平面向量教材分析

必修4

《平面向量》教材分析

一、地位和作用

向量是数学中重要的、基本的概念，它既是代数的对象，又是几何的对象。作为代数对象，向量可以运算．作为几何对象，向量有方向，可以刻画直线、平面、切线等几何对象；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。向量由大小和方向两个因素确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了向量形的特征，因此，向量是集数形于一身的数学概念，是数学中数形结合思想的典型体现．

向量是沟通几何、代数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用。二、课标要求1、向量的线性运算（1）通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。（2）通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线

的含义。（3）了解向量的线性运算性质及其几何意义。2、向量的分解与向量的坐标运算（1）了解平面向量的基本定理及其意义。（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。（3）会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。3、平面向量的数量积（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直

关系。4、向量的应用

经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。1、加强几何直观：《标准》强调向量概念的几何背

景，强调理解向量运算（加、减、数乘、数量积）

及其性质的几何意义。2、强调数学建模：《标准》将三角函数与向量作为

刻画现实世界的数学模型，通过对实际背景的分

析、概括与抽象，体现数学知识的产生发展过程，

反映了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的

本质，形成对数学的完整的认识。3、强调了数学知识之间的内在联系及数学与其它学

科的联系。突出三个“强调”本章的知识框图三、具体教学建议2.1.1．向量的概念重点是向量的概念，相等向量的概念和向量的表示。难点是对向量概念的理解。建议：①以物理学中位移概念（实例）出发引出向量的概念。②引导学生找出生活中的几个向量实例，加深对概念的认识，准确抓住向量的特点。③表示方法：

联想位移的表示方法，引出有向线段表示向量。

用有向线段的方向和长度分别表示向量的方向和大小，赋予向量的几何意义。④给出自由向量、相等向量、平行向量、零向量的概念，并引导

学生进行辨析（向量的平行和直线平行的区别、平行向量与共线向量）。⑤概念应用（例题及相关习题）。对平行向量与共线向量等价性的理解：学生的误区：平行向量——不共线

共线向量——不平行平行向量（共线向量）的概念是针对方向的，而两个表示向量的有向线段，只要方向相同或相反，就是平行向量（共线向量）.概念辨析题：判断下列命题是否正确？(1)若|a|=|b|,则a=b；(2)若两个向量相等，则它们的起点相同,

终点相同；(3)若AB=DC,则四边形ABCD是平行四边形；(4)若a=b,b=c,则a=c；(5)若a//b,b//c,则a//c；(6)模为0的向量与任一向量平行；(7)平行向量不一定是共线向量；(8)单位向量都相等；(9)单位向量都共线；2.1.2向量的加法重点是向量的加法运算，难点是对向量加法定义的理解。建议：①问题引入：向量是具有大小和方向的量，能否像数与式那样进行运算？（引发学生思考）②情景设置：某人从A点向东走3米到达B点，再由B点向北走3米到达C点，问此人的位移。（教材P81）（教师引导学生观察此题目中三个位移的关系）③归纳出向量求和的三角形法则，引导学生列举实际生活中向量求和的实例（如力的合成），得出平行四边形法则。④类比数的运算律验证向量加法的交换律和结合律。⑤应用举例（书上习题）。⑥归纳对比两种运算法则：当两向量共线时平行四边形法则不适用；当两向量不共线时，平行四边形法则与三角形法则本质是

一致性。⑦补充对零向量的运算规定及向量求和的多边形法则。教材中给出了向量减法的两种定义方法，第一种是将向量的减法定义为向量加法的逆运算，要结合三角形法则体会。

第二种方法是在定义相反向量的基础上，通过向量的加法定义向量的减法，由向量加法的平行四边形法则给出其几何意义。用这一种定义方法，学生不易理解向量减法的定义，但很容易作出。用第二种定义方法，学生容易接受

，但作图较繁。两种方法没有本质区别。2.1.3向量的减法运算重点是向量减法法则的运用，难点是向量减法定义的理解。建议借助几何直观，帮助学生理解例1是用向量表示平行四边形的四条边和两条对角线的关系，要求学生掌握。2.1.4向量的数乘运算重点是数乘向量的定义，运算律，难点是正确运用法则、运算律进行向量的线性运算。建议：①问题引入：

平面几何中的全等与向量的加法有着密不可分的联系，那

么平面几何中图形的放大、缩小或者相似会与向量的某种

运算有关系吗？②从作图中直观感觉数乘的含义，从特殊到一般给出数乘向

量的一般定义。③对运算结果和运算律的认识：运算的结果是一个向量，所

以要描述它要从大小和方向两个方面分别做出规定；可通

过类比实数的运算律理解数乘运算的特点。

（运算律的证明不要求）④利用数乘向量与原向量之间共线得出数乘向量的几何意义。⑤应用举例（课本例题）P89页例3：沟通了向量的数乘和相似之间的关系2.1.5向量共线的条件与轴上向量坐标运算

包括平行向量基本定理、单位向量、轴上向量的坐标公式、数轴上亮点间的距离公式等，概念比较多。为什么研究轴上向量？轴上向量是理解平面向量的基础；平面向量的所有结论都可以通过轴上向量和向量的加法的推出；有利于分散学生的难点，为平面向量的基本定理做铺垫。建议：①引入：向量是联系几何与代数的重要桥梁，向量的表示、运算都有代数形式，我们应如何用数量（代数）的方式研究向量的运算呢？（引导学生，共线向量的加法运算可以只简单考虑数量的和）②那么如何刻画两向量为共线向量呢？（平行向量基本定理）③在平行向量基本定理基础上给出轴的概念，由轴的基向量确定实数与这条轴上的向量建立一一对应关系，由此确立向量的坐标（代数）表示。④应用向量观点，师生重新认识初中的数轴概念，推导出相应公式。⑤应用举例（课本例题）2.2.1平面向量基本定理教学设计理解定理：

P97例2出现了“直线的向量参数方程式”

P97例1：给定的基底来表示其它向量的思路和方法。2.2.2平面向量的正交分解与向量直角坐标运算（1）平面向量的正交分解

可通过多媒体动态演示，引入平面向量的正交分解。（2）平面向量的坐标表示2.2.3用平面向量坐标表示向量共线条件在复习平行向量基本定理的基础上，推出用平面向量坐标表示向量共线的条件。严格推导并不容易，有利于培养学生分类讨论的意识，根据学生情况讲解。应用：P104例1：用平面向量坐标表示向量共线的直接应用。例2：证明三点共线的常用方法：从同一点出发的两个向量共线，则两个向量的三个顶点共线。2.3平面向量的数量积（2课时）

2.3.1平面向量数量积的物理背景与定义

2.3.2向量数量积的运算律①引入：思考：平面向量能进行加减和数乘运算，那么两个向量能否进行乘法运算？如果能的话，那运算的结果又是什么呢？它又满足怎样的运算律呢？它又有怎样地应用呢？1课时物理背景：如果一个物体在力F的作用下产生的位移为s，那么力F所做的功w等于多少？②平面向量数量积的概念明确两个向量的夹角；向量在轴上的正射影；向量数量积的定义及性质（强化向量垂直与性质a●a＝∣a∣2）

强调：一个向量与单位向量的数量积的几何意义是向量在单位向量方向上的正射影的数量。③向量数量积的三个运算律

对于前两个运算律，学生自己能够证明，而

对于分配律，学生证明有困难，需要教师引

导探究，强调数形结合的思想。注意向量数量积不满足结合律：

2.3.3数量积的坐标运算及度量公式平面两向量数量积的坐标运算；用向量的坐标表示两个向量垂直的条件；向量的长度、距离和夹角公式突出向量数量积的运算代数化，通过P113—P114的4个例题，提高学生解决求向量的长度、距离、夹角及用向量解决三角、解析几何等问题的能力。2.4.1向量在几何中的应用建立向量与平面几何、解析几何的联系，经历用向量方法解决有关几何问题和物理问题和其他一些实际问题的过程。1.向量在平面几何中的应用①创设情景，感知操作平行四边形是平面几何中比较重要的几何模型，也是利用向量方法解决几何问题很好的一个背景。而且它有丰富的几何性质，启发引导学生利用向量的方法研究其性质。可解决以下问题：课本例题1；两条对角线相等的平行四边形为矩形；平行四边形对角线互相平分；平行四边形的两条对角线的平方和等于四边平方和。2.4向量的应用②归纳总结，探求规律引导学生总结用向量方法解决平面问题的“三步曲”（一般步骤）：

建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量．通过向量运算研究几何运算之间的关系，如距离、夹角等．把运算结果＂翻译＂成几何关系．P118例3：选定正交基底，用坐标法解决几何问题，体现几何问题代数化的特点，进一步体会数形结合思想在解题中的作用。因为没有学习必修2，在解析几何中的运用可取舍。利用直线的方向向量与法向量研究直线的平行与垂直。如果讲，需要做一定铺垫。小结复习建议：从字母、图形、坐标三各方面进行梳理总结2.向量在解析几何中的应用字母（运算律）图形坐标向量加法减法数乘

Aaabbaba

baλa（x，y）①a

b=a+(

b)

②若b+x=a，x＝a

bλa字母（运算律）图形坐标数量积a

b=|a||b|cos

a

b=|a|

OC平行a∥b

a=λba∥b

垂直a

b

a

b

=0定理baOC

四、高考考查要求

考试内容要求层次ABC平面向量平面向量的相关概念√向量的线性运算向量加法与减法√向量的数乘√两个向量共线√平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐标表示√用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算√用坐标表示的平面向量共线的条件√平面向量的数量积数量积√数量积的坐标表示√用数量积表示两个向量的夹角√用数量积判断两个平面向量的垂直关系√向量的应用用向量方法解决简单的问题√（1）平面向量的加、减、数乘、数量积运算的问题（2）平面向量的平行（共线）与垂直问题考查向量基础知识（3）向量与其它知识的综合考查灵活运用向量知识解决问题的能力.向量是数形结合与转换的桥梁和纽带，所以在向量与函数、不等式、三角函数、解析几何交会处设计题目是高考试题的特点之一.1、突出向量的物理背景与几何背景；

动点的位移：向量的概念；位移的合成：向量的加法运算及法则；图形的放大和缩小：数乘向量；力做功：向量的数量积教学建议：平面向量这一章的概念比较多，2.1.1一节中就出现了向量、自由向量