2025年高考数学总复习专项训练：抛物线

专练47抛物线

［基础强化］

一、选择题

1.抛物线的焦点到其准线的距离为()

A.1B.2

C.\D./

Zo

答案：B

解析：%2可化为f=4y,则焦点到准线的距离为:X4=2.

2.已知抛物线y2=2px(/?>0)的准线经过点(一1,1),则该抛物线的焦点坐标为()

A.(-1,0)B.(1,0)

C.(0,-1)D.(0,1)

答案：B

解析：•.,y2=2px的准线为x=—?,又准线过点(一1,1),?=—1,；.p=2,故其焦点坐标为(1,

3.动点M到点网2,1)的距离和到直线/：3x+4y—10=0的距离相等，则动点M的轨迹为()

A.抛物线B.直线C.线段D,射线

答案：B

解析：：网2,1)在直线/：3x+4y—10=0上，.•.动点〃的轨迹为过点B且与直线/垂直的直线.

4.若抛物线产=2内的焦点与双曲线与一步=1的右焦点重合，则p的值为()

A.-4B.4C.-2D.2

答案:B

解析：•.,写—/=1的右焦点为(2,0),.'.2=2,p=4.

5.设厂为抛物线C：产=叔的焦点，点A在C上，点8(3,0),若［4下|=|2月，则|43|=()

A.2B.2y/2

C.3D.3^2

答案：B

解析：由已知条件，易知抛物线丁=4%的焦点为F(l,0),准线方程为x=-1.又2(3,0),则|4/|=|3/|

=2.不妨设点A在第一象限，则A(xo,2y).根据抛物线的定义可知沏一(一1)=2,所以刈=1,所以4(1,

2),所以|A8|=d(1—3)2+(2—0)2=2^2.故选B.

6.若抛物线丫2=22沏>0)的焦点是椭圆点=1的一个焦点，则p=()

A.2B.3C.4D.8

答案：D

解析：由题意，知抛物线的焦点坐标为0),椭圆的焦点坐标为(师，0),所以g=石，解得

p=8,故选D.

7.

如图，过抛物线产=2力9>0)的焦点厂的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|3C|=2|3F|,&\AF\

=4,则抛物线的方程为()

A.y2=SxB.y2=4x

C.y2=2xD.^=x

答案:B

解析：

如图，分别过点A,5作准线的垂线，交准线于点E,D,设准线与1轴交于点G,设尸|=〃，则由已

知得|BC|=2Q,由定义得|四|=〃，故N5CD=30。，在RtA^ACE中，

V|AF|=4,\AC\=4+3a9

4FGCFn4

.*.2|AE|=|AC|,.*.4+3a=8从而得,\9AE//FG,AyF=~AT，即q=d，得p=2.・••抛物线

93A?AC4o

方程为:/=4无.故选B.

8.设坐标原点为0,抛物线＞2=2、与过焦点的直线交于A,8两点，则应OB等于（）

33

A.4B.-4C.3D.—3

答案：B

解析：当AB与x轴垂直时，AQ，1)，

T),OAOB+1X(—1)=—^；

当AB与x轴不垂直时，

设i：产GO,

由＜尸伞一2，得&2_(3+2)x+与=0

y=2x,

设A(xi,yi)95a2,yi)

必+21

由韦达定理得Xl+%2=於,%1X2=W，

••OAOB=xiX2+yiy2=x^X2+—£)(X2—£)

1/3

=(1+^)X1X2-2庐(为+入2)+工=-W-

9.已知抛物线丁=2X。＞0）的焦点为R准线为/,过点厂的直线交抛物线于A,B两点，过点A作准

线/的垂线，垂足为£当A点坐标为（3,州）时，△AEb为正三角形，则此时△045的面积为（）

A.芈B.小C芈D.当

答案：A

解析：不妨设点A在第一象限，

如图所示，过点歹作AE的垂线，垂足为X,由题知当A的坐标为（3,涧）时为正三角形，此时X

2

为AE的中点，|AE|=3+g,\EH\=p,：.2p=3+^,解得p=2,：.y=4x,A（3,2事）,F（l,0）,：.kAF

=小，直线AB的方程为y=3（x-1）,代入抛物线方程得3（x—1）2=4尤.设A（xi,以），B（xz,竺），解得xi

=3,X2=|,此时yi=2小,”=—乎，，SAAOB=SAOFB+S△。硼=4X1X（平+2小尸半，故选

A.

二、填空题

10.已知。为坐标原点，抛物线C：丁=2。尤。＞0）的焦点为R尸为C上一点，尸尸与x轴垂直，。为

x轴上一点，且PQLOP,若日。|=6,则C的准线方程为.

3

答案：％=—z

解析:抛物线析＞2=2Q；。＞0）的焦点造，o）,

•尸为C上一点，PP与x轴垂直，

所以P的横坐标为?，代入抛物线方程求得尸的纵坐标为切，

不妨设P（2，P），

因为。为x轴上一点，且尸尸，所以。在尸的右侧，

又；尸。|=6,

.••。（6+号,0）,：.PQ=（6,—p）

因为PQLOP,所以而OP=gX6—/=0,

V/?＞0,:・p=3,

3

所以C的准线方程为x=一力.

11.已知点A。，小）在抛物线C：产=2内；上，则A到C的准线的距离为.

答案：?9

解析：将点A的坐标代入抛物线方程，得5=2p,于是V=5x,则抛物线的准线方程为x=—土，所以

A到准线的距离为一（一D=4'

12.已知直线＞=履+2与抛物线V=8x有且只有一个公共点，则/的值为.

答案：。或1

[y=-kx~\~2,

解析：由得9f+（4左一8）x+4=0,

[y—8%,

若左=0,满足题意；若女#0,则力=（4左一8）2—4义43=0,得攵=1.综上得％=0或%=1.

［能力提升］

13.(多选)[2023•新课标II卷]设。为坐标原点，直线y=一小(x—1)过抛物线C：丁=2。尤。>0)的焦点，

且与C交于N两点，/为C的准线，贝)

A.p=2

Q

B.|W|=Q

C.以MN为直径的圆与/相切

D.AOMN为等腰三角形

答案：AC

解析：由题意，易知直线y=—45(x—1)过点(1,0).

对于A,因为直线经过抛物线。的焦点，所以易知焦点坐标为(1,0),所以5=1,即p=2,所以A选

项正确.

fy=一小(x—1)

对于B,不妨设A/(xi,yi),Ng,丁2),x\<X2,联立方程得，,消去y并整理得—

l/=4x

10x+3=0,解得,双=3.所以),N(3,一25),

所以由两点间距离公式可得|MN|=Y(3—12—(—25一平口=y,故B选项错误.

对于C,由以上分析易知，/的方程为x=—1,以MN为直径的圆的圆心坐标为(|,—乎)，半径厂

1QS

=]|AfN|=§=§+1,所以以A/N为直径的圆与/相切，故C选项正确.

对于D,由两点间距离公式可得|四川=号,\OM\=^~,\ON\=y[2i,故D选项错误.综上，选AC.

14.(多选)[2024•新课标H卷]抛物线C：V=4x的准线为/,尸为C上动点，过P作。A：X2+(J-4)2=

1的一条切线，。为切点，过尸作/的垂线，垂足为8.则()

A./与。A相切

B.当尸，A,2三点共线时，|尸。|=仃

C.当|尸8|=2时，PA±AB

D.满足|B4|=|P8|的点P有且仅有2个

答案：ABD

解析：

：y2=4x,.,.准线/为直线x=-l,圆心为A（0,4）,半径为1,作出抛物线C与。A如图所示.

与。A相切，故A正确.当尸,A,8三点共线时，：A（0,4）,...尸点坐标为（4,4）,,：\PA\=4,\AQ\=1,

•••尸。1=142_1=V15,故B正确.当|EB|=2时，产点坐标为（1,2）或（1,—2）.当P点坐标为（1,2）时，

点B坐标为（一1,2）,|E4|=^/12+（4-2）2=巾=|AB|,而|PB|=2,|B4|2+|AB|V|PB|2,此时E4与48

不垂直；当P点坐标为（1,—2）时，B点坐标为（一1,-2）,|朋=山2+（4+2）2=病=|AB|,而|P8|

=2,则|B4|2+|AB|2W|P8|2,此时必与A8不垂直，故C错误.对于D,设点尸的横坐标为机（利>0）,则点

P坐标为（加，2赤）或（机，一2声），|尸8|=m+1.当P点坐标为（优，2而）时，\PA\=ylm2+（2^+4）2,

'：\PA\=\PB\,：.\PA\2=\PB\2,即源+4%+16—16砺=m2+l+2m,化简得2%+15—16砺=0,解得加

—~2+4-\/34,m2=V—4-\/34,当P点坐标为⑺，一2赤）时，|网=勺苏+（2赤+4）2,同理，由照|

=\PB\,得2m+1&\师+15=0,解得<注=-殳坟匣<0或［企=-&2^^<0,不符合题意，因此满足

|朋|=|尸8|的点尸有且仅有2个，故D正确