人教版九年级数学下册《反比例函数（第3课时）》示范教学设计

反比例函数（第3课时）教学目标1．进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质．2．灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题，掌握判断点是否在反比例函数的图象上的方法和比较反比例函数值大小的方法．3．领会反比例函数的解析式与图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法．教学重点进一步理解并掌握反比例函数的图象和性质，并能利用它解决一些问题．教学难点灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题．教学过程知识回顾1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数的图象的对称性：的图象是轴对称图形，对称轴是y＝±x．的图象是中心对称图形，对称中心是原点．3．过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．新知探究一、探究学习【问题】已知反比例函数的图象经过点A(2，6)．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B(3，4)，C，D(2，5)是否在这个函数的图象上？【师生活动】学生代表板书作答，教师和其他学生纠正补充．【答案】解：（1）因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为，因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足，即，解得k＝12．所以反比例函数的解析式为．因为点B，C的坐标都满足，点D的坐标不满足，所以点B，C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．【归纳】判断点是否在反比例函数的图象上的方法1：若点的坐标满足反比例函数解析式，则点在反比例函数的图象上；否则，点不在反比例函数的图象上．【设计意图】通过解决该问题，进一步加强学生对反比例函数图象和性质的理解，得到判断点是否在反比例函数的图象上的方法．【问题】如图，它是反比例函数图象的一支．根据图象，回答下列问题：（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？（2）在这个函数图象的某一支上任取点A(x1，y1)和点B(x2，y2)．如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的大小关系？【师生活动】小组讨论后学生代表作答，教师引导与补充．【答案】解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或位于第二、第四象限．因为这个函数图象的一支位于第一象限，所以另一支必位于第三象限．因为这个函数的图象位于第一、第三象限，所以m－5＞0，解得m＞5．（2）因为m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支上，y都随x的增大而减小，因此当x1＞x2时，y1＜y2．【归纳】巧记口诀：反比例函数图象是双曲线，k为正，图象在第一、第三象限，k为负，图象在第二、第四象限；图象在第一、第三象限函数减，图象在第二、第四象限正相反．【设计意图】通过解决该问题，进一步加强学生对反比例函数图象和性质的理解，归纳反比例函数的相关口诀．二、典例精讲【例1】若点(2，－4)在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（）．A．(2，4) B．(－1，－8) C．(－2，－4) D．(4，－2)【答案】D【解析】因为点(2，－4)在反比例函数的图象上，所以k＝2×(－4)＝－8．选项A中，2×4＝8；选项B中，－1×(－8)＝8；选项C中，－2×(－4)＝8；选项D中，4×(－2)＝－8．所以点(4，－2)在此反比例函数的图象上．【归纳】判断点是否在反比例函数的图象上的方法2：若点的横坐标和纵坐标的积等于比例系数k，则该点在反比例函数的图象上；若不等于k，则该点不在反比例函数的图象上．【设计意图】通过解决该例题，得到判断点是否在反比例函数的图象上的另一种方法．【例2】若点A(－5，y1)，B(－3，y2)，C(2，y3)在反比例函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）．A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【答案】D【解析】方法1（性质法）：由反比例函数的性质，得反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减小．因为(－5，y1)，(－3，y2)两点在第三象限，且－5＜－3，所以y2＜y1＜0；又因为2＞0，所以点(2，y3)在第一象限，所以y3＞0，所以y2＜y1＜y3．方法2（直接代入法）：把x＝－5，x＝－3，x＝2分别代入，得y1＝，y2＝－1，y3＝，所以y2＜y1＜y3．方法3（图象法）：因为k＝3＞0，所以反比例函数的图象在第一、第三象限，如图所示，在图中描出符合条件的三个点，由图象易知y2＜y1＜y3．【归纳】比较反比例函数值大小的方法：（1）直接代入法（或特殊值代入法）：先直接代入已知的横坐标（或代入选取合适的横坐标），分别求出纵坐标，再比较函数值的大小．（2）性质法：在同一分支上的点可以通过比较其横坐标的大小来判断函数值的大小；不在同一分支上的点，依据与x轴的相对位置来进行函数值大小的比较．（3）图象法：利用画图象、描点的方法判断函数值的大小．【设计意图】通过该例题的解决，让学生总结比较反比例函数值大小的几种方法．【例3】如图，点P是反比例函数图象上的一点，PA⊥y轴，垂足为A，PB⊥x轴，垂足为B．若矩形PBOA的面积为6，则k的值是_______．【答案】－6【解析】因为点P(x，y)是反比例函数图象上的一点，且反比例函数图象的一支在第二象限，所以k＜0．因为PA⊥y轴，PB⊥x轴，矩形PBOA的面积为6，所以k＝－6．【注意】涉及反比例函数图象与矩形（或直角三角形）的面积问题，一定要注意图形的一个顶点在双曲线上，并且这个点的横坐标与纵坐标积的绝对值等于一个常数，这个常数是矩形的面积（或直角三角形面积的2倍）．【设计