人教版九年级数学下册锐角三角函数《解直角三角形及其应用（第1课时）》示范教学设计

解直角三角形及其应用（第1课时）教学目标1．了解解直角三角形的意义和条件．2．能根据已知的两个条件（至少有一个是边），解直角三角形．教学重点解直角三角形的依据和方法．教学难点根据条件解直角三角形．教学过程知识回顾如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝＝；把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝＝；把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝＝．新知探究一、探究学习【问题】我们回到本章引言提出的比萨斜塔倾斜程度的问题．1972年的情形：设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图）．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度数．【答案】∵BC＝5.2m，AB＝54.5m，∴．利用计算器可得∠A≈5°28′．【问题】意大利从1990年起对斜塔维修纠偏，2001年竣工，此时塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．类似地，可以求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．你能求出来吗？【师生活动】教师与学生一起分析纠偏后的数据，得到对应的边角关系，然后学生作答，教师补充．【答案】∵43.8cm＝0.438m，∴B′C＝BC－0.438＝5.2－0.438＝4.762（m）．∴．利用计算器可得∠A≈5°0′46″．【追问】1．将上述问题推广为一般的数学问题如何求解？【师生活动】学生思考并作答：已知直角三角形的斜边和一条直角边，求它的锐角的度数．可利用锐角的正弦（或余弦）的概念直接求解．【追问】2．在上述Rt△ABC中，你还能求其他未知的边和角吗？【师生活动】学生思考并说明求解思路：根据直角三角形两锐角互余可求得∠B的值，根据可求得AC的长．教师把问题一般化，给出解直角三角形的概念．【新知】一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．【设计意图】通过实际问题，激发学生学习的兴趣，把实际问题转化为数学问题，并一般化：已知直角三角形斜边和直角边，求它的锐角的度数．通过求解的过程，初步体会解直角三角形的概念，引入课题．【问题】在直角三角形中，除直角外的五个元素之间有哪些关系？【师生活动】教师引导学生结合图形，梳理五个元素之间的关系，学生作答．【归纳】如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么除直角∠C外的五个元素之间有如下关系：（1）三边之间的关系a2＋b2＝c2（勾股定理）；（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B＝90°；（3）边角之间的关系上述（3）中的A都可以换成B，同时把a，b互换．【设计意图】有条理地梳理直角三角形中五个元素之间的关系，明确各自的作用，便于应用．【问题】知道五个元素中的几个，就可以求其余元素？【师生活动】教师直接给出结论．【归纳】在直角三角形中，知道除直角以外的五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求其余三个未知元素．已知两个角不能解直角三角形，因为只有角的条件时，三角形的大小不能确定，即有无数多个三角形符合条件：已知一角、一边时，角必须是锐角，若已知的角是直角，则不可解．【设计意图】让学生熟悉解直角三角形的条件．二、典例精讲【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝，BC＝，解这个直角三角形．【师生活动】学生在教师问题的引导下，思考如何求出所有未知元素．【追问】1．解直角三角形的目标是什么？【师生活动】学生回答，解直角三角形的目标是由已知元素求所有未知元素．【追问】2．在Rt△ABC中，有哪些未知元素？如何求这些未知元素？求解的依据是什么？【师生活动】先让学生找出所有未知元素：∠A，∠B和AB，然后让学生逐一说明求每一个未知元素的方法和依据．教师引导学生结合图形，选择反映五个元素之间关系的式子，鼓励学生采取不同方法求解，并引导学生选择简洁的解题途径，最后给出简洁、规范的解题步骤．【答案】解：∵∴∠A＝60°，∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°，AB＝2AC＝2．【设计意图】通过解特殊的直角三角形，训练学生解直角三角形的思路和方法，提高分析和解决问题的能力．【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形（结果保留小数点后一位）．【师生活动】先由学生代表参照例1的解题思路，分析本题的解题思路；然后由学生独立完成，再小组交流；最后由学生代表展示解题步骤．对于求c，如果学生采取不同方法，让他们展示不同方法；如果学生没有采取不同方法，教师注意引导他们思考其他解法．【答案】解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°．∵∴．∵∴【归纳】解直角三角形的类型及方法：图示已知类型已知条件方法与步骤两边斜边，一条直角边（如c，a）（1）；（2）由，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A两条直角边a，b（1）；（2）由，求∠A；（3）∠B＝90°－∠A一边、一角（除直角外）斜边，一个锐角（如c，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由，得a＝c·sinA；（3）由，得b＝c·cosA一条直角边，一个锐角（如a，∠A）（1）∠B＝90°－∠A；（2）由，得；（3）由，得【设计意图】进一步训练学生解一般直角三角形的思