第08讲两条直线的位置关系（原卷版）

第08讲两条直线的位置关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能根据直线的斜率或直线的法向量判定两条直线相交、平行、重合或垂直.2．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3．能利用两条直线的平行、垂直关系，求直线方程.知识点1两条直线的相交、平行与重合1.斜截式方程下的结论：2.一般式方程下的结论：对于两条直线，法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)（1）相交的充要条件是两法向量不共线，即：；（2）平行或重合的充要条件是两法向量共线，即：A1,B2=A2B1（3）l1∥l2⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1B2－A2B1＝0，,B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.))知识点2两条直线的垂直1.斜截式方程下的结论：2.一般式方程下的结论：对于两条直线，法向量分别为v1=(A1,B1)，v2=(A2,B2)v1·v2=0⇔.考点一：两条直线平行的判断例1.（2024高二·全国·专题练习）已知经过，经过，，求证：．【变式11】（2324高二·全国·课堂例题）已知直线的倾斜角为135°，直线经过点（1，0）且斜率为－1，则两直线一定平行吗？【变式12】（2023高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直：(1)，；(2)，；(3)，.【变式13】（2223高二·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由：(1)，；(2)，．考点二：两条直线垂直的判断例2.（2324高二上·江苏·课前预习）（1）若直线，直线，则的充要条件为；（2）若直线，直线，则的充要条件为.【变式21】（多选）（2324高二上·山西朔州·阶段练习）下列方程表示的直线中，与直线垂直的是（

）A． B．C． D．【变式22】（多选）（2324高二上·湖南长沙·阶段练习）关于直线：，则下列结论正确的是（

）A．倾斜角为 B．为直线的一个方向向量C．在轴上的截距为 D．与直线垂直【变式23】（2223高二·全国·课堂例题）解答下列各题：(1)已知四点，，，，求证：；(2)已知直线，，求证：．考点三：根据两条直线平行求参数例3.（2324高二下·上海黄浦·期中）已知直线，，，若它们不能围成三角形，则实数的取值所构成的集合为．【变式31】（2324高二上·陕西西安·期末）已知直线与直线平行，则实数的所有取值之和为（

）A．2 B． C．1 D．2【变式32】（2324高二下·江苏南京·期末）“”是“两条直线平行”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式33】（2024·陕西西安·二模）已知直线过点和点，直线：，若，则.考点四：根据两条直线垂直求参数例4.（2324高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（

）A．24 B．0 C．20 D．【变式41】（2324高三下·安徽芜湖·阶段练习）已知直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【变式42】（2324高二下·上海·期中）若直线和直线垂直，则．【变式43】（2324高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线与直线相互垂直，．考点五：求两条直线的交点例5.（2223高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线，设直线的交点为.(1)求点的坐标；(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【变式51】（2324高二上·山东潍坊·阶段练习）已知直线：，直线：，则直线与的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．相交或重合【变式52】（2324高二上·河北石家庄·阶段练习）经过直线和的交点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍的直线方程为（

）A． B． C． D．【变式53】（2324高二上·全国·课后作业）已知直线和，则直线和的交点为.考点六：平行、垂直条件下求直线方程例6（2324高二下·山东烟台·阶段练习）求经过直线与直线的交点M，且分别满足下列条件的直线方程：(1)与直线平行；(2)与直线垂直.【变式61】（多选）（2324高二上·全国·课后作业）已知直线与，则下列说法正确的是（

）A．与的交点坐标是B．过与的交点且与垂直的直线的方程为C．，与x轴围成的三角形的面积是D．的倾斜角是锐角【变式62】（2324高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）在中，，AB边上的高CD所在直线方程为，则直线AB的方程为．【变式63】（2324高二上·海南海口·阶段练习）已知直线过点，且与直线垂直，则直线在轴上的截距为.考点七：根据两直线的交点、交点个数求参数例7.（多选）（2223高二上·全国·期中）若直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值可以是（

）A．0 B． C． D．【变式71】（2021高二·全国·课后作业）（多选）若三条直线，与共有两个交点，则实数a的值为（

）．A．1 B．2 C．－2 D．－1【变式72】（2324高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线经过两直线和的交点，则的值等于.【变式73】（2022·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是.考点八：平行、垂直在几何图形中的应用例8.（2324高二上·全国·课后作业）如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且，，AD，BE相交于点P．求证：.

【变式81】（2022高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状．【变式82】（2324高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【变式83】（2024高三·全国·专题练习）已知四边形的四个顶点坐标分别为，，，．试判断四边形的形状，并给出证明.1．（2324高二下·山西长治·阶段练习）已知直线与直线平行，则（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·安徽蚌埠·期末）直线的方向向量是，则下列选项中的直线与直线垂直的是（

）A． B．C． D．3．（多选）（2324高二下·浙江·期中）已知直线和直线，则下列说法正确的是（

）A．若，则表示与轴平行或重合的直线B．直线可以表示任意一条直线C．若，则D．若，则4．（多选）（2324高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（

）A． B． C． D．5.（2324高二上·青海西宁·期中）已知直线和互相垂直，则．6．（2324高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则7.（2324高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为．8．（2324高二上·上