江西省中学等校2024年中考数学五模试卷（含解析）

江西省中学等校2024年中考数学五模试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.已知二次函数y=d-4x+机的图象与x轴交于A、3两点，且点A的坐标为（1,0）,则线段的长为（）

A.1B.2C.3D.4

2.如图，△4n。是AA3C以点。为位似中心经过位似变换得到的，若△4万。的面积与△A5C的面积比是4：9,

A.2：3B.3：2C.4：5D.4：9

3.一块等边三角形的木板，边长为1,现将木板沿水平线翻滚（如图），那么5点从开始至结束所走过的路径长度为

、、3兀

D.2+——

2

4.如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为4m的正方形，使不规则区域落在

正方形内.现向正方形内随机投掷小球（假设小球落在正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现

小球落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，由此可估计不规则区域的面积约为（）

5.设a,口是一元二次方程x2+2x-l=0的两个根，则邱的值是（）

A.2B.1C.-2D.-1

6.数轴上有A,B,C,D四个点，其中绝对值大于2的点是（）

ABCD

—~~~<—•----♦・•---->

・4-2-2-1012245

A.点AB.点BC,点CD.点D

7.计算土加的值为（）

A.±3B.±9C.3D.9

8.如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则般的值为（）

AD

V2C.V2-1D.V2+1

V

9.如图，在^ABC中，AC±BC,ZABC=30°,点D是CB延长线上的一点，且BD=BA,则tanZDAC的值为（）

A.2+石B.273C.3+6D.373

10.如图，O尸平分NAO5,尸CLQ4于C,点。是03上的动点，若PC=6c/n,则尸。的长可以是（）

C.5cmD.3cm

11.某学校举行一场知识竞赛活动，竞赛共有4小题，每小题5分，答对给5分，答错或不答给0分，在该学校随机

抽取若干同学参加比赛，成绩被制成不完整的统计表如下.

成绩人数（频数）百分比（频率）

0

50.2

105

150.4

2050.1

根据表中已有的信息，下列结论正确的是（）

A.共有40名同学参加知识竞赛

B.抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为10分

C.已知该校共有800名学生，若都参加竞赛，得0分的估计有100人

D.抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为15分

12.义安区某中学九年级人数相等的甲、乙两班学生参加同一次数学测试，两班平均分和方差分别为输甲=89分，］乙

=89分，S甲2=195,S乙2=1.那么成绩较为整齐的是（）

A.甲班B.乙班C.两班一样D.无法确定

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.一个扇形的弧长是号力,它的面积是竺乃，这个扇形的圆心角度数是.

33

14.如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为1的长方形，再把其中一个面积为1的长方形分成两个面积为I

224

的正方形，再把其中一个面积为上的正方形分成两个面积为工的长方形，如此进行下去....试用图形揭示的规律计

48

16.如图，CE是。A5C。的边的垂直平分线，垂足为点O,CE与ZM的延长线交于点E.连接AC,BE,DO,

OO与AC交于点歹，则下列结论：

①四边形AC8E是菱形；

③A尸：BE=2：1；

④S四边彩AFOE:SACOD—2：1.

其中正确的结论有.（填写所有正确结论的序号）

17.使分式一的值为0,这时x=.

UT«

18.如图，正△ABO的边长为2,O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚,

经第一次翻滚后得到△AiBiO,则翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）如图，是AABC的中线，AO=12,A5=13,BC=10,求AC长.

20.（6分）如图，在建筑物M的顶端A处测得大楼N顶端B点的仰角a=45。,同时测得大楼底端A点的俯角为0=30。.已

知建筑物M的高CD=20米，求楼高AB为多少米？（/"M.732,结果精确到0.1米）

B

DA

21.（6分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=^+l的图象.同学们通过列表、描点、

X

画图象，发现它的图象特征，请你补充完整.

（1）函数y='+i的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移个单位得到；

X

（2）函数y=—+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：；

x

（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2,0）,且与y轴无交点，这个函数表达式可以是.

22.（8分）如图，四边形ABCD中，ZA=ZBCD=90°,BC=CD,CE±AD,垂足为E,求证：AE=CE.

c

23.（8分）近几年“雾霾”成为全社会关注的话题某校环保志愿者小组对该市2018年空气质量进行调查，从全年365

天中随机抽查了50天的空气质量指数（AQI）,得到以下数据：43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、

98、116>86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126>159、201、289、315、

253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、1.

（1）请你完成如下的统计表；

AQI0〜5051〜100101—150151—200201〜250300以上

质量等级A（优）B（良）C（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染）

天数

（2）请你根据题中所给信息绘制该市2018年空气质量等级条形统计图；

（3）请你估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数.

24.（10分）已知关于x的一元二次方程好-,内-2=0…①若x=-l是方程①的一个根，求机的值和方程①的另一

根；对于任意实数加，判断方程①的根的情况，并说明理由.

25.（10分）如图，矩形中，E是AO的中点，延长CE,5A交于点F,连接AC,DF.

（1）求证：四边形AC0F是平行四边形；

（2）当C尸平分N5C。时，写出5c与CD的数量关系，并说明理由.

26.（12分）问题探究

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,如果BC边上存在点P,使ZkAPD为等腰三角形，那么请画出满足

条件的一个等腰三角形AAPD,并求出此时BP的长；

（2）如图②，在△ABC中，ZABC=60°,BC=12,AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6

时，BC边上存在一点Q,使NEQF=90。，求此时BQ的长；

问题解决

(3)有一山庄，它的平面图为如图③的五边形ABCDE,山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用

来监视边AB,现只要使NAMB大约为60。，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知NA=NE=/D=90。，AB=270m,

AE=400m,ED=285m,CD=340m,问在线段CD上是否存在点M,使NAMB=60。？若存在，请求出符合条件的DM

的长，若不存在，请说明理由.

27.(12分)某商城销售4,8两种自行车.A型自行车售价为2100元/辆，8型自行车售价为1750元/辆，每辆A

型自行车的进价比每辆3型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型

自行车的数量相等.

(1)求每辆A,5两种自行车的进价分别是多少？

(2)现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车机辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，

要求购进5型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大的方案以及最大利润.

参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1、B

【解析】

先将点4(1,0)代入-4工+山，求出m的值，将点4(1,0)f^AJ=x2-4x+m,得到Xi+X2=4,XI*X2=3,即可解

答

【详解】

将点A(l,0)代入y=%2-4x+m,

得到m=3f

所以y=%2-4x+3,与x轴交于两点，

设A（X1,Jl）,b（X2,J2）

Ax2-4x+3=0有两个不等的实数根，

；.X1+X2=4,X1・X2=3,

^.AB—\XI-X2\—J（占+丁）2+4w=2；

故选5.

【点睛】

此题考查抛物线与坐标轴的交点，解题关键在于将已知点代入.

2、A

【解析】

根据位似的性质得△ABC-AA^B-CS再根据相似三角形的性质进行求解即可得.

【详解】

由位似变换的性质可知，A，B，〃AB,NC〃AC,

与△ABC的面积的比4：9,

△AEC/AABC的相似比为2：3,

.OB'_2

••—―,

OB3

故选A.

【点睛】

本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样

的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.

3、B

【解析】

根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°,并且所走过的两路径相等，求

出一个乘以2即可得到.

【详解】

如图：

BC=AB=AC=1,

ZBCBr=120°,

AB点从开始至结束所走过的路径长度为2x弧BB，=2x段巴=3».故选B.

1803

4、D

【解析】

首先确定小石子落在不规则区域的概率，然后利用概率公式求得其面积即可.

【详解】

•.•经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.65附近，

•••小石子落在不规则区域的概率为0.65,

•.•正方形的边长为4m,

,面积为16m2

设不规则部分的面积为sii?

则上=0.65

16

解得：s=10.4

故答案为：D.

【点睛】

利用频率估计概率.

5、D

【解析】

试题分析：0是一元二次方程二一+二二一二=:的两个根，•••郎===-1,故选D.

考点：根与系数的关系.

6、A

【解析】

根据绝对值的含义和求法，判断出绝对值等于2的数是-2和2,据此判断出绝对值等于2的点是哪个点即可.

【详解】

解：•.•绝对值等于2的数是-2和2,

,绝对值等于2的点是点A.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了绝对值的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键要明确：①互为相反数的两个数绝对值相等；②

绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数.③有理数的绝对值都是非负

数.

7、B

【解析】

;(±9)2=81,

.•.士风=±9.

故选B.

8、C

【解析】

【分析】由DE〃BC可得出△ADEsaABC,利用相似三角形的性质结合SAADE=S四边形BCED，可得出42=也，结

AB2

合BD=AB-AD即可求出—的值.

AD

LW1VDE^BC,

.".ZADE=ZB,ZAED=ZC,

.'.△ADE^AABC,

(ABJSA5c

,**SAADE=S四边形BCED,SAABC=SAADE+S四边形BCED,

.ADy/2

••商—y

.BDAB-AD2-72r-1

••---------------------j=——v2—1,

ADADV2

故选C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.

9、A

【解析】

设AC=a,由特殊角的三角函数值分别表示出BC、A5的长度，进而得出CO的长度，由公式求出加"N/MC的

值即可.

【详解】

AC厂AC

设AC=a,贝！|3C=-------------二43a,AB-------=--2--a,

tan3Q°sin300

:.BD=BA=2af

：.CD=(2+73)a,

:.tanNDAC=2+6.

故选A.

【点睛】

本题主要考查特殊角的三角函数值.

10、A

【解析】

过点P作尸于。，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PC=P〃，再根据垂线段最短解答即可.

【详解】

解：作P0_LO5于O,

尸平分NAOB,PCLOA,PDVOA,

：.PD=PC=6cm,

则PD的最小值是6cm,

故选A.

【点睛】

考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键.

11、B

【解析】

根据频数+频率=总数可求出参加人数，根据分别求出5分、15分、0分的人数，即可求出平均分，根据0分的频率即

可求出800人中0分的人数，根据中位数的定义求出中位数，对选项进行判断即可.

【详解】

•••54-0.1=50（名），有50名同学参加知识竞赛，故选项A错误；

:成绩5分、15分、。分的同学分别有:50x0.2=10（名），50x0.4=20（名）,50-10-5-20-5=10（名）

0+50+50+300+100

二抽到的同学参加知识竞赛的平均成绩为：=10＞故选项B正确；

50

分同学10人,其频率为0.2,

...800名学生，得0分的估计有800x0.2=160（人），故选项C错误；

•.■第25、26名同学的成绩为10分、15分，

抽到同学参加知识竞赛成绩的中位数为12.5分，故选项D错误.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用频率估算概率，平均数及中位数的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.

12>B

【解析】

根据方差的意义，方差反映了一组数据的波动大小，故可由两人的方差得到结论.

【详解】

;sM>s乙2,

二成绩较为稳定的是乙班。

故选：B.

【点睛】

本题考查了方差，解题的关键是掌握方差的概念进行解答.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13、120°

【解析】

设扇形的半径为r,圆心角为〃。.利用扇形面积公式求出r,再利用弧长公式求出圆心角即可.

【详解】

设扇形的半径为r,圆心角为废.

…上1816

由题后：7i-r=-n,

233

".r—4,

.«7r4216

••---------------7C

3603

.\«=120,

故答案为120°

【点睛】

本题考查扇形的面积的计算，弧长公式等知识，解题的关键是掌握基本知识.

【解析】

结合图形发现计算方法，即计算其面积和的时候，只需让总面积减去剩下的面积.

22244

【详解】

解:原式=1-——=—=1--

25625628

故答案为：1-呼

【点睛】

此题注意结合图形的面积找到计算的方法:其中的面积和等于总面积减去剩下的面积.

15、x=l

【解析】

两边同时乘2x(x+3),得到整式方程，解整式方程后进行检验即可.

【详解】

解：两边同时乘2x(x+3),得

x+3=4x,

解得x=l，

检验:当x=l时，2%(x+3)#),

所以x=l是原分式方程的根，

故答案为：x=l.

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.

16、①②④.

【解析】

根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可.

【详解】

,/四边形ABCD是平行四边形，

；.AB〃CD,AB=CD,

VEC垂直平分AB,

11

/.OA=OB=-AB=-DC,CD±CE,

22

VOA/7DC,

.EA_EO_OA_1

**EDEC-CD-2*

，AE=AD,OE=OC,

VOA=OB,OE=OC,

**.四边形ACBE是平行四边形，

VAB±EC,

二四边形ACBE是菱形，故①正确，

VZDCE=90°,DA=AE,

.*.AC=AD=AE,

/.ZACD=ZADC=ZBAE,故②正确，

VOA/7CD,

.AFOA_1

"CT-CD-2J

AFAF1

——=——=—＞故③错昧，

ACBE3

设ZkAOF的面积为a,则△OFC的面积为2a,△CDF的面积为4a,△AOC的面积=△AOE的面积=la,

二四边形AFOE的面积为4a,△ODC的面积为6a

•'•S四娜AFOE：SACOD=2：1.故④正确.

故答案是：①②④.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题.

17、1

【解析】

试题分析：根据题意可知这是分式方程，「三=0,然后根据分式方程的解法分解因式后约分可得x-l=0,解之得x=l,

经检验可知X=1是分式方程的解.

答案为1.

考点：分式方程的解法

1O/13460。。八

18、（....-+896）it.

3

【解析】

由圆弧的弧长公式及正^ABO翻滚的周期性可得出答案.

【详解】

作员石”轴于E,易知OE=5,4石=#,且=（5,石）,

观察图象可知3三次一个循环，一个循环点M的运动路径为MN+NH+HM'=

120^-73+120^1+120^1273+4

=(）万，

1801801803

2017+3=672…1

「•翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为672?71+乃，

故答案：（13；百+896）万

【点睛】

本题主要考查圆弧的弧长公式及三角形翻滚的周期性，熟悉并灵活运用各知识是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、2.

【解析】

根据勾股定理逆定理，证AABD是直角三角形，得ADLBC,可证AD垂直平分BC,所以AB=AC.

【详解】

解：；AD是AABC的中线，且BC=10,

1

；.BD=-BC=L

2

Vl2+122=22,BPBD2+AD2=AB2,

.'.△ABD是直角三角形，贝!JADLBC,

又；CD=BD,

，AC=AB=2.

【点睛】

本题考核知识点：勾股定理、全等三角形、垂直平分线.解题关键点：熟记相关性质，证线段相等.

20、楼高AB为54.6米.

【解析】

过点C作CELAB于E,解直角三角形求出CE和CE的长，进而求出AB的长.

【详解】

解：

如图，过点C作CELAB于E,

贝！IAE=CD=20,

20

AE20

CE=--=V3=20y/3,

tanP

tan30T

BE=CEtana=2073xtan45°=2073xl=2()5

AB=AE+EB=20+2073-20x2.732-54.6(米)，

答：楼高AB为54.6米.

【点睛】

此题主要考查了仰角与俯角的应用，根据已知构造直角三角形利用锐角三角函数关系得出是解题关键.

12

21、(1)y=—,1；(2)与x轴交于(-1,0),与y轴没交点；(3)答案不唯一，如：y=-二+1.

无x

【解析】

(1)根据函数图象的平移规律，可得答案；

(2)根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；

(3)根据点的坐标满足函数解析式，可得答案.

【详解】

(1)函数y=工+1的图象可以由我们熟悉的函数y=’的图象向上平移1个单位得到，

XX

故答案为：y=~fi；

X

（2）函数y=1+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：与X轴交于（-1,0）,与y轴没交点，

X

故答案为：与X轴交于（-1,0）,与y轴没交点；

2

（3）请你构造一个函数，使其图象与“轴的交点为（2,0）,且与y轴无交点，这个函数表达式可以是：j=--+1,

x

答案不唯一，

2

故答案为：y=+1.

x

【点睛】

本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规

律是解题关键.

22、证明见解析.

【解析】

过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全

等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.

【详解】

证明：如图，过点3作3月，CE于F,

VC£±A£),

:.ZD+ZDCE=90°,

VNBCD=90。,

：.ZBCF+ZDCE=90°

：.ZBCF=ZD,

在4BCF和^CDE中，

ZBCF=ND

<ZCED=ZBFC=90°

BC=CD

ABCF^ACDE(AAS),

：.BF=CE,

又,.•NA=90°,CEVAD,BF±CE,

二四边形AE歹5是矩形，

：.AE=BF,

：.AE=CE.

23、（1）补全统计表见解析；（2）该市2018年空气质量等级条形统计图见解析；（3）29天.

【解析】

（1）由已知数据即可得；

（2）根据统计表作图即可得；

（3）全年365天乘以样本中“重度污染”和“严重污染”的天数和所占比例.

【详解】

（1）补全统计表如下：

AQI0〜5051〜100101—150151〜200201〜250300以上

质量等级A（优）B（良）C（轻度污染）D（中度污染）E（重度污染）F（严重污染〕

天数16207331

（2）该市2018年空气质量等级条形统计图如下:

（3）估计该市全年空气质量等级为“重度污染”和“严重污染”的天数为365XHB29天.

50

【点睛】

本题考查了条形统计图的应用与用样本估计总体.读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形

统计图能清楚地表示出每个项目的数据.

24、（1）方程的另一根为x=2；⑵方程总有两个不等的实数根，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）直接把x=-l代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与1的关系进行判断.

⑴把x=-l代入得l+m-2=l,解得m=l

'.X2-X-2=l.

=-1

•••另一根是2；

(2)V-二.=.?；;*—4I-2；—'-1»

•••方程①有两个不相等的实数根.

考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当4>1,方程有两个不相等的实数根；

当△=1，方程有两个相等的实数根；当AVI,方程没有实数根

25、(1)证明见解析；(2)BC=2CD,理由见解析.

【解析】

分析：(1)利用矩形的性质，即可判定△FAE之ACDE,即可得至!]CD=FA,再根据CD〃AF,即可得出四边形ACDF

是平行四边形；

(2)先判定△CDE是等腰直角三角形，可得CD=DE,再根据E是AD的中点，可得AD=2CD,依据AD=BC,即可

得至！JBC=2CD.

详解：(1)•••四边形ABCD是矩形，

；.AB〃CD,

.\ZFAE=ZCDE,

•；E是AD的中点，

AE=DE,

XVZFEA=ZCED,

/.△FAE^ACDE,

；.CD=FA,

又；CD〃AF,

...四边形ACDF是平行四边形；

(2)BC=2CD.

证明:；CF平分NBCD,

.\ZDCE=45°,

VZCDE=90°,

--.△CDE是等腰直角三角形，

/.CD=DE,

；E是AD的中点，

/.AD=2CD,

；AD=BC,

/.BC=2CD.

点睛：本题主要考查了矩形的性质以及平行四边形的判定与性质，要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考

虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目

的.

26、(1)1；2-77;币;(1)4+73；(4)(200-2573-4072)米.

【解析】

(1)由于△PAD是等腰三角形，底边不定，需三种情况讨论，运用三角形全等、矩形的性质、勾股定理等知识即可

解决问题.

(1)以EF为直径作。O,易证。。与BC相切，从而得到符合条件的点Q唯一，然后通过添加辅助线，借助于正方

形、特殊角的三角函数值等知识即可求出BQ长.

(4)要满足/AMB=40。，可构造以AB为边的等边三角形的外接圆，该圆与线段CD的交点就是满足条件的点，然

后借助于等边三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，就可算出符合条件的DM长.

【详解】

(1)①作AD的垂直平分线交BC于点P,如图①，

贝！］PA=PD.

/.△PAD是等腰三角形.

•.•四边形ABCD是矩形，

/.AB=DC,ZB=ZC=90°.

；PA=PD,AB=DC,

；.RtAABP^RtADCP(HL).

/.BP=CP.

VBC=2,

/.BP=CP=1.

②以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点PJ如图①，

贝！IDA=DP'.

...△P，AD是等腰三角形.

•••四边形ABCD是矩形，

，AD=BC,AB=DC,ZC=90°.

VAB=4,BC=2,

/.DC=4,DP，=2.

•••CP占"—32=币.

，BP，=2-S.

③点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P”,如图①，

贝！］AD=AP".

.•.△P"AD是等腰三角形.

同理可得：BP"=J7.

综上所述：在等腰三角形AADP中，

若PA=PD,贝!1BP=1；

若DP=DA,贝!|BP=2-V7；

若AP=AD,贝！|BP="

(1)；E、F分别为边AB、AC的中点，

；.EF〃BC,EF=-BC.

2

VBC=11,

；.EF=4.

以EF为直径作。O,过点O作OQLBC,垂足为Q,连接EQ、FQ,如图②.

A

BGD0C

图②

VAD1BC,AD=4,

AEF与BC之间的距离为4.

.*.OQ=4

/.OQ=OE=4.

.•.(DO与BC相切，切点为Q.

TEF为。O的直径，

.,.ZEQF=90°.

过点E作EGLBC,垂足为G,如图②.

VEG1BC,OQ1BC,

，EG〃OQ.

；EO〃GQ,EG〃OQ,ZEGQ=90°,OE=OQ,

二四边形OEGQ是正方形.

/.GQ=EO=4,EG=OQ=4.

VZB=40°,ZEGB=90°,EG=4,

；.BG=6.

.•.BQ=GQ+BG=4