3.4曲线与方程课件高二上学期数学选择性

3.4曲线与方程第3章圆锥曲线与方程湘教版

数学

选择性必修第一册课标要求1.能够结合已学过的曲线及其方程的实例,理解曲线与方程的对应关系;2.掌握求曲线的方程的一般方法,进一步体会曲线与方程的关系,感受解析几何的思想方法.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点曲线与方程一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系:点的坐标满足关系式

(1)

都是这个方程的解;

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.此时,这个方程叫作

,这条曲线叫作

.

曲线上的点的坐标

曲线的方程方程的曲线名师点睛1.方程与曲线的关系2.定义中的关系:(1)阐明了曲线具有纯粹性(或方程具有完备性),即曲线上的所有点的坐标都适合这个方程;(2)阐明了曲线具有完备性(或方程具有纯粹性),即符合条件的点都在曲线上.3.曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念,曲线的方程反映的是图形所满足的数量关系,而方程的曲线反映的是数量关系所表示的图形.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)曲线上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,那么方程f(x,y)=0就是曲线的方程.(

)(2)如果f(x,y)=0是某曲线C的方程,则曲线上的点的坐标都适合方程.(

)(3)若曲线C上的点满足方程f(x,y)=0,则坐标不满足方程f(x,y)=0的点不在曲线C上.(

)×√√2.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上,能否说明f(x,y)=0是曲线C的方程?试举例说明.提示不能.还要验证曲线C上的点的坐标是否都是方程f(x,y)=0的解.例如曲线C为“坐标平面内到两坐标轴距离相等的点”,方程为“y=x”,以方程的解为坐标的点都在曲线上,但曲线的方程不是y=x,而是y=±x.重难探究·能力素养速提升探究点一点与曲线位置关系的理解分析由曲线与方程的关系知,只要点M的坐标适合曲线的方程,则点M就在方程所表示的曲线上;而若点M为曲线上的点,则点M的坐标一定适合曲线的方程.解

把点A(-4,3)的坐标代入方程x2+y2=25中,可知点A(-4,3)满足方程,且点A的横坐标满足x≤0,则点A在方程x2+y2=25(x≤0)所表示的曲线上;规律方法

判断点与曲线位置关系的方法如果曲线C的方程是f(x,y)=0,点P的坐标为(x0,y0).点与曲线的位置关系点的坐标特征点P(x0,y0)在曲线C:f(x,y)=0上f(x0,y0)=0点P(x0,y0)不在曲线C:f(x,y)=0上f(x0,y0)≠0变式训练1已知直线l:x+y+3=0,曲线C:(x-1)2+(y+3)2=4,若P(1,-1),则点P与l,C的关系是

.

P∉l,P∈C

解析

∵1-1+3≠0,∴P不在l上,即P∉l;又(1-1)2+(-1+3)2=4,∴点P在曲线C上,即P∈C.探究点二轨迹方程的求法角度1直接法求轨迹方程【例2】在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于

,则动点P的轨迹方程为

.

分析

设出点P的坐标,将已知条件转化为斜率之积求解.规律方法

直接法求轨迹方程将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化,列出关于坐标的关系式,化简即得轨迹方程.其一般步骤如下:[提醒]求轨迹方程时要注意曲线的完备性:求轨迹方程时要根据图形的特征去掉不满足条件的点(如涉及三角形时,要去掉三点共线的条件;涉及斜率时,分母不能为0等).变式训练2已知平面上两定点M(0,-2),N(0,2),P为一动点,满足,求动点P的轨迹方程.角度2相关点法(代入法)求轨迹方程【例3】若Q是双曲线x2-y2=2上任一点,F是右焦点,点P在FQ的延长线上,且

,求点P的轨迹方程.解

设点Q的坐标为(x0,y0),点P的坐标为(x,y),由题意可知F(2,0).规律方法

相关点法(代入法)求轨迹方程如果动点M(x,y)依赖于另一动点P(a,b),而P(a,b)又在某已知曲线上,则可先列出关于x,y,a,b的方程组,利用x,y表示出a,b,把a,b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法.[提醒]轨迹与轨迹方程的区别:轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,求轨迹不但要求出轨迹方程,而且还要说明方程的形状.变式训练3已知点A(0,-1),当点B在曲线y=2x2+1上运动时,线段AB的中点M的轨迹方程是

.

y=4x2角度3定义法求轨迹方程【例4】设圆x2+y2+4x-60=0的圆心为A,过点B(2,0)且不垂直于y轴的直线l交圆A于C,D两点,过点B作AC的平行线交AD于点E,求点E的轨迹方程.解

依题意,圆A:(x+2)2+y2=64的圆心A(-2,0),半径r=8,∵|CA|=|AD|=8,∴|BE|=|DE|.|AE|+|BE|=|AE|+|DE|=|AD|=8>|AB|.由椭圆定义知,点E的轨迹是分别以A,B为左、右焦点,长轴长为8的椭圆规律方法

定义法求轨迹方程分析题设几何条件,根据圆锥曲线的定义或特征,判断轨迹是何种类型的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线等),再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程.[提醒]求轨迹方程时不要忘记建立坐标系求轨迹方程时若已知条件中没有直角坐标系,则首先结合图形特征,建立平面直角坐标系.建系时要遵循垂直性和对称性的原则,即借助图形中互相垂直的直线建系,借助图形的对称性建系.一方面让尽量多的点落在坐标轴上,另一方面能使求出的轨迹方程形式更简洁.变式训练4在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的标准方程.解

因为△MPN的周长为48,且tan∠PMN=,故设|PN|=3k,|PM|=4k,k∈R且k≠0.则|MN|=5k,由3k+4k+5k=48得k=4.所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在的直线为x轴,以MN的中点为原点建立直角坐标系,如图所示.由|MN|=20得2c=20,c=10,由|PM|-|PN|=4得2a=4,所以a=2,a2=4,所以b2=c2-a2=96.角度4参数法求轨迹方程【例5】过点A(-1,0),且斜率为k的直线l与抛物线C:y2=4x交于P,Q两点.若曲线C的焦点F与P,Q,R三点按如图顺序构成平行四边形PFQR,求点R的轨迹方程.分析由于点R的运动是由直线l的运动所引起的,而直线l的运动是由斜率引起的,因此求点R的轨迹可以探求点R的横、纵坐标与直线l的斜率k的关系.但是点R与直线l并无直接联系,与l有直接联系的是点P,Q,因此需通过平行四边形将P,Q,R这三点联系起来,找它们之间的关系.又k∈(-1,0)∪(0,1),∴x>1.∴点R的轨迹方程为y2=4(x+3),x>1.规律方法

参数法求轨迹方程如果采用直接法求轨迹方程难以奏效,则可寻求引发动点P运动的某个参数t,以此量作为参数(如涉及旋转时,常用角度作为参数;涉及两直线互相垂直时,常用斜率作为参数等),分别建立点P的横、纵坐标x,y与该参数t的函数关系x=f(t),y=g(t),进而通过消参化为轨迹的标准方程F(x,y)=0.变式训练5(1)平面上一动点C的坐标为(cosθ,sinθ),则点C的轨迹方程为

.

(2)在平面直角坐标系中,点O为原点,点A(1,0),B(2,2).若点C满足

,其中t∈R,则点C的轨迹方程是

.

y=2x-2本节要点归纳1.知识清单:曲线的方程与方程的曲线.2.方法归纳:根据点的坐标是否满足曲线的方程判断点与曲线的关系,直接法、相关点法(代入法)、定义法、参数法求轨迹方程.3.注意事项:曲线的方程与方程的曲线两个关系缺一不可;求曲线的方程时,若题设条件中无坐标系,则需要恰当建系;求轨迹方程时,要去掉方程中不满足条件的点;轨迹与轨迹方程是两个不同的概念.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.方程x2+y2=1(xy<0)的曲线形状是(

)C1234567891011121314152.[2024甘肃兰州高二期末]当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(

)A.x2+y2+6x+5=0 B.x2+y2-6x+8=0C.x2+y2-3x+2=0 D.x2+y2+3x+2=0C解析

设P(x1,y1),PQ的中点M的坐标为(x,y),∴(2x-3)2+4y2=1,即x2+y2-3x+2=0.故选C.1234567891011121314153.已知方程x2+my2=1(m∈R),则下列说法正确的是(

)A.当m<0时,方程表示双曲线B.当m>0时,方程表示椭圆C.方程不可能表示直线D.方程可能表示抛物线A解析

方程x2+my2=1(m∈R),当m<0时,根据双曲线的标准方程可知,方程表示双曲线,故A正确;当m>0时,若m=1,则方程表示圆,故B错误;当m=0时,方程表示x=-1和x=1两条直线,故C错误;因为方程中没有x或y的一次项,故方程不可能表示抛物线,故D错误.故选A.1234567891011121314154.方程(2-t)x2+(t-1)y2=1表示曲线C,有以下四个结论:①当t=时,曲线C是圆;②当1<t<2时,曲线C是椭圆;③当t>2时,曲线C是双曲线;④当t=2时,曲线C是抛物线.其中结论正确的个数为(

)A.1 B.2

C.3

D.4B解析

①当t=时,即x2+y2=2,曲线C是圆,①正确;②当1<t<2,且t≠时,2-t>0,t-1>0,曲线C是椭圆,②错误;③当t>2时,2-t<0,t-1>0,曲线C是双曲线,③正确;④当t=2时,2-t=0,t-1=1,即y2=1,曲线C是直线,④错误.故选B.123456789101112131415y2=4x123456789101112131415x2+y2=2因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.1234567891011121314157.已知圆C的方程为x2+(y-5)2=16,直线l的方程为y=3,点P为平面内一动点,PQ是圆C的一条切线(Q为切点),并且点P到直线l的距离恰好等于切线长|PQ|,则点P的轨迹方程为

.

x2=4y解析

设点P的坐标为(x,y),则点P到直线y=3的距离为d=|y-3|.1234567891011121314158.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sinB+sinA=sinC,求点C的轨迹方程.123456789101112131415B级关键能力提升练9.已知点P是直线x-2y+3=0上的一个动点,定点M(-1,2),Q是线段PM延长线上的一点,且|PM|=|MQ|,则点Q的轨迹方程是(

)A.x+2y+3=0 B.x-2y-5=0C.x-2y-7=0 D.x-2y+7=0D12345678910111213141510.(多选题)关于x,y的方程(m-1)x2+my2=m(m-1)(m∈R)表示的曲线可能是(

)A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线

D.直线ABD

解析

对于方程(m-1)x2+my2=m(m-1),①当m=1时,方程即y2=0,即y=0,表示x轴.②当m=0时,方程即x2=0,即x=0,因为m≠m-1,所以方程不可能是圆;若m(m-1)<0,方程表示双曲线;若m(m-1)>0,方程表示椭圆.综合可得方程不可能是抛物线.故选ABD.12345678910111213141512345678910111213141512.已知定点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),以C为一个焦点作过A,B两点的椭圆,则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程为

.

12345678910111213141513.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为

,面积为

.

(-1,1)8解析

当x≥-1,y≥1时,方程等价为x+y-2=0,当x≥-1,y≤1时,方程等价为x-y=0,当x≤-1,y≥1时,方程等价为x-y+4=0,当