2025年高考数学总复习专项训练：离散型随机变量及其分布列、均值与方差

专练52离散型随机变量及其分布列、均值与方差

［基础强化］

一、选择题

1.设随机变量X的分布列如下：

X1234

111

P

636P

则p为（）

11

A•石B-3

C.D.

答案：B

解析：由分布列的性质可知/+|+|+p=l.

..p―3.

2.随机变量&的分布列如下：

g-101

Pabc

其中a,b,c成等差数列，则P（回=1）等于（）

11

--

A.3B.4

C.D.

答案：D

解析：Ta,b,c成等差数列，;.a+c=2b,由分布列的性质可知a+b+c=l,.•.b=g,

12

.••P(囤=1)=P化=—1)+P化=1)=1—Pg=O)=l—§=3.

137

3.已知X是禺散型随机变量，P(X=1)=4，P(X=a)=4，E(X)=^，贝UD(2X—1)=()

答案：B

137

解析：由题意知：1X^+aX-,Aa=2.

71733

・・・D(2X—1)=4D(X)=4[(1—4)2X^+(2-4)2><^]=W.故选A

4.设随机变量自的分布列为PQ2)=ak(k=l,2,3,4,5),则<得)等于()

A.IB.I

C.ID.I

答案：C

解析：由题意知，分布列为

1234

1

5555

Pa2a3a4a5a

由分布列的性质可得，a+2a+3a+4a+5a=1,解得a==.

所以P（品舄）=P^=5）+P（M）+P（H）=15+15+.=5，故选C

5.设随机变量g的分布列为「6=幻=111停），k=l,2,3,则m的值是（）

,1727

A-36B.羽

-17八27

C-19D'19

答案：B

解析：由题意得，m仔+/+捺）=1,.

6.一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出两个球，用0表示两个球都是

白球，用1表示两个球不全是白球，则满足条件X的分布列为（）

X01X01

1661

pp

TTTT

x0X01

43

p

p-TT

答案：A

31

解析：由题可知p(x=o)=m=方=7,

P(X=1)=1—P(X=O)=1T=3.

7.已知随机变量X的分布列为P(X=i)=((i=l,2,3),则P(X=2)=()

1I

A.9B6

C.gQ.；

答案：c

解析：由分布列的性质可知，4+土=卷=1,得a=3,P(X=2)=旨=1.

8.节日期间，某种鲜花进货价是每束25元，销售价为每束50元；节日卖不出去的鲜花以每束16元

的价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：

X200300400500

p0.200.350.300.15

若购进这种鲜花500束，则利润的均值为()

A.7060元B.6900元

C.7540元D.7200元

答案：A

解析：E(X)=200X0.20+300X0.35+400X0.30+500X0.15=340,/.利润为(340X50+160X16)-

500X25=7060.故选A

9"2024•山东潍坊模拟］已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，

否则一直发到三次结束为止.某考生一次发球成功的概率为p(0<p<l),发球次数为X.若X的数学期望

E(X)>1.75,则p的取值范围为()

A(0,§B,(0,日

吗1)»佶,1)

答案:A

解析：由题可知P(X=l)=p,P(X=2)=(l-p)p,P(X=3)=(1—p)2p+(l—p)3=(l—p>,则E(X)=P(X

=l)+2P(X=2)+3P(X=3)=p+2(l-p)p+3(l-p)2>1.75,解得p>|或p«.由PW。，1)，得pG(0,§■

故选A.

二、填空题

10.已知离散型随机变量X的分布列如下:

X01

P9C2-C3-8C

则常数c=

答案：I

12

解析：由9c2—C+3—8C—1,得C=g或C=§,

24

--21,,1

39T>L不合题意，当C=g时符合题意.・・.C='.

11.设随机变量X的概率分布列为

X1234

111

Pm

346

则P(|X—3|=1)=.

套案.—

日木.12

解析：由分布列的性质知:+m+4+:=1,得m=：.

3404

P(|X-3|=1)=P(X=4)+P(X=2)=(+1=卷.

12.[2024•山东德州模拟]随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,则E(X)=

答案：1

解析：：随机变量X的取值为0,1,2,P(X=0)=0.2,D(X)=0.4,

.,.设P(X=l)=a,则P(X=2)=0.8—a,0WaW0.8.

则E(X)=0X0.2+a+2(0.8-a)=L6—a.

又D(X)=(a-L6)2X0.2+(a—0.6)2a+(a+0.4尸(0.8—a)=0.4,

整理得a2-0.2a-0.24=0,解得a=0.6或a=-0.4(舍)，

；.E(X)=1.6—0.6=1.

［能力提升］

13.设0<a<l,随机变量X的分布列是

X0aI

III

P

333

则当a在（0,1）内增大时（）

A.D(X)增大

B.D(X)减小

C.D（X）先增大后减小

DD（X）先减小后增大

答案：D

_1目=士r,口1,(a+1)2।(1—2a)2(a—2)26a2—6a+6

角牛析：由通思可侍，E(X)=](a+1),所以D(X)=27+27+,27=27

,所以当a在（0,1）内增大时，D（X）先减小后增大.故选D

14.（多选）［2024•山东聊城模拟］随机变量自的分布列为

0I2

bb

pa

22

其中abWO,则下列说法正确的是（）

A.a+b=l

j5.E©=y

C.D化）随b的增大而减小

DD化）有最大值

答案：ABD

解析：根据分布列的性质得a+与+今=1,即a+b=l,故A正确；根据数学期望公式得E《）=O><a

bb

+1X-+2X-，故正确；根据方差公式得化）（—岑）

±22-3b28D=0

Xa+(TXl+b谭X|

=—.b?+|b=一名（b—|）+||,因为0<b<l,所以当b=,时，D化）取得最大值H,故C不正确，D

正确.故选A8D

15.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X,Y,其分布列分别为:

X0I23

P0.40.30.20.1

Y012