第10讲直线的交点坐标与距离公式原卷版

直线的交点坐标与距离公式【考点归纳】考点一、求相交直线的交点坐标或者参数问题考点二、两点间的距离问题考点三、点到直线的距离或参数问题考点四：求点关于直线对称问题考点五：求直线关于直线对称问题考点六、两平行线间的距离考点七：直线关于点、直线对称问题考点八、距离的综合应用【知识梳理】知识点一两条直线的交点1．两直线的交点已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)．(1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若点A是直线l1与l2的交点，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关．(2)原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝eq\r(x2＋y2).知识点三点到直线的距离、两条平行线间的距离点到直线的距离两条平行直线间的距离定义点到直线的垂线段的长度夹在两条平行直线间公垂线段的长图示公式(或求法)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))【例题详解】题型一、求相交直线的交点坐标或者参数问题1．（2324高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（

）A． B．C． D．2．（2021高二·全国）若直线与直线的交点位于第一象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2021高二上·安徽芜湖·期中）已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（）A． B．C． D．题型二、两点间的距离问题4．（2223高二上·全国·阶段练习）已知菱形的对角线与轴平行，，，则点的坐标为（

）A． B． C． D．5．（2324高二上·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（

）A． B． C． D．56．（2223高二上·湖北宜昌·期中）函数的最小值是（

）A．5 B．4 C． D．题型三、点到直线的距离或参数问题7．（2324高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（

）A． B．6 C．或4 D．4或68．（2324高二上·北京·期中）点到两条直线：，距离相等，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．9．（2324高二上·河南南阳·期末）点为两条直线和的交点，则点到直线：的距离最大为（

）A． B． C． D．5题型四：求点关于直线对称问题10．（2324高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．11．（2023高二上·全国·专题练习）点关于直线对称点Q的坐标为（）A． B． C． D．12．（2324高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（

）A． B．C． D．题型五：求直线关于直线对称问题13．（2324高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．14．（2324高二上·广东佛山·阶段练习）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线过点，则入射光线所在直线的方程是（

）A． B．C． D．15．（2324高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（

）A． B．C． D．题型六、两平行线间的距离16．（2324高二上·湖北孝感·期末）两条平行直线与间的距离为（

）A． B．1 C． D．17．（2223高二上·天津和平·期中）已知直线与直线和平行且距离相等，则直线的方程为（

）A． B．C． D．18．（2122高三上·河南郑州·阶段练习）已知，，则与直线平行且距离为2的直线方程为（）A． B．C．或 D．或题型七：直线关于点、直线对称问题19．（2324高二上·全国·期末）点在直线上，直线与关于点对称，则一定在直线上的点为（

）A． B． C． D．（1，0）20．（2324高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（

）A． B．C． D．21．（2023·上海静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（）A． B．C． D．题型八、距离的综合应用22．（2324高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求：(1)点关于直线的对称点的坐标；(2)直线关于直线对称的直线方程；(3)直线关于点对称的直线方程．23．（2223高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线：，.(1)证明直线过定点，并求出点的坐标；(2)在（1）的条件下，若直线过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的，求直线的方程；(3)若直线不经过第四象限，求的取值范围.24．（2122高一下·江西宜春）已知直线及点和点，为上一动点．(1)求的最小值并求出此时点的坐标；(2)在（1）的条件下，直线经过点且与轴正半轴､轴正半轴分别交于､两点，当直线与两坐标轴围成的三角形面积取得最小值时，求直线的方程．【专项训练】一、单选题25．（2324高一下·江苏泰州·期中）已知点，则点到直线的距离为（

）A． B． C． D．26．（2024·全国·模拟预测）平行直线与之间的距离为（

）A． B． C． D．27．（2324高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（

）A．或4 B．4 C．或6 D．或1628．（2324高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（

）A． B．C． D．29．（2324高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．30．（2324高二上·广东·阶段练习）已知直线经过两条直线：，：的交点，且的一个方向向量为，则直线的方程为（

）A． B．C． D．31．（2324高二上·河南·阶段练习）在中，已知，若直线为的平分线，则直线的方程为（

）A． B．C． D．32．（2324高二上·湖南益阳·阶段练习）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、多选题33．（2324高二上·山东潍坊·期末）已知直线，点，则（

）A．过点A与l平行的直线的方程为B．点A关于对称的点的坐标为C．点A到直线l的距离为D．过点A与l垂直的直线的方程为34．（2324高二上·广东深圳·期中）已知直线：，下列说法正确的是（

）A．直线过定点B．当时，关于轴的对称直线为C．点到直线的最大距离为D．直线一定经过第四象限35．（2324高一上·云南昆明·期中）已知直线：，：，且，则（

）A． B．C．与直线垂直 D．与与间的距离为36．（2223高二上·山东青岛·期中）已知直线：，：，则下列选项正确的为（

）A．直线过定点 B．当时，或C．当时，和相交 D．当时，两直线，之间的距离为1三、填空题37．（2324高二上·新疆喀什·期末）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为．38．（2324高二上·北京石景山·期末）直线与直线之间的距离为.39．（2324高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．40．（2324高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为．41．（2223高二上·江苏苏州·期中）已知点在直线上，点，则取得最小值时点坐标为．四、解答题42．（2324高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点.(1)已知直线与平行，求的值；(2)求点关于直线的对称点的坐标.43．（2324高二上·山东青岛）已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为.(1)求直线的方程：(2)求的面积.44．（2324高二上·福建三明·期中）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为．求：(1)直线的一般式方程