZBDA=ZAEC=90°,ABAD=90°-NCAE=ZACE,

得L.BAD之^ACE(AAS),

得BD=AE,DA=CE,

DE=AE+AD=BD+CE.

(2)证明：如图2,由正方形和正方形NCFG,///是3c边上的高，

同理得AB/H知AEM(AAS),^CAH^AGI(AAS),

得EM=AH,GI—AH,

•••ZENM=AGNI,ZEMN=Z/=90°,

；.AEMN乌AGIN(AAS),

得EN=GN,即/是EG的中点.

22.(1)①=；=；

②所填的条件是：Za+ZJBC4=180°.

证明：在ABCE中，_CBE+^BCE=180'-^BEC=180,^a-

■：ZBCA=180°-Za,，ZCBE+ZBCE=NBCA.

又ZACF+ZBCE=ZBCA,ZCBE=ZACF.

又：BC=CA,NBEC=NCFA,

:.ABCEaCAF(AAS).

:.BE=CF,CE=AF.

又•：EF=CF-CE,：.EF=\BE-AF\.

(2)EF=BE+AF.

答案第17页，共21页

【详解】(1)①由NBCA=90°,Na=90°可得NCBE+NBCE=90°,ZBCE+ZACD=90°,可推得

ZCBE=ZACD,且已知CA=CB,ZBEC=ZCFA,所以aBEC三4CDA,可得BE=CF,

EC=AF；又因为EF=CF-CE,所以EF=|BE-AF|；

②只有满足aBEC三△CDA,才有①中的结论，即NBCE=NCAF,ZCBE=ZFCA；由三角形

内角和等于180。，可知Na+NBCE+NCBE=180。，BPza+zBCE+zFCA=l80°,即可得到

Za+ZBCA=18O°.

(2)只要通过条件证明△BECm^CFA(可通过ASA证得)，可得BE=CF,EC=AF,即可

得至UEF=EC+CF=BE+AF.

23.(1)DE=BD+CE

⑵BD=DE+CE,见详解

(3)结论成立，见详解

【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质.

(1)利用AAS证明由三角形全等的性质即可得出/£=2DAD=CE,再

根据图中线段的关系即可得出结论；

(2)通过证明AD/8之A£C/得到/E=AD,AD=CE,进一步得到

8。=/£=ND+DE=DE+CE即可求解；

(3)通过证明ADAB知ECA得到AE=BD,AD=CE,进一步得到DE=AD+AE=BD+CE.