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文档简介
甘肃肃兰州市第五十一中学2025届高三冲刺高考最后1卷数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.是平面上的一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的()A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心2.函数在的图象大致为()A. B.C. D.3.设,,,则()A. B. C. D.4.如图,将两个全等等腰直角三角形拼成一个平行四边形,将平行四边形沿对角线折起,使平面平面,则直线与所成角余弦值为()A. B. C. D.5.已知方程表示的曲线为的图象,对于函数有如下结论:①在上单调递减;②函数至少存在一个零点;③的最大值为;④若函数和图象关于原点对称,则由方程所确定;则正确命题序号为()A.①③ B.②③ C.①④ D.②④6.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.7.由曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为()A.1 B. C. D.8.若复数(为虚数单位),则()A. B. C. D.9.已知的值域为,当正数a,b满足时,则的最小值为()A. B.5 C. D.910.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.11.在中,“”是“为钝角三角形”的()A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件12.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.记等差数列和的前项和分别为和,若,则______.14.若,则_________.15.已知非零向量,满足,且,则与的夹角为____________.16.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的面积为,且.(1)求角的大小及长的最小值;(2)设为的中点,且,的平分线交于点,求线段的长.18.(12分)已知(1)若,且函数在区间上单调递增,求实数a的范围;(2)若函数有两个极值点,且存在满足,令函数,试判断零点的个数并证明.19.(12分)已知函数,,使得对任意两个不等的正实数,都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有两个实根,且,求证:.20.(12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为.若直线交曲线于,两点,求线段的长.21.(12分)在中,内角的对边分别为,且(1)求;(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.22.(10分)已知椭圆的离心率为,椭圆C的长轴长为4.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线与椭圆C交于两点,是否存在实数k使得以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
解出,计算并化简可得出结论.【详解】λ(),∴,∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.故选B.本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用,根据条件中的角计算是关键.2.C【解析】
先根据函数奇偶性排除B,再根据函数极值排除A;结合特殊值即可排除D,即可得解.【详解】函数,则,所以为奇函数,排除B选项;当时,,所以排除A选项;当时,,排除D选项;综上可知,C为正确选项,故选:C.本题考查根据函数解析式判断函数图像,注意奇偶性、单调性、极值与特殊值的使用,属于基础题.3.A【解析】
先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,再由中间值1可得三者的大小关系.【详解】,,,因此,故选:A.本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.4.C【解析】
利用建系,假设长度,表示向量与,利用向量的夹角公式,可得结果.【详解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作轴//,建立空间直角坐标系如图设,所以则所以所以故选:C本题考查异面直线所成成角的余弦值,一般采用这两种方法:(1)将两条异面直线作辅助线放到同一个平面,然后利用解三角形知识求解;(2)建系,利用空间向量,属基础题.5.C【解析】
分四类情况进行讨论,然后画出相对应的图象,由图象可以判断所给命题的真假性.【详解】(1)当时,,此时不存在图象;(2)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(3)当时,,此时为实轴为轴的双曲线一部分;(4)当时,,此时为圆心在原点,半径为1的圆的一部分;画出的图象,由图象可得:对于①,在上单调递减,所以①正确;对于②,函数与的图象没有交点,即没有零点,所以②错误;对于③,由函数图象的对称性可知③错误;对于④,函数和图象关于原点对称,则中用代替,用代替,可得,所以④正确.故选:C本题主要考查了双曲线的简单几何性质,函数的图象与性质,函数的零点概念,考查了数形结合的数学思想.6.C【解析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.7.B【解析】
首先求得两曲线的交点坐标,据此可确定积分区间,然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程:可得:,,结合定积分的几何意义可知曲线y=x2与曲线y2=x所围成的平面图形的面积为:.本题选择B选项.本题主要考查定积分的概念与计算,属于中等题.8.B【解析】
根据复数的除法法则计算,由共轭复数的概念写出.【详解】,,故选:B本题主要考查了复数的除法计算,共轭复数的概念,属于容易题.9.A【解析】
利用的值域为,求出m,再变形,利用1的代换,即可求出的最小值.【详解】解:∵的值域为,∴,∴,∴,当且仅当时取等号,∴的最小值为.故选:A.本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.10.C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.11.C【解析】分析:从两个方向去判断,先看能推出三角形的形状是锐角三角形,而非钝角三角形,从而得到充分性不成立,再看当三角形是钝角三角形时,也推不出成立,从而必要性也不满足,从而选出正确的结果.详解:由题意可得,在中,因为,所以,因为,所以,,结合三角形内角的条件,故A,B同为锐角,因为,所以,即,所以,因此,所以是锐角三角形,不是钝角三角形,所以充分性不满足,反之,若是钝角三角形,也推不出“,故必要性不成立,所以为既不充分也不必要条件,故选D.点睛:该题考查的是有关充分必要条件的判断问题,在解题的过程中,需要用到不等式的等价转化,余弦的和角公式,诱导公式等,需要明确对应此类问题的解题步骤,以及三角形形状对应的特征.12.D【解析】
化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
结合等差数列的前项和公式,可得,求解即可.【详解】由题意,,,因为,所以.故答案为:.本题考查了等差数列的前项和公式及等差中项的应用,考查了学生的计算求解能力,属于基础题.14.【解析】
因为,所以.因为,所以,又,所以,所以..15.(或写成)【解析】
设与的夹角为,通过,可得,化简整理可求出,从而得到答案.【详解】设与的夹角为可得,故,将代入可得得到,于是与的夹角为.故答案为:.本题主要考查向量的数量积运算,向量垂直转化为数量积为0是解决本题的关键,意在考查学生的转化能力,分析能力及计算能力.16.【解析】
先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2).【解析】
(1)根据面积公式和数量积性质求角及最大边;(2)根据的长度求出,再根据面积比值求,从而求出.【详解】(1)在中,由,得,由,得,所以,所以,,因为在中,,所以,因为(当且仅当时取等),所以长的最小值为;(2)在三角形中,因为为中线,所以,,所以,因为,所以,所以,由(1)知,所以,或,,所以,因为为角平分线,,,或2,所以,或,所以.本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,余弦定理解三角形及三角形面积公式的应用,属于中档题.18.(1)(2)函数有两个零点和【解析】试题分析:(1)求导后根据函数在区间单调递增,导函数大于或等于0(2)先判断为一个零点,然后再求导,根据,化简求得另一个零点。解析:(1)当时,,因为函数在上单调递增,所以当时,恒成立.[来源:Z&X&X&K]函数的对称轴为.①,即时,,即,解之得,解集为空集;②,即时,即,解之得,所以③,即时,即,解之得,所以综上所述,当函数在区间上单调递增.(2)∵有两个极值点,∴是方程的两个根,且函数在区间和上单调递增,在上单调递减.∵∴函数也是在区间和上单调递增,在上单调递减∵,∴是函数的一个零点.由题意知:∵,∴,∴∴,∴又=∵是方程的两个根,∴,,∴∵函数图像连续,且在区间上单调递增,在上单调递减,在上单调递增∴当时,,当时,当时,∴函数有两个零点和.19.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题意,在上单调递减,求导得,分类讨论的单调性,结合题意,得出的解析式;(2)由为方程的两个实根,得出,,两式相减,分别算出和,利用换元法令和构造函数,根据导数研究单调性,求出,即可证出结论.【详解】(1)根据题意,对任意两个不等的正实数,都有恒成立.则在上单调递减,因为,当时,在内单调递减.,当时,由,有,此时,当时,单调递减,当时,单调递增,综上,,所以.(2)由为方程的两个实根,得,两式相减,可得,因此,令,由,得,则,构造函数.则,所以函数在上单调递增,故,即,可知,故,命题得证.本题考查利用导数研究函数的单调性求函数的解析式、以及利用构造函数法证明不等式,考查转化思想、解题分析能力和计算能力.20.【解析】
由,化简得,由,所以直线的直角坐标方程为,因为曲线的参数方程为,整理得,直线的方程与曲线的方程联立,,整理得,设,则,根据弦长公式求解即可.【详解】由,化简得,又因为,所以直线的直角坐标方程为,因为曲线的参数方程为,消去,整理得,将直线的方程与曲线的方程联立,,消去,整理得,设,则,所以,将,代入上式,整理得.本题考查参数方程,极坐标方程的应用,结合弦长公式的运用,属于中档题.21.(1)(2)【解析】
(1)利用二倍角公式及三角形内角和定理,将化简为,求出的值,结合,求出A的值;(2)写出三角形的面积公式,由其最大值为求出.由余弦定理,结合,,求出的范围,注意.进而求出周长的范围.【详解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由题意知,又,,又周长的取值范围是本题考查了二倍角余弦公式,三角形面积公式,余弦定理的应用,求三角形的周长的范围问题.属于中档题.22.(1);(2)存在,当时,以线段为直径的圆恰好经过坐标原点O.【解析】
(1)设椭圆的焦半距为,利用离心率为,椭圆的长轴长为1.列出方程组求解,推出,即可得到椭圆的方程.(2)存在实数使得以线段为直
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