湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高一上学期开学考试数学试题

2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了7nm的光刻机难题，其中1nm=0.000000001m，则7A.0.7×108m B.7×10-83.已知a、b为两个连续的整数，且a<13<bA.6 B.7 C.8 D.94.若(x+y)2A.2xy B.-2xy C.45.对于下列说法，正确的是(

)A.过一点有且只有一条直线与已知直线平行

B.不相交的两条直线叫做平行线

C.相等的角是对顶角

D.将一根木条固定在墙上，只需打两个钉子就可以，这种做法的依据是“两点确定一条直线”6.随机调查了某校七年级40名同学近4个月内每人阅读课外书的数量，数据如表所示，则阅读课外书数量的中位数和众数分别是(

)人数891310课外书数量(本)67912A.8本，9本 B.9本，12本 C.13本，13本 D.9本，9本7.下列命题中，逆命题是假命题的是(

)A.两直线平行，内错角相等

B.直角三角形的两个锐角互余

C.关于某个点成中心对称的两个三角形全等

D.线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等8.如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠ACD=22.5°，CD=4，则A.2

B.22

C.4

9.38.已知多项式，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是3.则a+bA.1 B.-1 C.3 D.10.某天，某同学早上8点坐车从余姚图书馆出发去宁波大学，汽车离开余姚图书馆的距离S(千米)与所用时间t(分)之间的函数关系如图所示．已知汽车在途中停车加油一次，则下列描述不正确的是(

)A.汽车在途中加油用了10分钟

B.若OA//BC，则加满油以后的速度为80千米/小时

C.若汽车加油后的速度是90千米/小时，则a=25

D.该同学8二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.若四边形的四个内角的比是3：4：5：6，则最小的内角是______12.约分：-21x9x13.小明的书包里只放了A4大小的试卷共5张，其中语文3张，数学2张．若随机地从书包中抽出2张，抽出的试卷恰好都是数学试卷的概率是______．14.如图，圣诞帽的主视图是正三角形，把帽子压平整，成双层扇形摆放在桌子上(不考虑帽子的厚度).则这个扇形的圆心角度数为______°.15.已知AB为⊙O的直径，AB=2，延长AB至点C，使得BC=1，CD为圆的切线，D为切点，则△ABD的面积是16.小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是：

，怎么办呢？小明想了一想，便翻看书后答案，此方程的解是，很快补好了这个常数，并迅速地完成了作业，你们能补出这个常数吗?它应是

．三、计算题：本大题共2小题，共12分。17.求不等式组：x-3(x18.解方程组：9x+4y四、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题6分)

《九章算术》是中国古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种，成于公元一世纪左右．在其“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”意思是说：如图，矩形城池ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD.EG=15里，HG经过点A，则FH等于多少里？

20.(本小题10分)

如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．

(1)求证：DF是⊙O的切线；

(2)若DB平分∠ADC，AB=a，AD：DE=421.(本小题8分)

为宣传节约用水，小明随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如图统计图．

(1)小明一共调查了多少户家庭？

(2)求5月份所调查家庭的平均用水量；

(3)若该小区有400户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．22.(本小题8分)

如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.点E在边BC上，且23.(本小题9分)

今年11月1日7日在江北嘴举行了第二届花博会，吸引了众多游客．王某看准了商机，在销售区租了一个摊位，主要卖干花和鲜花植物．部分品种，干花和鲜花的成本价分别是每束6元，每盆10元．

(1)已知一盆鲜花的售价是一束干花价格的1.5倍．第一天就卖了150束干花，200盆鲜花，共获利1600元．求一束干花的售价是多少元．

(2)花博会最后一天，王某发现还有100束干花和240盆鲜花，决定干花的售价提高2a%销售，很快全部售完．鲜花降价43a%卖了14a盆，剩下的每盆11元全部卖出，当天的利润为24.(本小题9分)

已知：△ABC是任意三角形．

(1)如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、CA的中点，求证：∠MPN=∠A．

(2)如图2所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB=13，ANAC=13，点P1、P2是边BC的三等分点，你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A是否正确？请说明你的理由．

(3)如图3所示，点M、N分别在边AB、AC上，且AMAB25.(本小题10分)

如图，抛物线y=ax2+bx+3(a,b是常数，且a≠0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.并且A，B两点的坐标分别是A(1,0)，B(-3,0)，抛物线顶点为D．

(1)①求出抛物线的解析式；

②顶点D的坐标为______；

③直线BD的解析式为______；

(2)若E为线段BD上的一个动点，其横坐标为m，过点E作EF⊥x轴于点F，求当m为何值时，四边形EFOC的面积最大？

(3)若点

2024-2025学年高一（上）入学考试数学试卷参考答案1.C

2.D

3.B

4.C

5.D

6.D

7.C

8.B

9.A

10.C

11.60°

12.-713.11014.90

15.316.3

17.解：x-3(x-2)≤4①x-1<1+2x3②，

由①得：x18.9x+4y=14①3x-2y=8②，

②×2得：6x-4y=16③，

③+①得：15x=30，

解得：x=2，19.解：∵四边形ABCD是矩形，EG⊥AB，FH⊥AD，

∴∠HFA=∠DAB=∠AEG=90°，

∴FA//EG．

∴∠HAF=∠G．

∴△HFA∽△20.解：(1)证明：连接OD．

∵OD=CD，

∴∠ODC=∠OCD．

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠EDC=90°．

∵点F为CE的中点，

∴DF=CF．

∴∠FDC=∠FCD．

∴∠FDO=∠FCO．

又∵AC⊥CE，

∴∠FDO=∠FCO=90°．

∴DF是⊙O的切线；

(2)①由DB平分∠ADC，AC为⊙O的直径，证明△ABC是等腰直角三角形；

②由AB=a，求出AC的长度为2a；

③由∠ACE=∠ADC=90°，∠CAE是公共角，证明△ACD∽△AEC，得到AC2=AD⋅AE；

④设DE为x，由AD：DE=4：1，求出DE=22a.

解：∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB=∠CDB，

∴∠BAC=∠BCA，

∴AB=21.解：(1)1+1+3+6+4+2+2+1=20(户)．

答：小明一共调查了20户家庭；

(2)(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20

=90÷20

=4.5(吨)．

答：5月份所调查家庭的平均用水量是4.5吨；

(3)400×4.5=1800(吨)．

答：估计这个小区5月份的用水量为1800吨．

22.证明：∵ED=EB，

∴∠BDE=∠B，

∴∠CED=∠BDE+∠B=2∠B，

又∵∠A=2∠B

∴∠A=∠CED，

∵CD平分∠ACB交AB于点23.解：(1)设一束干花的售价是x元，则一盆鲜花的售价是1.5x元，

根据题意，得150(x-6)+200(1.5x-10)=1600．

解得x=10．

答：一束干花的售价是10元；

(2)由(1)知，一束干花的售价是10元，则一盆鲜花的售价是1.5×10=15(元)．

根据题意，得100×10(1+2a%)+14a×15(1-43a%)+11(240-14a)-(100×6+240×10)=1150．

24.(1)证明：如图1中，

∵AM=BM，CP=PB，

∴PM/​/AC，

∵AN=NC，CP=BP，

∴PN/​/AB，

∴四边形AMPN是平行四边形，

∴∠MPN=∠A．

(2)解：结论正确．

理由：连接MN．

∵AMAB=ANAC，

∴MN/​/BC，同法可证：NP1//AB，MP2//AC，

∴MNBC=AMAB=25.解：(1)①把A(1,0)，B(-3,0)代入y=ax2+bx+3，

得a+b+3=09a-3b+3=0，解得a=-1b=-2,

∴y=-x2-2x+3；

②∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，

∴D的坐标为(-1,4)，

故答案为：(-1,4)；

③设直线BD的解析式为y=kx+b，

将点B、D的坐标代入得：

-3k+b=0-k+b=4，解得k=2b=6，

∴直线BD的表达式为y=2x+6，

故答案为：y=2x+6；

(2)如图所示：