初中数学 有理数的混合运算 专项练习

1.12有理数的混合运算

夯基础

题型一含乘方的有理数混合运算

1.(上海市交大集团附属中学2023-2024学年六年级下学期期末数学试题)计算：弓-§X3O+

(-10)2-I2004.

2.(24-25七年级上•全国•随堂练习)计算：

(1)2x(-3>—4x(—3)+15；

⑵卜1土(一£)一9(一2)3.

(3)-|-9|+(—3/+(|_|)x(-12).

(4)-14-(1-0.5)x1-|1-(-5)2|.

3.(24-25七年级上•全国・单元测试)计算：

(D-32-|-52|x(一|了_18+|-(-3)2|

⑵卜-(|+|T£)X24]+(—22+2|)

(3)(_1)2。25一&一(一2)3]+(_|)x|

(4)43+(-32)-[(-|)3X(-3)2+(-9

4.(2024•河北邯郸•三模)在计算"2乂©口1)-22"中的"□”填入运算符号.

⑴填入"X"并计算；

(2)要使结果最小，"口"内应填写什么符号；并直接写出这个最小值.

5.(23-24六年级下•全国•假期作业)若。与6互为相反数，尤与y互为倒数，机的绝对值和倒数均是它本身，

力的相反数是它本身，求/。2°19+。2019)_9(裔)+()2019—几2019的值.

题型二有理数四则混合运算

6.(24-25七年级上•全国•随堂练习)简便计算：

(1)-1.25X(-5)X3X(-8)

（2通+|一》x（-L2）

(3)-ix(-19)-jxl9-|x(-19)

(4)(-48)X0.125+48x—+(-48)x-

84

7.(24-25七年级上•全国・单元测试)计算：

⑴[(-3)+40+(—32)+(-8)]+[|-卜埒一(+23一(—2.75)]；

(2)[(-48)x0.125+48Xi+(-48)X习+[16+(-25)+24+(-35)]

⑶[(—0X：X(一卷)一(£)T-(―5)xE卜[6—|—9x(―36)一(―1)x13+(-13)].

8.(23-24六年级下•全国•假期作业)计算下列各题：

(2)-21x(l-l|)+(-50

(3)-3-[-5+(1-0.2X|)4-(-2)]

⑷一1+(一J—24X(|一

题型三判断有理数混合运算的错误步骤

9.(2022•河北邯郸•二模)淇淇在计算：(—1)2022—(_2)3+6+©—时，步骤如下：

解：原式=-2022—(—6)+6-i-——6-T--...(T)

=-2022+6+12-18……②

=-2048……③

⑴淇淇的计算过程中开始出现错误的步骤是;(填序号)

⑵请给出正确的解题过程.

10.（23-24七年级上•贵州铜仁•阶段练习）小明同学在计算：（一1）2。23一（-2）3+6+©—》时，步骤如下:

解：原式=-2023—(-6)+64-——6——(30(1)

=—2023+6+12-1800(2)

=-202300（3）

（1）小明的计算过程中开始出现错误的步骤是；（填序号）

(2)请给出正确的解题过程.

11.(23-24七年级上,江西上饶•期中)小丽同学做一道计算题的解题过程如下：12X(|-3+6+6-1

解：原式=12x|-12X|+6-?Q—.....第~■步

34\23/

=8-9+6+工一6+-.....第二步

23

=—1+12—18............第三步

=-7............第四步

根据小丽的计算过程，回答下列问题：

⑴小丽在进行第一步时，运用了乘法的律；

⑵她在计算中出现了错误，其中你认为在第步开始出错了；

⑶请你给出正确的解答过程.

12.(22-23七年级上•河南许昌•期末)在计算10-6-|+£)X(-47时，小明同学的解题过程如下：

i°—C+£)x(—4产

解：原式=10—Q—|+0*16①

=10-ixl6--xl6+—x16(2)

=10-2-24+7③

=-9④

⑴上述书写过程中，小明同学第步出现了错误，错误的原因是.

(2)请你帮小明同学写出正确的解答过程.

⑶除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就计算时还需要注意的事项给其他同学提一条建议.

13.(23-24七年级上•江苏连云港•阶段练习)阅读下列材料，计算：50+Q-：+2).

解法一：原式=50+工-50+工+50+工=50x3-50x4+50x12=550.

3412

解法二：原式=5。+仁一号+卷)=50+展=50x6=300.

解法三：原式的倒数为0一工+工)+50=+=lX--ix-+-X-=—.

\34127\34127503504501250300

故原式=300.

上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法一是错误的.

请你选择合适的解法解答下列问题:

计算：

⑴（-6）2+（一/]+3；

题型四利用有理数乘除混合运算解决实际问题

14.（24-25七年级上•全国•假期作业）陈大爷参加了农村合作医疗保险，条款规定：参保者住院医疗费补偿

设起付线，乡镇级医疗机构为500元，在起付线以上的部分按80%的补偿率给予补偿.即补偿费=（医疗费-

起付线）X补偿率.今年一月份李爷爷意外受伤骨折，在镇定点医院住院28天，医疗费用共计8100元，按

条款规定，陈大爷只需自己付多少元？

15.（24-25七年级上•全国•随堂练习）某儿童服装店老板以每件32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的

顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以每件47元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，

则记录结果如下表所示：

售出件数765543

售价/元+3+2-20-1+1

问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？

16.（24-25七年级上•全国,随堂练习）在一次数学测验中，七年（2）班的平均分为87分，把高于平均分的

部分记作正数，低于平均分的部分记作负数，下表是该班一个小组10名同学的成绩变化情况：

学生序号12345678910

成绩变化-2+10+8+5-5-10+8+13—6

⑴该小组10名同学的成绩最低分是多少？最高分是多少？

（2）最高分比最低分高多少？

⑶该组10名同学的成绩总分是多少？

⑷若该组10名同学的成绩平均分不低于87分，将得到奖励，每高一分，每人奖励2个本，否则不奖励，

那么该组10名同学是否受到奖励？若奖励，共奖励多少个本？

17.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）夏季快要到了，某服装厂为我校学生们新订制了一批夏季校服,

已知校服每套的成本是130元，为了合理定价，卖出时以每套150元为标准，超过150元的部分记为正，

不足150元的部分记为负.每批的销售量以50套为标准，超过或不足的数量分别用正、负来表示，服装厂

的老板记录了五批校服的售价情况和售出情况:

批次一二三四五

每套价格相对于标准价格（元）+4-5+6+5-5

相对于标准销售数量（套）-515-10-1010

⑴这五批校服中，哪批校服售出销售额最高？最高销售额是多少？

（2）这五批校服销售后，共盈利多少元？

18.（23-24六年级下•黑龙江哈尔滨•期中）如图，点M、N均在数轴上，点M所对应的数是-3,点N在点M的

右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上的两个动点.

MON

-----1----1--1-----►

-30

⑴直接写成点N所对应的数为

（2）当点P到点M、N的距离之和是6个单位长度时，求出此时点P所对应的数;

⑶若点P、Q分别从点M、N出发，且均沿数轴向左运动，点P以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q以

每秒3个单位长度的速度匀速运动.若点P先出发5秒时点Q出发，当P、Q两点相距2个单位长度时，直接

写出此时点P、Q分别对应的数.

题型五程序流程图与有理数的计算

19.（23-24七年级上•北京东城•期末）小明设计了一个如图所示的数值转换程序.

⑴当输入a=—5,6=—3口寸，求输出M的值为多少？

（2）若a=-3,M的值大于4,直接写出一个符合条件的6的值.

20.（23-24七年级上•江苏扬州•期中）有以下运算程序，如图所示:

比如，输入数对（2,1）,输出W=2.

(1)若输入数对(1，—3),则输出勿=_；

(2)分别输入数对(zn,-九)和(一九，m),输出的结果分别是Wi，w2,试比较吻的大小，并说明理由；

⑶设a=|久+2|,b=|x-3|,若输入数对(a,b)之后，输出W=26,请直接写出a+3b的值.

21.(23-24七年级上•陕西西安•期中)计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就

是数值转换机，

⑴如图，4同学设置了一个数值转换机，若输入a的值为-1,则输出的结果为

(2)如图，B同学设置了一个数值转换机，若输出结果为0,则输入的久=

⑶C同学也设置了一个计算装置示意图，4、B是数据入口，C是计算结果的出口，计算过程是由力，B分别

输入自然数小和九，经过计算后的自然数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质：

①若4B分别输入1,则输出结果1,记k=C(l,l)=l；

②若B输入1,4输入自然数增大1,则输出结果为原来的2倍，记k=C(m,1)=2C(m-1,1)；

③若4输入任何固定自然数不变，B输入自然数增大1,则输出结果比原来增大2,记k=C(zn,n)=

C(m,n—1)+2；

问：当4输入自然数7,B输入自然数6时，k的值是多少？

22.(23-24七年级上•江苏连云港•阶段练习)如图是一个"有理数转换器"(箭头是指数进入转换器的路径,

方框是对进入的数进行转换的转换器)

⑴当小明输入3；-4；3这三个数时，这三次输出的结果分别是

（2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0?（任意写一个符合题意的）.

⑶有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2,他只记得自己输入的是一个绝对值小于5的数，请你判断

一下，小明可能输入的是哪些数？请写出所有可能.

23.（23-24七年级上•江苏・周测）如图是一个计算程序图：

⑴若输入久的值为-2,求输出的结果y的值；

（2）若输出的结果y的值为4,求输入％的值；

⑶不论输入久的值为多少，输出的结果y都不可能取到某些整数，请直接写出这些不可能取到的整数_.（直

接填写结果）

题型六与有理数混合运算有关的规律探究问题

24.（23-24八年级下•江西吉安•期末）观察下面的变形规律：=I_；之=5-；三=5一；；…

J.XZJ.ZZj3X4D4

解答下面的问题:

⑴若〃为正整数，且写成上面式子的形式，请你猜想看=一

口）计算：£+…+盘

G）计算：e+短+++…+,023：2025

25.（2024九年级下•安徽•专题练习）研究下列算式，你会发现什么规律?

1x3+1=4=22

2x4+1=9=32

3x5+1=16=42

4x6+1=25=52

⑴请你找出规律并计算7x9+1=_=J/

⑵用含有71的式子表示上面的规律：

⑶用找到的规律解决下面的问题：

计算：（1+2）（1+白）（1+白）…（1+7777）=_-

26.（23-24七年级下,山东淄博・期中）阅读下面的材料：

-X-==l-4；-X-==1-4；

22V2/V2）2233V3八3732

利用上面材料中的方法解答下列各题：

⑴①:xi=（i-；）（i+；）=i------------；

你得到的规律是：（用含”的式子表示，”为大于1的整数）.

（2）计算:：X[X（1+2）X（1+/）X…X（1+*）++

27.（23-24七年级上•河南洛阳•期中）观察下列各式：一1义工=一1+士-iXi=-^x-=--+-.

2223233434

⑴按照发现的规律填空：—专义六=;

100101------------------

（2）你发现的规律是：-；义去=；（〃为正整数）

⑶用规律计算：（-1X}+（_[X[）+（-[X：）+…+（--^―X-^―）.

28.（23-24七年级上•湖北孝感・期中）观察是数学抽象的基础，在数学探究学习中，我们要善于通过观察发

现规律，进而解决问题，请你擦亮眼睛，开动脑筋，解答下列问题

①工="工_'.②工=工己_工）.⑶工=工己_工\…

。2X42\2J。4X62\46"。6X82\687,

⑴按以上规律，第④个等式为：；第九个等式为：（用含几的式子表示，71为正整数）；

（2）按止匕规律，计算三+-i-+-^―+-^―+1的值;

2x44X66x88X1010x12

⑶探究计算：--H---------1-----F•••H--------的值.

''11X13X1513X15X1715X17X1929X31X33

题型七与有理数混合运算有关的新定义问题

29.（21-22七年级上•河北石家庄•阶段练习）规定一种新运算：aAb=ab-bf如3△4=3x4—4=8,

⑴请计算(一3)的值.

(2)请计算3△(1△2)的值.

30.(24-25七年级上•全国•随堂练习)阅读下列材料,并解答问题:定义一种新运算:a团b团c=丘".(。+…)

C

(等号右边是常规的有理数加减法则运算)，例如：(—2)回(一1)回3=/2)-(-1)+3?(-2)+(-1)-3]=

|-2+1+3|-(-2-1-3)2-(-6)8

---------------3---------------=^=3

⑴计算:(-5)0304；

⑵计算：(一4)团(―g团2.

31.(22-23七年级上•湖南益阳・期中)定义新运算：a*b=工-J,a(g)b=々(右边的运算为平常的加、减、

abab

乘、除).

11411

例如:3*7=乙一乙=之，307=—=—.

37213X721

若a(8)6=a*b,则称有理数a,6为"隔一数对

例如：2区3=--=工，2*32区3=2*3,所以2,3就是一对“隔一数对

2x36236

⑴下列各组数是“隔一数对"的是_(请填序号)

①a=1,6=2；②a=—b=――③a=—1,b=1.

(2)计算：(-3)*4-(-3)04+(-2023)*(-2023).

⑶已知两个连续的非零整数都是"隔一数对

计算：1区2+2③3+3区4+4③5+・“+2020区)2021.

32.(23-24七年级上•江苏无锡・期中)【概念学习】定义：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算

叫做除方，如2+2+2、(-3)+(-3)+(-3)+(-3)等.类比有理数的乘方，我们把2+2+2记作23,读

作"2的下3次方"，(-3)+(-3)+(-3)+(-3)记作(一3%,读作“一3的下4次方"一般地，

把a+a++a+a(a丰0)记作a。,读作"a的下"次方

个a

直接写出计算结果：33=_,(-|)3=_.

【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数

的除方运算如何转化为乘方运算呢？

例如:

（1）仿照上面的算式，将下列运算写成幕的形式：

=_（。为有理数且aK。），（一=_-

（2）将一个非零有理数。的下”次方写成累的形式是：an=_.

【结论应用】计算：22021—3x（—2）.

\272022

题型八算24点

33.（23-24七年级上•浙江金华•阶段练习）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下

列各问题：

⑴从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是

⑵从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是

⑶从中取出除0以外的其他4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除或乘方等混合运算，使运算结果

为24（注：每个数字只能用一次，请写出两种符合要求的运算式子：

34.（22-23七年级上•江苏扬州•期中）有一种"24"点游戏，其游戏规则是：任取一副扑克牌，我们约定A为

1,并规定方块、红桃牌为正，黑桃、梅花牌为负.任取4张牌（可使用括号）.每个数用且只用一次，使

其结果等于24.

如：抽出4张牌黑桃4、梅花2、方块4、红桃3,可做运算：（-4）+（―2）X4X3=24.

⑴若抽出黑桃3,梅花1,方块5,红桃3,请写出1种算式，并写出计算过程，验证结果为24；

（2）若抽出黑桃3、梅花K、方块8、红桃°,请写出2种不同的算式，并写出计算过程，验证结果为24；

⑶若抽出黑桃4、梅花7、方块2、红桃3,请设计1种含"乘方”的混合运算的算式，并写出计算过程，验

证结果为24.

35.（23-24六年级上•山东淄博・期中）"24点”游戏规则如下：从一副扑克牌（去掉大、小王）中，任意抽取

4张，根据牌面上的数字进行加减乘除四则混合运算（每张牌只能用…次），使得运算结果为24,其中红色

扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J,Q,K分别代表11,12,13.

例如，抽到一组牌：35—6,7,要使运算结果为24,则可列式为：3x[7—（―6+5）]=24；

⑴甲同学抽到一组牌：3,12,-要使运算结果为24,则可以列式为：.

（2）乙同学抽到一组牌：7,3,-3,7,要使运算结果为24,则可以列式为：.

⑶丙同学抽到一组牌：7,3,-7,-3,要使运算结果为24,则可以列式为：.

36.（23-24七年级上•河北唐山•期中）现有四个数"-8,-2,1,3",按要求解答下列各题：

⑴列式求这四个数的和：

⑵在这四个数中选出两个数，按下列要求列出算式并计算：

①两数差的结果最小：

②两数积的结果最大：

⑶请在口内填上+,X,+中的某一个，使等式一8口（1口3）=-2成立.

题型九幻方

37.（23-24七年级上•浙江温州•期中）"幻方"最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三

角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现将-4,-2,-1,2,3,4,6,

7填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则（d-C+6）。的值为.

38.（23-24七年级上•河北石家庄•阶段练习）若在一个3X3的方格中填写9个不同的数字，使得每一横行、

每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和（该和叫做"幻和"）均相等，则称这个3x3的方格为"幻方

⑴图1是一个"幻方"，贝必=,b=,c=,并请计算出图1中所有数的和与其"幻和"之

间的倍数关系.

（2）珍珍要将—14,-12,-10,-8,-6,-4,-2,0,2这9个数填入如图2所示的"幻方"中，每个方格

中填入一个不同的数，并且使每一横行、每一竖列及两条斜对角线上的三个数字之和均相等，珍珍经过研

究，发现在“幻方"中，中间数相是上述9个数的平均数.

①求中间数机的值；

②请你帮珍珍计算出如图2所示"幻方"中的"幻和"，并在空白方格内填上正确的数字.

39.（20-21七年级上•山西太原,阶段练习）阅读与探究

请阅读下列材料，井解答相应的问题：幻方：将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角

线上的数字之和都相等，则具有这种性质的数字方阵为“幻方"，中国古代称"幻方"为"河图"、"洛书"等.

例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9填入到3X3的方格中得到的，其每行、

每列、每条对角线上的三个数之和相等.

（1）幻方最中间的数字应等于

（2）请将构造的幻方填写在下面3X3的方格中.

——•B

1.(22-23七年级上•全国•期末)计算

(1)(-+---+—)+-

''1124812/\2477

2

(2)-12022-(1-0.5)X|X[2-(-3)]

2.(21-22七年级上•天津和平•期中)计算：

⑴(一31)—(—2.4)+(-0-(+4|)

⑵[号+(-9]+[1+(1)x(一|)]

32(一球)+(一2)21

(3)(-1)4+0.4x

,3.

⑷(2|+3演2|一3||)+(2|-3()]+(3>2|)

3.(21-22八年级上•江西上饶•期末)(1)计算：,+]+金+|;

3$3$343

(2)计算：47+4+-+4+4+4+-；

3103103433323

(3)计算：4+-+4+4+4+--

3n3433323

4.(22-23七年级上•河南开封•开学考试)怎样简便怎样算

(1)2021x20222022-2022x20212021；

(2)W+2/3/%+5或+6高

..2015+2016X2014

''2016X2015-1

(4)f—-—+—-—+—)X121212

\2030425672/131313

5.(23-24七年级上•陕西西安•阶段练习)计算

(1)-25-3+(-16)-(-12)

⑵£+(T°)x(T+(谭)

(3)(-22+3)+(-1)4-(-4)x5

(4)|+(-4)X(-0.25)+卜看|+(一|)

6.(22-23七年级上•云南红河・期末)计算：

⑴G+W)x(-60)；

(2)—12022_2x(-3)3+(_1).

7.(22-23七年级•全国•假期作业)简便计算

7Q

(1)(-3.85)x(-13)+(-13)x(-6.15)+0.79x^+—x0.79

⑵(一叫)x|+(-6|)x抖(一端)+5+76*

8.(21-22七年级上•重庆潼南・期末)计算：

⑴-42-56+2?x(-巳)-1

9.(22-23七年级上•云南昆明•期中)计算：

(1)23-17-(-7)+(-16)

(2)(|+A9x(—18)

(3)简便方法计算:999gx(-5)

⑷—12020+2X(―|)2+(―[)-(-11)

10.(23-24七年级上•重庆沙坪坝•阶段练习)计算:

(1)16-42-(+27)-(-15)

(2)(-81)+(一2X：+(-8)

⑶3升(-5.75)+2卜(-3|)

(4)3X2葛一4x(—2勺+(-20)X

(5)(—3)X||—2|+(―4)3+(—6)—(―2)2

(6)—32X/+卜243+(―3)3--1)]X|

11.(22-23七年级上•陕西西安・期中)计算：

(1)—14—(—7)+8—23

(2)4亍-(-2.25)+(—5：)

⑶(T+A3)X24

⑷一13+[(-5)2—(17-32)]

(5)-3+[-16+(1-0.5x3+(-0.7)]

(6)-32-[-5+25Xy+(-6)2]

12.（22-23七年级上•湖北宜昌•期中）现有5张卡片写着不同的数字，利用所学过的加、减、乘、除、乘

方运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数字只能用一次）.

⑴从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的和最小，则和的最小值为

（2）从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字的差最大，则差的最大值为

⑶从中取出2张卡片,使这2张卡片上数字相除的商最大，则商的最大值为.

⑷从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最大，乘积的最大值为

⑸从中取出4张卡片,使这4张卡片上的数字运算结果为24.写出两个不同的等去，分别为

13.（22-23七年级上,江苏扬州•阶段练习）计算

⑴一(—7)—(—5)+(—4)；