1.1.2集合的基本关系（讲义7大题型）（原卷版）

1.1.2集合的基本关系1、理解集合之间包含与相等的含义能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念；2、能识别给定集合的子集、真子集，掌握列举有限集所有集合的方法；3、会判断集合间的关系，并能用符号和维恩图表示.注意空集在解题中的影响.知识点1子集与真子集1、韦恩图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线．2、子集含义一般地，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)．韦恩图示性质（1）任意一个集合都是它本身的子集，记作；（2）传递性：对于集合，如果，，则．3、真子集含义一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集。记作AB或(BA)．读作“A真包含于B”或“B真包含A”．韦恩图示性质（1）任意集合都不是它本身的真子集．（2）传递性：对于集合，如果，，则．【注意】（1）子集是刻画两个集合之间关系的，它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系)．（2）并不是任意两个集合之间都具有包含关系．例如：A＝{1,2}，B＝{1,3}，因为2∈A，但2∉B，所以A不是B的子集；同理，因为3∈B，但3∉A，所以B也不是A的子集．知识点2集合的相等1、集合相等的定义含义给定两个集合和，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作，读作“A等于B”．韦恩图示性质（1）如果且，则；（2）如果，则且；（3）如果，，则．【注意】集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等．2、韦恩图表示集合间关系3、集合间关系与实数大小关系类比实数集合定义包含两层含义：或包含两层含义：或相等若且，则若，，则传递性若，，则若，，则．若，，则若，，则知识点3空集1、空集的定义一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}知识点4有限集的子集个数1、如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．2、集合中含有个元素，集合中含有个元素，且，则符合条件的集合有个．【常用方法技巧】1、判断两个集合是否相等的方法重点是要把握住两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断．2、子集、真子集的个数问题确定子集、真子集的三个关键：（1）确定所求的集合；（2）合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出；（3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．3、利用集合相等求参数从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系．首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况，然后通过列方程（组）求解．当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性．4、根据集合间的基本关系求参数的值或取值范围对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法：（1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论．（2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解．题型一子集、真子集的确定【例1】（2324高一上·山西临汾·月考）写出集合的一个非空子集．【变式11】（2324高一上·天津滨海新·期中）已知集合，则集合的子集有.【变式12】（2324高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（

）A． B． C． D．【变式13】（2324高一上·广东东莞·月考）（多选）若，则（

）A． B． C． D．题型二子集、真子集的个数问题【例2】（2324高一上·福建泉州·月考）集合，则集合A的真子集个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式21】（2324高一上·吉林·月考）集合的子集的个数是（

）A．4 B．8 C．16 D．32【变式22】已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【变式23】（2324高一上·安徽黄山·期中）已知集合，则集合A的真子集有个．题型三判断两个集合是否相等【例3】（2324高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，【变式31】（2324高一上·重庆云阳·月考）（多选）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C． D．【变式32】（2324高一上·河北石家庄·月考）（多选）给出以下几组集合，其中是相等集合的有（

）A． B．C． D．【变式33】（2324高一上·四川成都·期中）（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（

）A．M={x∣x=2n，n∈Z}，P={x∣x=2（n+1），n∈Z}B．M={y∣y=x2+1，x∈R}，P={x∣x=t2+1，t∈R}C．M={x∣∈Z，x∈N}，P={x∣x=2k，1≤k≤4，k∈N}D．M={y∣y=x2－1，x∈R}，P={（x，y）∣y=x2－1，x∈R}题型四根据集合相等求参数【例4】（2324高一上·四川绵阳·月考）若集合，，且，则.【变式41】（2324高一上·陕西咸阳·月考）设全集，集合，，且，则实数．【变式42】（2324高一上·甘肃兰州·月考）已知集合，则.【变式43】（2324高一上·上海·期中）含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为.题型五空集的概念与辨析【例5】（2324高一上·云南红河·月考）下列四个集合中，是空集的是（

）A． B． C． D．【变式51】（2324高一上·重庆·期中）下列关于0与说法不正确的是（

）A． B． C． D．【变式52】（2324高一上·广东广州·期中）下列关于空集的说法中，错误的是（

）A． B． C． D．【变式53】（2324高一上·河北石家庄·期中）（多选）下列关系中，正确的有（

）A． B． C． D．题型六判断两个集合间的包含关系【例6】（2324高一上·广东韶关·月考）若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【变式61】（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式62】（2223高一上·江苏宿迁·月考）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【变式63】（2324高一上·北京·月考）设集合，则（

）A． B． C． D．题型七根据集合包含关系求参数【例7】（2324高一上·河南开封·期末）已知集合，，若，则的值为（

）A．1 B．2 C．1