平面向量的数量积及其应用（八大题型）（讲义）（原卷版）-2025高考数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

第02讲平面向量的数量积及其应用

目录

01考情透视目标导航............................................................2

02知识导图思维引航............................................................3

03考点突破题型探究............................................................4

知识点1：平面向量的数量积*......................................................4

知识点2：数量积的运算律........................................................4

知识点3：数量积的性质..........................................................5

知识点4：数量积的坐标运算......................................................5

解题方法总结...................................................................6

题型一：平面向量的数量积运算....................................................7

题型二：平面向量的夹角问题......................................................8

题型三：平面向量的模长.........................................................9

题型四：平面向量的投影、投影向量................................................9

题型五：平面向量的垂直问题.....................................................11

题型六：建立坐标系解决向量问题”................................................11

题型七：平面向量的实际应用.....................................................13

题型八：向量回路恒等式.........................................................15

04真题练习命题洞见...........................................................16

05课本典例高考素材...........................................................17

06易错分析答题模板...........................................................18

易错点：对向量数量积的定义理解不深刻导致出错...................................18

答题模板：利用定义法计算平面图形的数量积.......................................19

1/19

考点要求考题统计考情分析

平面向量数量积的运算、化简、证明及数量

积的应用问题，如证明垂直、距离等是每年必考

2024年I卷第3题，5分的内容，单独命题时，一般以选择'填空形式出

2024年H卷第3题,5分现.交汇命题时，向量一般与解析几何、三角函

（1）平面向量的数量积

2023年I卷第3题，5分数、平面几何等相结合考查，而此时向量作为工

（2）平面向量数量积的

2023年II卷第13题，5分具出现.向量的应用是跨学科知识的一个交汇

几何意义

2023年甲卷（理）第4题，5分点，务必引起重视.

2022年H卷第4题，5分预测命题时考查平面向量数量积的几何意义

及坐标运算，同时与三角函数及解析几何相结合

的解答题也是热点.

复习目标：

（1）理解平面向量数量积的含义及其几何意义

（2）了解平面向量的数量积与投影向量的关系.

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算

（4）会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题

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一:平面向量数量积的定义已知两个计零向量7与认我们把数量同NesH叫做Z与方的数量枳（或内枳），

记作i石，即£石=|司司cosO,规定：零向量与仆-向量:的数盘枳为0.

平面向量的数量后）何以》。叫做向最方向上的投影数量,

「（向量的投影当。为锐角时，它是正数；

当。为钝角时，它是倒数；

/平面向量数量积的几何意义;一当。为直角时，它是0.

1（拼行的几何意义）—（数量积3万等的长度同与W而方向上射影向cose的乘枳.）

a-b=b-a

数量枳的运算律y--（（而防=入（3句=>•（坊.）

（a+b）-c=a-c+b-c

-He'a=a'e-\a\cosG）

平面向量的数量积及其应用当£与各同向时,31加=同同;

数量积的性质当Z与方反向时，a*F=-|a||d|.

ab一

皿8=1=^（同同工0）

回冏

已知非零向展方=（不，%），h=（x2,y2）,。为向量方、/>的夹角.

结论几何表示坐标表示

模|a|=y/a-a|5|=7^+/

数量枳a-b=|5||b\cosO方.6=&*2+乂月

⑺加三cos"-,斗'+兴?，

夹角

数量积的坐标运算1方也打+y：3；+*

方，力的充要条件a-h=0X卢2+凶必=°

a//b的充要条件a=Zb（bw。）£而一/凶=°

商而引方面的\a-b\<\a\\b\（当H仅

1工*12+九%|WWf-&+父

美系当方〃，时等号成立）

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■

\\

知识固本

知识点1:平面向量的数量积

（1）平面向量数量积的定义

已知两个非零向量@与我们把数量।列B|cose叫做。与B的数量积（或内积），记作无即

a-b=\a\\b\cosO,规定：零向量与任一向量的数量积为0.

（2）平面向量数量积的几何意义

①向量的投影：|Z|cos6叫做向量G在Z方向上的投影数量，当。为锐角时，它是正数；当。为钝角

时，它是负数；当。为直角时，它是0.

②>Z的几何意义：数量积Z•Z等于石的长度|可与君在日方向上射影12|cos6的乘积.

③设方，B是两个非零向量，它们的夹角是仇。与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD^b,过万

的起点/和终点3,分别作画所在直线的垂线，垂足分别为4,4，得到可瓦，我们称上述变换为向量3

向向量B投影，4瓦叫做向量G在向量B上的投影向量.记为micosdG.

【诊断自测】（2024•安徽安庆•三模）已知线段N5是圆。的一条长为4的弦，则而.冠=（）

A.4B.6C.8D.16

知识点2：数量积的运算律

已知向量％、b>之和实数人，贝ij：

@a-b=b-a；

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②（Aa）-b=A（a.6）=2.（劝）；

（3）（a+b）-c=a-c+b-c.

【诊断自测】（2024・四川雅安・模拟预测）在中，4B=4,AC=3,且您J_X，则

AB-JC=（）

A.16B.-16C.20D.-20

知识点3：数量积的性质

设2、君都是非零向量，》是与右方向相同的单位向量，。是方与"的夹角，则

@e-a=a-e^a\cos0.②Z_Lbu>Z・b=0.

③当石与Z同向时，H-6=|2||i|；当石与Z反向时，a-b=-\a\\b\.

特别地，大石=|石『或|2|=后至.

④cos。=a,（|a||60）.⑤|a|W|2|向.

\a\\b\

【诊断自测】（2024•西藏•模拟预测）已知向量0=[。5[°+]]冈11]0+1]；

g=kos[a+g],sin（a+g]广若（2a+3）_L（a+x3）,则实数x的值是（）

A.-2B.--C.vD.2

22

知识点4：数量积的坐标运算

已知非零向量Z=（不，必），b=（x2,j/2）,夕为向量2、Z的夹角.

结论几何表示坐标表示

模a\=y/a-a\a\=y/x2+y2

数量积

a-b=\a\\b\cos。a-b=x1x2+y1y2

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cos”,二+干

夹角cos3=2

♦0Jx；+y；小；+式

|2||6|

的充要

a-b=0x1x2+%%=0

条件

方〃Z的充要

a=4g（Zw。）xxy2-x2yx=0

条件

|a-Z）|<|a||Z）（当

旧工1与|占尤2+乂％氏

且仅当Z〃右时等号成

|Z||g|的关系旧+y；、x；+货

立）

【诊断自测】已知平面向量3=（1,百）石=（6,1）,且3，,-而），则实数2的值为（）

D.4

ATCT

解题方法总结

（1）B在a上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于o.

（2）数量积的运算要注意万=6时，万万=0,但万石=0时不能得至!J万=6或3=0,因为5时，

也有3-^=0.

（3）根据平面向量数量积的性质：©=&•5,cos0=,MJ_B=GZ=0等，所以平面向量

\a\\b\

数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.

（4）若a、b、c是实数，则仍=ac=>b=c（。。0）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量

a>b>?满足展B=（5^0）,则不一定有彼=?，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时

乘以一个向量.

（5）数量积运算不适合结合律，即。鼠（「己），这是由于（晨3）亮表示一个与3共线的向量，

3-（6-c）表示一个与a共线的向量，而商与5不一定共线，因此（万・己与万•（小,）不一定相等.

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题型一：平面向量的数量积运算

【典例1-1】设平面向量a=(1,3),|B|=2,_B.|a-b|=V10,则(21+B),仅-B)=()

A.1B.14C.714D.V10

【典例1-2】在RM4BC中，ZC=90°,45=4,AC=2,。为段BC的外心，则而.芯=()

A.5B.2C.-4D.-6

【方法技巧】

（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路.

（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量

数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛.

【变式1-1］（2024•高三・吉林四平・期末）已知向量。B满足同=2,向=6，且万与*的夹角为g

6

贝眼+孙（2力）=（）

A.6B.8C.10D.14

【变式1-2］已知同=6,问=3,向量方在B方向上投影向量是4&贝启.6为（）

A.12B.8C.-8D.2

【变式1-3］（2024•安徽芜湖・模拟预测）已知边长为1的正方形4BC。，点£,少分别是5C,CD的中

点，则石•丽=（）

31

C.D.

44

【变式1-4］（2024•陕西安康•模拟预测）菱形ZBCD的边长为2,/。/5=60°,以。为圆心作圆且与

AQAE

45相切于瓦。是。。与。。的交点，则

―►1—►

【变式1-5］（2024•浙江宁波•模拟预测）已知23c是边长为1的正三角形，AN%NC,P是BNL

—>—►2—►——

点且/尸=加45+§4。，则（）

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D.1

题型二：平面向量的夹角问题

【典例2-1】（2024•陕西安康•模拟预测）已知单位向量痴满足归-3*3,则cosRW=.

【典例2-2】（2024•陕西•二模）已知万=，5=（1,码，则向量获的夹角的余弦值为.

【方法技巧】

求夹角，用数量积，由-4=m，|cosg得cosg="的_=下上必进而求得

I«I^I7?可尸百

向量2,3的夹角.

【变式2-1］（2024•江西宜春•三模）已知］均为非零向量，若|2--司=历|=2㈤，则£与］的夹角

为—,

【变式2-2］已知。=（2,1）石=（冗-2）,左cR&与3的夹角为6.若。为钝角，则上的取值范围是—.

【变式2-3］（2024・高三・天津宁河・期末）已知单位向量［与■的夹角为则向量1+2易与2，-3£

的夹角为—.

【变式2-4］（2024•四川绵阳•模拟预测）平面向量）与不相互垂直，已知）=（6,-8）,出|=5,且不与

向量（1,0）的夹角是钝角，则很=—.

【变式2-5］（2024•四川绵阳•模拟预测）已知非零向量满足2同=网，且可，则漏的夹

角大小为.

【变式2-6］（2024・上海•模拟预测）已知向量心b，3满足向=何=1，同=收，且G+B+”。，

则cos（a-c,b-c\=_.

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题型三：平面向量的模长

【典例3-1］（2024•重庆•模拟预测）已知向量泊B满足同=1，问=3,a-b=（2,46）,贝版+小

【典例3-2］（2024•浙江温州•二模）平面向量瓦B满足3=（2,1）,a//b,d吊=-弧,则|可=_

【方法技巧】

求模长，用平方，|i|=4^-

【变式3-1］（2024•安徽池州•模拟预测）已知向量3=（4,-2）,不=（-2"）,且7与B共线，则

|35+2^|=

【变式3-2］（2024•江苏连云港•模拟预测）若向量成，弁满足同=1,同=2,且（而-万），而，则

I玩一同二（）

A.1B.V3C.V?D.2

【变式3-3］（2024•高三・上海奉贤•期中）已知平面向量刃的夹角为:，若忖=1担-牛M,则

同的值为.

题型四：平面向量的投影、投影向量

【典例4-1］（2024•福建泉州•模拟预测）在平面直角坐标系中，点尸在直线x+2y+l=0上.若向

量：=（1,2）,则历在々上的投影向量为（）

2

A.

H5

【典例4-2】（2024•新疆喀什・二模）在直角梯形中，AD//BC且BC=2AD,ABLAD,AC与BD

交于点。，则向量诙在向量加上的投影向量为（）

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1—2—►3—►

A.-BAB.—BAC.-BAD.-BA

2334

【方法技巧】

设方，B是两个非零向量，它们的夹角是仇巨与B是方向相同的单位向量，AB=a,CD=b,过万的

起点4和终点5,分别作函所在直线的垂线，垂足分别为4,片，得到丽，我们称上述变换为向量N向

向量B投影，丽叫做向量值在向量B上的投影向量.记为|,|cos偌.

【变式4-1］（2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测）已知向量2》满足同=2石=（3,0）,归-小丽，则向量

Z在向量B方向上的投影向量为（）

A.（I,。［'"J［I。］D.（tO）

【变式4-2］（2024•广东深圳•模拟预测）已知向量1=（3,-4）,5=（2,0）,贝！J）在石上的投影向量为

（）

A.（训B.（3,0）C.（2,0）D.（6,0）

【变式4-3］在三角形NBC中，若赤•就=0,数=253,则向量正在向量方上的投影向量

为.

【变式4-4】已知向量£与］的夹角为字向=百即设屋£在£上的投影向量为苏，则人（）

3113

A.——B.——C.vD.一

2222

【变式4-5】已知双曲线。：［-1=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为8,C,以8c为直径的圆与渐近线

ab

交与点/,连接N2与另一条渐近线交与点E,。为原点，OEHAC,且|/C|=2.若直在数上的投影向量

3UUT

为二BC,则万•瑟=（）

4

A.-4B.-26C.-2D.-V3

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题型五：平面向量的垂直问题

【典例5-1】（2024•西藏林芝•模拟预测）已知向量）=（X,3）,B=（2,X+5）,若3，（之-坂），贝!|x=（）

A.2或3B.-2或-3C.1或一6D.一1或6

【典例5-2】（2024•甘肃张掖•模拟预测）已知向量口B满足向1,且2,若

A.丸+4=0B.%+4=-1

C.A//=-1D.A/z=0

【方法技巧】

=0=XXX2+yxy2=0

【变式5-1］（2024•辽宁・模拟预测）若2,B是夹角为60°的两个单位向量，然+3与2万垂直，则

C.-1D.-2

【变式5-2］（2024•浙江绍兴•二模）已知晟是单位向量，且它们的夹角是60。，若£=21+［，

b=Ae1-e2,且〃_LB,则丸=（）

【变式5-3］（2024・重庆•模拟预测）已知|©=1,|3|=2,且5与B不共线，若向量万+癌与d-。互相

垂直，则实数左的值为（）

±—D.±2

一2

题型六：建立坐标系解决向量问题

【典例6-1］（2024•全国•模拟预测）已知在菱形ZBCQ中，AB=BD=6,若点〃在线段4。上运动,

则前•两的取值范围为—.

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【典例6-2］如图，已知正方形45cZ）的边长为3,且2元=3屉+刀，连接BE交。。于尸，则

【方法技巧］

边长为“的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形

平行四边形直角梯形等腰梯形圆

【变式6-1］（2024•高三•河南濮阳•开学考试）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作注时介

绍了“勾股圆方图“，即"赵爽弦图如图是某同学绘制的赵爽弦图，其中四边形/3C2EFGH均为正方形,

AD=AE=2,则丽.京=

—•—•1

【变式6-2］（2024・天津•二模）已知菱形/BCD边长为1,且/m40=-一,£为线段ND的中点，若

2

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—►—►5—►

厂在线段CE上，且BF=4R4+：BC,则丸=_____，点G为线段4C上的动点，过点G作8C的平行线交

6

边AB于点、M,过点M做3C的垂线交边BC于点N,贝I］（沅+痂）•痂的最小值为.

【变式6-3】窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意

蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓是边长为50cm的

正方形，它是由四个全等的直角三角形和一个边长为10cm的小正方形跖G”拼接而成，则

tanNHAB=___.

【变式6-4］如图，正八边形/BCDEFGH中，若次=X就+〃/（九〃eR）,则彳+〃的值为.

题型七：平面向量的实际应用

【典例7-1】（2024・高三・广东汕头・期末）设方表示向东走了10km,B表示向南走了5km,则N+2不

所表示的意义为（）

A.向东南走了1072kmB.向西南走了1072km

C.向东南走了5nkmD.向西南走了5遍km

【典例7-2］（2024•浙江温州•二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了

一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式：W=FS（其中少是功，下是力,X是位移）

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一物体在力耳=（2,4）和月=（-5,3）的作用下，由点/Q,0）移动到点3（2,4）,在这个过程中这两个力的合力

对物体所作的功等于（）

A.25B.5C.-5D.-25

【方法技巧】

用向量方法解决实际问题的步骤

把实际问题中的相关量用向量

―〔表示出来_______________

J转化为向量问题的模型.通过

1向量的运算使问题得以解决

?——►把结果还原为实际问题

【变式7-11一条东西方向的河流两岸平行，河宽250百m,河水的速度为向正东3km/h.一艘小货船

准备从河南岸码头尸处出发，航行到河对岸。（尸。与河的方向垂直）的正西方向并且与。相距250m的码

头M处卸货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为5km/h,则当小货船的航程最短时，小

货船航行速度的大小为（）

A.3V3km/hB.6km/hC.7km/hD.3V6km/h

【变式7-2］（2024•广东梅州•二模）如图，两根绳子把物体M吊在水平杆子48上.已知物体M的重力

大小为20牛，且//（W=150。，在下列角度中，当角6取哪个值时，绳。8承受的拉力最小.（）

【变式7-3］在水流速度10km/h的自西向东的河中，如果要使船以10石km/h的速度从河的南岸垂直到

达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（）

A.北偏西30。，20km/h

B.北偏西60°,lO0km/h

C.北偏东30。，10拒km/h

D.北偏东60°,20km/h

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【变式7-4】在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况（如图所示）.假设行李包所受

的重力为G,所受的两个拉力分别为耳，耳，且|耳|=|可，耳与耳的夹角为凡则以下结论不正确的是

（）

2**上

一1一

A.|片|的最小值为51Gl

B.e的范围为［0,兀］

C.当e=T时，国|=4@|

27T—►—

D.当6=7时，闾=©

题型八：向量回路恒等式

【典例8-1］如图，在平面四边形中，|力C|=3,|BD\=4,则（几+6"）.（/+益）=

【典例8-2］如图，在平面四边形ZBCD中，若时卜6,（方+灰）.（就+而）=11,则函=,

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【方法技巧】

向量回路恒等式：AB+CD=AD+CB

【变式8-1］如图，已知在四边形A8CD中，AC=li,BD=l2.贝！］（市+市）.（齐可+通）=

3

1.（2024年北京高考数学真题）设很是向量，贝是"U或1/的（）.

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024年新课标全国I卷数学真题）已知向量值=（0,1）石二（2户），若打@_哂,则工=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2024年新课标全国n卷数学真题）已知向量2》满足同=卡+2+2,且仅-23",则回=（

A.；B.—C.—D.1

222

4.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量5=（x+l,x）,B=（x,2）,则（）

A.“x=-3”是“力犷的必要条件B.