三角恒等变换（十一大题型）（讲义）（原卷版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第02讲三角恒等变换

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03考点突破题型探究............................................................4

知识点1：两角和与差的正余弦与正切............................................................4

知识点2:二倍角公式...........................................................................4

知识点3:降次（幕）公式.......................................................................5

知识点4:半角公式.............................................................................5

知识点4：辅助角公式...........................................................................5

解题方法总结...................................................................................5

题型一：两角和与差公式的证明..................................................................7

题型二：两角和与差的三角函数公式..............................................................9

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形................................................10

题型四：利用角的拆分求值......................................................................11

题型五：给角求值..............................................................................11

题型六：给值求值..............................................................................12

题型七：给值求角..............................................................................13

题型八：正切恒等式及求非特殊角...............................................................14

题型九：三角恒等变换的综合应用...............................................................14

题型十：辅助角公式的高级应用.................................................................16

题型十一：积化和差、和差化积公式.............................................................16

04真题练习•命题洞见...........................................................17

05课本典例高考素材...........................................................18

06易错分析答题模板...........................................................19

易错点：不会应用辅助角公式...................................................................19

答题模板：三角关系式的化简求值...............................................................19

1/20

考点要求考题统计考情分析

三角恒等变换位于三角函数与数学变换

2024年I卷第4题，5分的结合点上，高考会侧重综合推理能力和运

（1）基本公式2024年II卷第13题，5分算能力的考查，体现三角恒等变换的工具性

作用，以及会有一些它们在数学中的应用.

（2）三角恒等变换2024年甲卷第8题，5分

求值2023年II卷第7题，5分这就需要同学熟练运用公式，进一步提

年卷卷第题，分高运用联系转化的观点去处理问题的自觉

（3）辅助角公式2023III85

2022年II卷第6题，5分性，体会一般与特殊的思想、换元的思想、

2021年甲卷第U题，5分方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的

作用.

复习目标：

（1）会推导两角差的余弦公式

（2）会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式

（3）掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用

（4）能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，并进行简单的恒等

变换

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㈤2

〃皿SM图•里维己［肮

(1)sin(a±p)=sinacosp±cosas//?p；

(2)cos(a±p)=cosacosp干s加as加p；

两角和与差的正余弦与正切

tana±tanp

③加〃(a±P尸

l^tanatanp,

(T)sin2a=2sinacosa；

@cos2a=cos2a-sin1(i.=2cos2(i-l=l-2sin2(JL；

二倍角公式

③3,2a=2/°”a；

1-taira

sniacos(i=—sinla]

.,1-cos2a

三角恒等变换降次（黑）公式snra=---------;

l+cosla

cos2'a=

l-cosa

sin—

半角公式a'1+COS(1

242

a577/a1-cosa

21+cosasina

asina+bcosa—Ja'+b'sin(a.+巾)

辅助角公式(其中si"。=[bcos(|)=r'I,tan6=—).

”+/ra

3/20

考占室硒・题刊摩宓」

知识固本

知识点1:两角和与差的正余弦与正切

①sin（（z±0）=sinacos/3±cosasin/?；

@cos（cr±=cosacosyff+sincrsin13；

③tan（a±0=里吧加目;

1+tanatan0

tan11°+tan19°

【诊断自测】

tan11°tanl9°-1

知识点2：二倍角公式

①sin2a=2sinacosa；

②cos2a=cos2a-sin?a=2cos2a-\=1-2sin2a；

2tana

③tan2a=

1-tan2a

【诊断自测】已知sin(2一=贝h05("+2&］的值为()

2424

A.B.C.D.

25252525

4/20

知识点3：降次（靠）公式

1.c.2l-cos2a1+cos2a

smocosa=—sm2a;sma--------------;cos2a---------------

222

【诊断自测】已知函数/(x)=2sinxcosx+273cos2x-V3.

(1)求/(x)的最小正周期和单调区间；

⑵若=求的值.

知识点4：半角公式

asina1-cosor

tan——=------------=-------------.

21+cosorsin。

nsin0sin0

【诊断自测】(2024•高三•河北-期末)已知tan7=2则的值为

21-cos01+cos0

知识点4：辅助角公式

asina+bcosa=yla2+b2sin(a+(p)(其中sin9=.,cos(p=.,tan(p=—

yla2+b2yja1+b2a

【诊断自测】当％时，/(x)=2sinx+cosx取最小值，求sina的值____.

解题方法总结

1、两角和与差正切公式变形

tana±tan/3=tan（a±夕）（1+tanatan/｝）；

5/20

tana+tan,tana—tan£

tana-tanfl=1-----------------=--------------------1.

tan(a+f3)tan(a-

2、降累公式与升幕公式

.l-cos2a21+cos2a；」；

sin2a=--------；cosa=-------------sinacosasin2a

222

1+cos2a=2cos2a；1-cos2a=2sin2a；l+sin2tz=(sina+costz)2；1一sin2。=(sina-cosa)2

3、其他常用变式

2sinacosa2tanacos2a-sin2a1-tan2aasina1-cos6Z

sin2a=；cos2a=；tan—二

sin2a+cos2a1+tan2asin2a+cos2a1+tan2a21+cosofsina

ai

4、拆分角问题：@a=2~；；②a=0-〈0-a)•,③a=,[(a+尸)+(。一£)];

④P=g[(a+£)—(a—夕)]；⑤(+二=]一(?—a).

注意：特殊的角也看成已知角，如""

5、和化积公式

a+Ba-B

sina+sinp=2sin------cos.......-

22

a+/?.ex.—B

sina-sinp=2cos------sin.......-

22

a+/3ci—B

cosa+cosp=2cos-------cos--------

22

ccB.cc—B

cosa-cosp=-2sin------sin.......-

22

6、积化和公式

sina-cosp=—[sin(cr+/?)+sin(a-0]

cosa-cosp=;[cos(a+/?)+cos(a-p)]

sincvsinp=g[cos(a-,)一cos(a+/)]

题型洞察

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题型一：两角和与差公式的证明

【典例1-1】阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有

sin(7+/?)=sinccos夕+costzsin'①，

sin(a-£)=sinacos"-cosasin£②，

由①+②得sin(a+?)+sin(a-?)=2sintzcos尸③.

ojonrnrA+BA.-B小、A'r>>A+BA-B

令Atz+/=4,a-B=B,贝!|a=-------,Bn=--------,代入③得SHL4+sia8=2sin--------cos--------

2222

(1)利用上述结论，试求sinl5o+sin75。的值；

JRA-R

(2)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos^-cosS=-2sinsin.

【典例1-2］如图，设单位圆与x轴的正半轴相交于点。(1,0),当。大2后%+£(左eZ)时，以x轴非负半轴

为始边作角a,尸，它们的终边分别与单位圆相交于点4(cosa,sina),2(cos£,sin0.

(1)叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；

(2)利用两角差的余弦公式与诱导公式.证明：sin(a-/7)=sin«cos-cosasin/7.

(附：平面上任意两点4(项,乂)，£(%,%)间的距离公式P岛=fy+(%-乂『)

【方法技巧】

推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数

量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.

【变式1-1］如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点尸(cosa,sine),

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Q(cos尸,sin/7).

（1）请分别利用向量而与质的数量积的定义式和坐标式，证明：cos（a-^）=cosacos/?+sinasin.

（2）已知（1）中的公式对任意的a,月都成立（不用证），请用该公式计算cosl50的值，并证明：

sin（a+/3）=sinacos[3+cosasin/?.

【变式1-2]在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上

可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式：

cos（a-£）=cosacos夕+sinasin§.

具体过程如下：如图，在平面直角坐标系X0内作单位圆0,以Ox为始边作角％它们的终边与单位

(1)(2)

则OA=（cosa,sina）,OB=（cos尸,sin尸），由向量数量积的坐标表不，有0A-OB=cosacos夕+sinasin0.

设），砺的夹角为6,则。/•OB=|04MOB|cos9=cos9=cosacos，+sinasin/7,另一方面，由图（1）可

知，a=2kji+/3+0；

由图（2）可知戊=2左"+，一。，干是a—B=2k?i土e,ksZ.

所以cos（a-尸）=cos6,也有cos（a-7?）=cosacos/?+sinasin/?；

所以，对于任意角d夕有：cos（tz-/7）=cosacos/?+sinasin（3.

此公式给出了任意角a,尸的正弦、余弦值与其差角a-6的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简

记作C”子.有了公式Ca_,以后，我们只要知道cosa,cos/,sina,sin用的值，就可以求得cos（a-/）的值了.

8/20

阅读以上材料，利用图（3）单位圆及相关数据（图中”是N8的中点），采取类似方法（用其他方法解答

正确同等给分）解决下列问题：

（3）

⑴判断反=苏两是否正确？（不需要证明）

(2)证明：sina+sin£=2sin°'cos巴~—

22

题型二：两角和与差的三角函数公式

【典例2-1】(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)已知sinasin[a+/J=cosasin《-aJ,贝ljtan12a+；

()

A.2-V3B.—2-6C.2+V3D.-2+73

71

【典例2-2】(2024•浙江•三模)若sin(a-/7)+cos(a-/?)=2^sin6Z--近夕，贝I」（）

A.tan(«-y0)=-lB.tan(cr-y0)=l

C.tan(«+/?)=-!D.tan(a+〃)=l

【方法技巧】

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用。，£的三角函数表示。土尸的三角函数,

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在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.

【变式2-1]（多选题）下列选项中，值为。的是（）

A.2cos215°B.sin27ocos3°+cos27osin3°

tan22.5°

C.2sin15°sin75°

l-tan222.5°

jr

【变式2-21（多选题）已知0<a<£<5，且1@11々911月是方程21--10工+1=0的两根，下列选项中正确

的是（）

A.tan(a+")=(sin(cr+/7)6

•cos(6z-/7)11

4二71

C.tan(a_0)=-D.+2/7——

题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形

【典例3-1】（2024•高三•陕西商洛•期中）已知万满足（l+tana）（l-tan£）=2,贝1]"一£=

【典例3-2】计算：tan730-tan1930-6tan73°tan13°=

【方法技巧】

运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用

和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力.

【变式3-1】cos（a+30°）cosa+sin（a+30°）sina=___.

32

【变式3-2]（2024•江西•模拟预测）已知cos（a+/?）=丁cosacos/7,贝!jcos（2a-26）=.

【变式3-3】已知a,夕,7£0,—,sm/3+sin/=sincir,coscr+cos/=cosyfi,贝!j£—a=.

、7

【变式3・4】设cosa+cos尸=],sina-sin/?=—,则sin2022(a+/)+cos2022(«+/?)=

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题型四：利用角的拆分求值

【典例4-1】（2024•辽宁•模拟预测）已知sin[a+弓]=；,贝Usin（2a+gb.

【典例4-2】已知广均为锐角，sin[ag=*sinL|+^=^,贝加里芋的值为（）

V2V2V2V2

A.B.c.D.

V而10

【方法技巧】

常用的拆角、配角技巧：2a=(a+/})+(a-/5)；a=(a+/3)—(3=(a—+/3

0=£；，一。J=(a+2夕)一(a+夕)；a_£=(a_/)+(7一4)；15°=45°-30°；~^+a

等.

【变式4-1]（2024•山东•模拟预测）已知cos[a—^）—cosa=g,贝!]sin[2戊+已）=（）

72424

A.B.C.D.

2525

已矢口3sin9+^^cos。=1,则cos(1+28

【变式4-2】1=()

22

A."V3

Rc.-D.

333~3

【变式4-3]若a为锐角，且sin（a-：）=|,贝ljcos2a=（

242477

A.B.C.D.

25252525

题型五：给角求值

2sin18°f3cos290-sin29°-ll

【典例5-1](2024•重庆-模拟预测)式子-------------广---------化简的结果为()

cos6°+V3sin6°

A.1B.1C.2sin9°D.2

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【典例5-2】计算：万sin4（Tsin80。=（）

cos40°+cos60°

A.--B.--C.D.

222

【方法技巧】

（1）给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转

化方法.

（2）给角求值问题的一般步骤

①化简条件式子或待求式子；

②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手；

③将已知条件代入所求式子，化简求值.

【变式5-1］求值：=（）

Vl-cos20

A.1B.V2C.V3D.2A/2

【变式5-2］（2024•广东汕头•二模）若4sinl600+tan20。=百，则实数2的值为（）

A.4B.4A/3C.273D.—

3

【变式5-3】sinll00cos：50。的值为（）

cos225°-sin-155°

A.--B.IC.—D.--

2222

题型六：给值求值

7T17

【典例6-1］（2024•广西南宁•一模）已知0＜。＜5＜/?＜兀,（：05月=—§冈11（。+夕）=§,贝［Jtana=

7T*I3

【典例6-2］（2024•高三•吉林长春•开学考试）已知cos（a+〃）=w，sin（6r-/7）=-,则

tanctftan/?=.

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【方法技巧】

给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使

其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表示；②将已知条件转化而推

出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相

互关系，并根据这些关系来选择公式.

【变式6-1]（2024•全国•模拟预测）已知sin（z=2sin（tz+£）,2sin£-cos0+2=0,贝I]tan（（z+"）=.

【变式6-2]（2024•高三•浙江绍兴•期末）若sinO=|,当<9<3n,贝!]tang+2cos。.

兀a)+V§sina=[,则

【变式6-3]（2024•山西临汾•模拟预测）已知a为锐角，且sin

cos2a+-

I6

题型七：给值求角

【典例7-1】（2024•贵州六盘水•模拟预测）设戊£—,P,且sina+cosa=Vicos",则

a-/}=___.

2兀

【典例7-2】已知夕为锐角，且sina+sin[a+]）+sin]a=C,贝!|a=

3

【方法技巧】

给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求角”的范

围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角.

【变式7-1]已知,均为锐角，cosa=亚，sin/7=逋，则cos2a=,2a—B=.

714

【变式7-2】若会吟,且”+止-焉sm2£f则—=一

【变式7-3]已知tan（"一,tana=—；,%，£（0,兀），贝U2/一a的值是（）

13/20

71兀3兀

A.B.CD.

44-TT

【变式7-4】设asg?',P，:,且sina+cosa=J5cos/7,则()

c兀c兀c兀

A.cc+B=­B.cc—B——C.a+/?二万D.a-p=——

444

题型八：正切恒等式及求非特殊角

【典例8-1】（2024•陕西商洛•高三陕西省山阳中学校联考期中）已知以/满足（l+tana）（l-ta"）=2,

则，-a=.

【典例8-2］（2024•江苏南通•高三校考期中）在A/tSC中，若tan4+tanB+0=V^tanZtanB，则

tan2C=.

【方法技巧】

正切恒等式：当/+3+。=版■时，tanA+tanB+tanC=tanA-tanB-tanC.

证明：因为tan(4+5)=tan/+tan8,tanC二一tan(4+8),所以tan/+tanB=一tanC(1-tan/tanB)

1-tanAtanB

故tan/+tanB+tanC=tan24-tan5-tanC.

【变式8-1](2024•山东•高三济宁市育才中学校考开学考试)若角。的终边经过点尸(sin7(T,cos7()。)，且

tana+tan2a+mtana-tan2a=，贝!J实数m=.

【变式8-2］（山西省临汾市2023・2024学年高三11月期中数学试题）已知戊£（0,兀），戊+，+/=兀，且

2sin6/+tan+tan/=2sintantan/,贝!Ja=（）

题型九：三角恒等变换的综合应用

9a2

[典例9-1】在AASC*中，cosB=7，6=5,—=—.

16c3

⑴求。；

14/20

(2)求sinA；

(3)求cos(B-24).

【典例9-2】(2024•天津•二模)在“BC中，角A,B,C所对的边分别为〃，b,c,已知6=4,

…4出

a—3c，coS/4=----.

3

⑴求sinC的值；

⑵求c的值；

⑶求sin(2/+C)的值.

【方法技巧】

(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆

用和变形使用.

(2)形如y=asinx+6cosx化为y=个a1+b1sin(x+p),可进一步研究函数的周期性、单调性、最值

与对称性.

【变式9-1](2023,陕西咸阳,校考二模)已知函数/(x)=2cosx(sinx-cosx)+l,xeR

(1)求函数/(x)的对称轴和对称中心；

(2)当xe27T,三37r，求函数/(x)的值域.

o4_

a

【变式9-2](2023•上海松江•高三上海市松江二中校考阶段练习)已知/(x)=cosx^V3sinx-cosx^+-.

⑴求/(%)在[0,1]上的单调递减区间；

⑵若=年)，求sin2a的值.

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题型十：辅助角公式的高级应用

【典例10-1】已知/(x)=cos(x+/)+2sinx的最大值为3,则tan^=

【典例10-2】设4RC是一个三角形的三个内角，则coM(3sii4+4sinC)的最小值为.

【方法技巧]

bb

(1)osina+bcosa=V^+^sin(a+0)(其中sin0=/.，COS^="7，tan(p=—

yja2+b2y/a2+b2a

H<f)•

/c、.2ylm2+H2.、n,n

(2)msmcoxcoscox+ncoscox=------------sm(2(vx+(p)+—,tan0=一.

22m

【变式(•高三•内蒙古赤峰•开学考试)已知见£(

10-1]2024e0g,若P=sinasin26+cosacos夕,则

p的最大值为.

【变式10-2]y=cos(a+/?)+cosc-cos?-l的取值范围是

题型十一：积化和差、和差化积公式

则二

【典例11-1】cosa-cosp=-,sina-sinp=-,tan^^

322

【典例11-2】若sinx+sin3x+sin5x=a,cosx+cos3x+cos5x=6,则tan3x=___结果用6表示.

【方法技巧】

三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等).

、71

【变式11-1】设cosa+cosQ=—,sina-sin/?=—,则tan(a-Q)=.

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【变式11-2］已知tan(a；1)=告，tanatan夕=g，则cos(a-尸)的值为___.

［2

【变式11-3］若cosxcosy-sinxsiny=5,sin2x-sin2y=—,贝!Jsin(x—>)=___.

【变式11-4】(2024•安徽阜阳・一模)已知5亩戊+$亩;?=4,馍51+(：05/=6(。/?。0),贝i」cos(a—/)=

sin(a+〃)=___.

1.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知一C0SQf.=V3,则tana+[=（）

cosa-sma14）

A.273+1B.273-1C.—D.1-V3

2

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知cos(&+))=九tanatan0=2,则cos(a—/)=()

JT)

A.-3mB.-----C.—D.3m

33

已知sin(a—,)=，,cosasin'=L,贝［Jcos(