1.1.1集合及其表示方法（讲义8大题型）

1.1.1集合及其表示方法1、准确理解集合与元素的含义及集合与元素的属于关系.2、在具体情境中，了解空集的含义，理解有限集与无限集；3、能利用集合元素的确定性、互异性、无序性解决一些简单问题；4、熟记常用数集的表示符号，通过常用数集准确把握元素与集合之间的关系.知识点1集合的含义1、概念把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．2、要点辨析（1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等．（2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”；（3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象；（4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体．知识点2元素与集合1、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．2、集合中元素的三大特性（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等（2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．（3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．知识点3集合的表示方法与分类1、常用数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法或2、集合的表示方法（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．【注意】=1\*GB3①元素与元素之间必须用“，”隔开；=2\*GB3②集合中的元素必须是明确的；=3\*GB3③集合中的元素不能重复；=4\*GB3④集合中的元素可以是任何事物．（2）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．【注意】=1\*GB3①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．=2\*GB3②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．=3\*GB3③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．（3）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合．3、集合的分类（1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅；（2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集．4、集合相等给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．知识点4区间的概念1、一般区间的表示设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点.在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.定义名称符号数轴表示闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间2、实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．3、特殊区间的表示定义符号数轴表示≥≤在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点．【常用方法技巧】1、判断一组对象能否组成集合的标准判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2、元素与集合关系的判断方法（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．3、利用集合中元素的特异性求参数（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．4、集合与方程的综合问题（1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根．（2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性．5、集合的新定义问题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：（1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．（2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．题型一判断元素能否构成集合【例1】（2324高一上·新疆·月考）下列对象中不能构成一个集合的是（

）A．某校比较出名的教师 B．方程的根C．不小于3的自然数 D．所有锐角三角形【答案】A【解析】A：比较出名的标准不清，故不能构成集合；B：，方程根确定，可构成集合；C：不小于3的自然数可表示为，可构成集合；D：所有锐角三角形内角和确定且各角范围确定，可构成集合.故选：A【变式11】（2324高一上·湖南长沙·月考）下列各组对象可构成一个集合的是（

）A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生【答案】D【解析】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性.故选：D【变式12】（2324高一上·河北邢台·月考）下列各组对象中不能构成集合的是（

）A．数学课迟到的学生 B．小于的正整数C．未来世界的高科技产品 D．所有有理数【答案】C【解析】对于A，数学课迟到的学生具备集合元素的确定性,能构成集合，故A不符合题意；对于B，小于π的正整数具备集合元素的确定性，能构成集合，故B不符合题意；对于C，“未来世界的高科技产品”中的“高科技产品”没有明确标准，不具备确定性，因此不能构成集合，故C符合题意；对于D，所有有理数具备集合元素的确定性，能构成集合,故D不符合题意.故选：C.【变式13】（2324高一上·山西临汾·月考）下列对象不能组成集合的是（

）A．不超过20的偶数 B．π的近似值C．方程的实数根 D．最小的正整数【答案】B【解析】对A，不超过20的偶数是确定的，可以组成集合；对B，π的近似值无法确切取到，不能组成集合；对C，方程的实数根是确定的，就是1，可以组成集合；对D，最小的正整数是确定的，是1，可以组成集合，故选：B题型二判断元素与集合的关系【例2】（2324高一上·湖北·期中）下列关系中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为为自然数集，所以，，故A、D正确；为实数集，所以，故B错误；为有理数集，所以，故C正确；故选：B【变式21】（2324高一上·河南南阳·月考）已知集合中的元素满足，则下列选项正确的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且【答案】A【解析】由解得，因为，，故，且，故选：A【变式22】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知集合，则与集合的关系为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，所以与集合的关系为.故选：B.【变式23】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，，所以，故A正确；当时，，所以，故B错误；当或时，，所以，故C错误；当时，，所以，故D错误.故选：A题型三根据元素与集合的关系求参数【例3】（2023·上海闵行·一模）已知集合，若，则实数．【答案】【解析】因为集合，若，则，解得.故答案为：.【变式31】（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，且，求的值.【答案】或【解析】因为，所以或，解得或，当时，，满足集合元素的互异性，所以符合题意；当时，，也满足集合元素的互异性，所以也符合题意.综上，的值为或，故答案为：或【变式32】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，解得.故选：A.【变式33】（2324高一上·重庆·期末）已知集合，若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可知：，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.题型四利用元素的互异性求参数【例4】（2324高一上·四川成都·期中）集合中实数的取值范围是（

）A．或 B．且C．或 D．且【答案】D【解析】由集合元素的互异性可知，，解得且，所以实数的取值范围为且.故选：D.【变式41】（2324高一上·北京东城·期中）已知集合，若，则（

）A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【解析】由于，若，则，不合题意；所以，解得，故选：C【变式42】（2324高一上·江西萍乡·期末）已知集合，若，则a的值可能为（

）A．，3 B． C．，3，8 D．，8【答案】D【解析】由题意若，解得或，若，解得，当时，满足题意，当时，违背了集合中元素间的互异性，当时，满足题意，综上所述，a的值可能为，8.故选：D.【变式43】（2324高一上·广东东莞·期中）若，则x的可能值为（

）A．1 B．0，1 C．0，2 D．0，1，2【答案】C【解析】因为，当时，，不满足元素的互异性，当时，，满足互异性，当时，即或（舍）时，，满足互异性，所以或2.故选：C.题型五用列举法与描述法表示集合【例5】（2324高一上·四川乐山·期中）集合用列举法表示为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，则．故选：C【变式51】（2324高一上·江西南昌·月考）设集合，则集合．【答案】【解析】因为，所以，解得，又，则.即故答案为：.【变式52】（2324高一上·四川绵阳·月考）（多选）给出下列说法，其中不正确的是（）A．集合用列举法表示为B．实数集可以表示为为所有实数}或C．方程组的解组成的集合为D．集合与是同一个集合【答案】BCD【解析】对于A，集合中只含有两个元素0和1，所以用列举法表示为，故A正确；对于B，R就表示实数集，实数集用为错误表示，另外花括号具有所有的意义，描述内容中不能再出现所有字眼，故B错误；对于C，解集应为，原表示错误，故C错误；对于D，集合为y的取值集合，集合表示上点的集合，所以两个集合不是同一个集合，故D错误；故选：BCD.【变式53】（2324高一上·宁夏吴忠·月考）用适当的方法表示下列集合：(1)大于1且不大于17的质数组成的集合；(2)所有奇数组成的集合；(3)平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合；(4)；【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【解析】（1）大于1且不大于17的质数组成的集合.（2）所有奇数组成的集合.（3）平面直角坐标系中，抛物线上的点组成的集合.（4）.题型六区间与集合的相互表示【例6】（2324高一上·重庆·期中）集合用区间表示为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据集合的表示方法，集合用区间表示为.故选：D.【变式61】（2324高一上·新疆阿克苏·月考）下列叙述正确的是（

）A．用区间可表示为 B．用区间可表示为C．用集合可表示为 D．用集合可表示为【答案】D【解析】对于A，用区间可表示为，错误；对于B，用区间可表示为，错误；对于C，用集合可表示为，错误；对于D，用集合可表示为，正确；故选：D【变式62】（2324高一上·河北石家庄·期中）用区间表示为；用区间表示为．【答案】【解析】，.故答案为：；.【变式63】（2324高一上·全国·课后作业）（1）用区间表示且为．（2）已知区间，则的取值范围是．【答案】【解析】（1）且用区间可表示为，（2）由题意得，得，即的取值范围.故答案为：；.题型七集合与方程的综合问题【例7】（2324高一上·广东广州·期末）已知集合只有一个元素，则实数的值为（

）A．1或0 B．0 C．1 D．1或2【答案】A【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解，当时，方程可化为，满足题意，当时，方程只有一个解，则，解得，所以或.故选：.【变式71】（2324高一上·辽宁丹东·月考）（多选）关于的方程的解集是单元素集，则的可能值是（

）A．0 B．27 C．2 D．【答案】BD【解析】由，得，即，因为方程的解集为单元素集，所以，或方程有一个根为3，当时，得，此时方程的解为，符合题意，当方程有一个根为3时，得，此时方程为，，解得（舍去），或，符合题意，综上，或，故选：BD.【变式72】（2324高一上·上海浦东新·月考）集合有且仅有2个子集，则的取值集合为【答案】【解析】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素，所以方程即只有一个根，当时，方程为即，此时，符合题意；当时，方程为即，此时，符合题意；当时，原方程化为，所以，解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为.故答案为：.【变式73】（2324高一上·宁夏吴忠·月考）已知集合，其中.(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)或【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；若，则当且仅当方程的判别式，即时，方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，∴所求集合；（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，②