换路定律和初始条件的计算 一阶动态电路的零输入

11.1

换路定律和初始条件的计算11.2

一阶动态电路的零输入响应11.3

一阶动态电路的零状态响应

11.4一阶电路的全响应及其分解

11.5

一阶电路的三要素法

11.6一阶电路的阶跃响应

11.7

一阶动态电路分析的应用

11.8小结

第11章一阶动态电路分析返回下一页上一页1电路分析第11章一阶动态电路分析返回下一页上一页教学提示：当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化，这个变化过程是暂时的，称为瞬态或过渡过程。本章就是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间的函数关系，主要是分析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一阶动态电路分析。211.1换路定律和初始条件的计算在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等，统称为换路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。一般情况下，换路的瞬间记为计时起点，即该时刻的，并把换路前的最后一瞬间记作、换路后的最初一瞬间记作。11.1.1换路

返回下一页上一页下一节上一节电路分析第11章一阶动态电路分析3在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值为有限时，其电流不能跃变，这一结论称为换路定律。11.1.2换路定律电路分析11.1换路定律和初始条件的计算

(11.1)电路中其余的各个电量均可发生跃变，例如，电容电流、电感电压、电阻的电压和电流、电流源的电压、电压源的电流等。4对于一阶电路，所谓的初始值(initialvalue)，就是在电路换路后的第一个瞬间，即时的电路中各电量的数值，初始值组成求解动态电路的初始条件。11.1.3初始值及其计算电路分析11.1换路定律和初始条件的计算电路中电压和电流的初始值分为两类

(2)另一类初始值是可以跃变的量，如电容电流、电感电压、电阻电流及电阻电压，它们要根据独立初始条件及电路的基本定律来求解。(1)电容电压和电感电流的初始值，在时刻求出、之后，根据换路定律、独立初始条件5简单电路的初始条件的求解，可以直接在原电路中进行，而对于含有多个动态元件电路初始条件的求解，若在原电路中求解则比较麻烦。11.1.3初始值及其计算电路分析11.1换路定律和初始条件的计算在求得(2)电感元件代以电流为的电流源，(1)将电路中的电容元件代以电压源之后建立了电路在的等效电路，它是一个纯电阻电路，6例11.1

解：在如图11.1(a)所示的电路中，时已稳定。在t=0时刻开关S合上，假设开关合上前电容电压为零。试求换路后各元件电流、电压的初始值。11.1.3初始值及其计算开关合上前电容电压为零(电容元件用短路代替)

作的等效电路图，如图11.1(b)所示。7例11.1

解：8例11.2

解：在如图11.2(a)所示的电路中电路原已稳定。在t=0时刻，开关S合上，求开关合上前，电路原已稳定，处于直流状态，电感相当于短路、电容相当于开路，t=0_时等效电路如图11.2(b)所示。，

+-9例11.2

根据换路定律可得，

的等效电路图，如图11.2(c)所示，将电感和电容分别看作电流源和电压源1011.2

一阶动态电路的零输入响应如果在换路瞬间动态元件原来就储存有能量，根据换路定律可知，即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电流、电压.动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入响应(zero-inputresponse)。。11.2.1零输入响应返回下一页上一页电路分析第11章一阶动态电路分析11只含一个动态元件的线性时不变电路,这种电路是用常系数微分方程来描述的称为一阶电路uc(t)iC-+-+Ruoc(t)uRo

(t)uciC-+-+R含源电阻网络iN1N2iSC(t)i(t)uC(t)-+GOC电路分析第11章一阶动态电路分析12电路在无输入激励情况下，由储能元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。RC电路的零输入响应+iCuC--+uRRU0S(t=0)1、定量分析电路分析11.2一阶动态电路的零输入响应11.2.2RC电路的零输入响应13齐次方程通解为:特征方程为:特征根为:

根据初始值求得i0uC

,iuC2、结果分析uR、uC、i按同一指数规律变化，最后趋于零。11.2.2RC电路的零输入响应143、时间常数

1）定义：

=RC

单位：s2）

的大小决定了电路响应变化的快慢，

小，衰减快；

大，衰减慢。3）放电过程中的衰减情况3—5认为过渡过程结束。i0uC

,iuC11.2.2RC电路的零输入响应15例11.3

解：如图11.6(a)所示电路原已处于稳态。在t=0时刻开关S由位置1接至位置2，电容C通过电阻放电。11.2.2RC电路的零输入响应换路前RC电路处于稳态，根据电容在直流电路中相当于开路的特点可知，电容上的电压与电源电压相同，如图11.6(b)所示。试求：(1)换路后的；(2)放电到0.05s时的电容电压。++根据换路定律，电容电压不能跃变，即16例11.3

换路之后的电路如图11.6(c)，电路的时间常数为。+放电到0.05s时，电容的电压为17如图11.7(a)所示电路中开关S原来闭合，电路已处于稳定状态，电感中流过的电流为。当t=0时，开关S断开，如图11.7(b)所示。

这时电感L将通过电阻R释放换路前储存的能量，在电路中将产生电流和电压。该电路中产生的响应是由电感L的初始储能产生的，因此也是零输入响应。电路分析11.2一阶动态电路的零输入响应11.2.3RL电路的零输入响应181、定量分析解得：0uRiuL11.2.3RL电路的零输入响应192、结果分析电感储能：与RC电路基本相同，唯一不同点是时间常数

。RC电路中，

=RC，

RC；RL电路中，，

L，反比于R。3、能量关系电阻耗能:电感的初始储能，在过渡过程中，全部被电阻吸收而转换成热能。11.2.3RL电路的零输入响应20例11.4：电路如图。已知U0=35V，R=0.2

，L=0.4H，RV=5k,

量程为100V。t=0开关S断开后求(1)换路后电路的时间常数；（2）(3)开关断开瞬间，电压表两端的电压。解:S-URuV+-LRV+iV

(1)电路的时间常数为

(2)开关断开前，电路原已稳定，电感相当于短路，此时电感上的电流为2111.3一阶动态电路的零状态响应动态电路中所有动态元件的

均为零的情况，称零状态。零状态的动态电路在外施激励作用下的响应，称为零状态响应(zero-stateresponse)。11.3.1零状态响应返回下一页上一页电路分析第11章一阶动态电路分析222、数学分析1、物理分析11.3一阶动态电路的零状态响应11.3.2RC电路的零状态响应023根据初始值定K，K=-US非齐次微分方程的解为：—非齐次微分方程的特解—齐次微分方程的通解电路达到稳态后的电容电压值为非齐次方程的特解。uR+uC-iC+-RS(t=0)+-uS设11.3.2RC电路的零状态响应243、结果分析结论：零状态响应由稳态分量和暂态分量组成为强制分量，也称稳态分量为自由分量，也称暂态分量0US-US11.3.2RC电路的零状态响应253、结果分析电容充电过程中，电容电压由零按照指数规律逐渐增加，最终趋近于外加电源电压US。电路中的电流则开始充电时最大，为US/R，然后逐渐减小，最终减小到零，电阻上的电压则与变化规律相反。电容充电结束后，电路达到新的稳态，相当于直流电路中的电容元件，即，电容储存的磁场能量为。11.3.2RC电路的零状态响应26例11.5

解：如图11.10所示电路中，已知11.3.2RC电路的零状态响应(1)电路的时间常数为电容的初始电压为零。当t=0时合上开关S，试求：(1)电路的时间常数；(2)电容上电压和电流；(3)开关合上后时的电压和电流值。(2)27例11.5

解：11.3.2RC电路的零状态响应(3)开关合上后时的电压和电流值。(3)28例11.6

解：电路如图11.10所示，设，电容初始电压为零。外加电源如图11.12(a)所示。试求换路后电容上的电压和电流。11.3.2RC电路的零状态响应t在0～2s时电容相当于从零开始被充电(并未充电到10V)；t>2s时，Us=0，此时外施激励为零，而电容却储存有电能，相当于RC电路的零输入响应。根据RC电路的零状态响应公式得

29例11.6

解：根据RC电路的零输入响应公式得电容开始放电，需计算出t=2s时电容的电压，即求出负号说明电流方向与参考方向相反302、数学分析1、物理分析11.3一阶动态电路的零状态响应11.3.3RL电路的零状态响应031RL电路的零状态响应解得：0-—强制分量(稳态分量)—自由分量(暂态分量)3、结果分析324、波形分析电感电流由零按照指数规律逐渐增大，最终接近于稳定值。电感电压开始时最大，为电源电压，然后逐渐减小，最终衰减到零，电阻电压变化则与电感电压变化规律相反。电路达到新的稳态后，电感相当于短路，其储存的能量为RL电路的零状态响应3311.4一阶电路的全响应及其分解

初始值为非零状态的电路在独立源作用下的响应称全响应(completeresponse)。11.4.1全响应返回下一页上一页电路分析第11章一阶动态电路分析全响应=零输入响应+零状态响应34为了求得电容电压的全响应，以uC(t)为变量，列出电路的微分方程11.4.1RC电路全响应iCRt=0

+Us-

+uC(0-)=U0-35其解为

代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得

求得

则：11.4.1RC电路全响应全响应=暂态响应+稳态响应36全响应=稳态响应+暂态响应

11.4.2全响应的两种分解全响应=强制分量+自由分量

1、全响应分解为稳态响应与暂态响应之和

37也就是说电路的完全响应等于零输入响应与零状态响应之和。这是线性动态电路的一个基本性质，是响应可以叠加的一种体现。式可改写为全响应=零输入响应+零状态响应11.4.2全响应的两种分解1、全响应分解为零输入响应和零状态响应之和

38*电路中其它响应也是两种响应的叠加。

*波形uCtuCuCtuCU0USU0US零状态响应零输入响应零状态响应零输入响应11.4.2全响应的两种分解39按照相同的方法来分析RL电路的全响应，在图11.13所示电路中，设电感，

2、RL电路全响应40则：

2、RL电路全响应全响应=稳态响应+暂态响应

4111.5一阶电路的三要素法

一阶电路的全响应等于稳态响应和暂态响应之和，且暂态响应总为，即一阶电路的全响应电路分析第11章一阶动态电路分析全响应=稳态响应+暂态响应同一个一阶电路中各响应的时间常数τ都是相同的。含电阻和电容的电路，时间常数；含电阻和电感的电路，时间常数，是换路后从C或L看过去的戴维南等效电路的等效电阻。42*三要素：稳态值（特解）、初始值、时间常数。已知三要素，响应即可求得。*三要素法不仅适应全响应，也适用于零输入响应和零状态响应。所以一般形式t=0若激励为交流电源11.5一阶电路的三要素法

43在直流输入的情况下，t

时，fh(t)

0，fp(t)为常数，则有因而得到

f(0+)——响应的初始值f(

)——响应的终值，

——时间常数

=RC,=L/R三要素：11.5一阶电路的三要素法

44（1）

直流激励；（2）一阶电路任一支路的电压或电流的（全）响应；（3）适合于求零输入响应和零状态响应。注意：11.5一阶电路的三要素法

4511.5一阶电路的三要素法

46三要素法求直流激励下响应的步骤：1.初始值f(0+)的计算（换路前电路已稳定）(2)由换路定则，确定电容电压或电感电流初始值，即uC(0+)=uC(0-)和iL(0+)=iL(0-)。(3)画0+图，求其它初始值——用数值为uC(0+)的电压源替代电容或用iL(0+)的电流源替代电感，得电阻电路再计算11.5一阶电路的三要素法

(1)画t=0-图，求初始状态：电容电压uC(0-)或电感电流iL(0-)。47根据t>0电路达到新的稳态，将电容用开路或电感用短路代替，得一个直流电阻电路，再从稳态图求稳态值f(

)。先计算与电容或电感连接的电阻单口网络的输出电阻Ro，然后用公式

=RoC

或

=L/Ro计算出时间常数。4，将f(0+),f(

)和

代入三要素公式得到响应的一般表达式。2，稳态值f(

)的计算(画终了图)3，时间常数

的计算(开关已动作)48例11.7：电路如图，求开关S闭合后的电流UC和i2。

解：AA11.5一阶电路的三要素法

1、求全响应的初始值开关闭合前电路已处于直流稳态，电容相当于开路，，根据换路定律需通过作出如图11.17(b)所示t=0+时的等效电路图来求i2(0+)，在t=0+的等效电路中，电容相当于一个的电压源，根据欧姆定律49例11.7：电路如图，求开关S闭合后的电流UC和i2。

解：

A(2)求稳态响应当t=

时的等效电路如图11.17(c)所示，此时电容相当于开路，其两端的电压就是电阻两端的电压，即(3)求时间常数。50例11.7：电路如图，求开关S闭合后的电流UC和i2。

解：

(4)根据三要素公式求uc(t)和i2。51[例

11.8]

电路如图

11.19(a)所示，已知直流电压源的电压US=6，电流源IS=2A，，，。电路原已稳定，试求换路后电感电流和电阻上的电压。

解：1、求全响应的初始值电路原直流稳态，电感相当于短路需通过作出如图11.18(b)所示t=0+时的等效电路图来求u(0+)，在t=0+的等效电路中，电感相当于一个电流源，，，

52

解：

(2)求稳态响应在直流稳态电路中，电感相当于短路(3)求时间常数。53例11.8

解：

(4)根据三要素公式求i(t)和u。54t01、单位阶跃函数1定义2、延迟单位阶跃函数t01t0阶跃函数可描述开关的动作，如图。CR+-u(t)1V11.6一阶电路的阶跃响应

11.6.1、阶跃函数55t03、单位阶跃函数的起始作用t0t0t011.6一阶电路的阶跃响应

56t04、用单位阶跃函数表示矩形脉冲t01t0t0t01-111.6一阶电路的阶跃响应

5711.6.2一阶电路的阶跃响应电路对单位阶跃函数输入的零状态响应称为电路的单位阶跃响应，用s(t)表示。iCuC-+S(t=0)-+uSR当电压源为直流电源US时，零状态响应为

当电压源为时，uCiC-+-+R阶跃响应为：11.6一阶电路的阶跃响应

58阶跃响应为：uciC-+-+R电压源为，

1t

1uC

0

2t0

阶跃响应为：11.6.2一阶电路的阶跃响应591:写出所加信号(由表示）例11.9电路如图11.22所示，已知iS(t)作用于电路，uC(0)=0，求：uC(t)

解2：求出一阶电路阶跃响应60例11.9电路如图11.22所示，已知iS(t)作用于电路，uC(0)=0，求：uC(t)

解3：利用1的表达式，依照比例性，时不变性和叠加定理写出相应输入下的零状态响应。叠加定理6111.7.1微分电路11.7一阶动态电路的应用

输出电压u2

的波形同电路的时间常数τ和脉冲宽tp的大小有关。6211.7.1微分电路

[例11.10]

在图11.24所示的电路中，R=20k，C=100pF输入信号u1为一矩形脉冲如图11.26所示，其幅值U=6V，脉冲宽度tp=50。试分析和作出输出电压u2的波形，设电容元件原先未储能