2024年高考数学总复习：函数的图象

第七节函数的图象

最新考纲

1.在实际情境中，会依据不同的须要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数；

2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，并运用函数的图象解简洁的方程（不等式）问题.

学问梳理

1.利用描点法作函数的图象

步骤：（1）确定函数的定义域；（2）化简函数解析式；（3）探讨函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、

对称性等）；（4）列表（尤其留意特别点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，

连线.

2.利用图象变换法作函数的图象

⑴平移变换

⑵对称变换

①尸f（x）也例遒尸“I

②尸『3巨巫遹尸上也

③尸加）空遮皿>尸3

@y=a”（a〉0且aW1）关于上y=logaX（a>0且a#l）.

（3）伸缩变换

纵坐标不变

①尸f⑺-------------------i--------►尸f（ax）.

各点横坐标变为原来世《〉0）倍

Ei、横坐标不变—

②y—"X）各点纵坐标变为原来的/（心0）悟了一“⑴.

（4）翻转变换

入轴下方部分翻折到上方

勤=『（x）的图象y=4(x)1的图象;

X轴及上方部分不变

6々,囱缶丁由右侧部分翻折到左侧._“।।%囱缶

②y—F（x）的图象原用由左侧部分去掉，右侧不变y—鱼㈤）的图象・

3.关于对称的三个重要结论

⑴函数尸F（X）与y=f（2a—x）的图像关于直线x=3对称.

（2）函数尸F（x）与y=2b—f{2a—x）的图像关于点（a,6）中心对称.

(3)若函数y=F(x)对定义域内随意自变量x满意：/'(a+x)=F(a—x),则函数y=F(x)的图像关于

直线x=a对称.

其中(1)(2)为两函数间的对称，(3)为函数自身的对称.

4.易错防范

(1)图象左右平移仅仅是相对x而言的，即发生改变的只是x本身，利用“左加右减”进行操作.假

如x的系数不是1,须要把系数提出来，再进行变换.

(2)图象上下平移仅仅是相对y而言的，即发生改变的只是y本身，利用“上加下减”进行操作.但

平常我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作，满意“上加下减”.

(3)要留意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区分.

典型例题

考点一作函数的图象

【例1】作出下列函数的图象：

⑴;(2)y=|log2(jr+l)|；

⑶尸?”(4)y=/—2|-1.

X—1

【解析】⑴先作出T；)的图像，保留尸七)图像中心0的部分，再作出尸曲的图像中X

>0部分关于y轴的对称部分，即得'的图像，如图⑴实线部分.

(2)将函数y=logzx的图像向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函

数y=1logz(x+l)］的图像，如图⑵.

(3)•••尸2+士，故函数图像可由图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图

⑷・“♦\x+—22x—11,,x<。，且函数为偶函数,先用描点法作出1°，+8)上的图像,再依据对称

性作出(一8,0)上的图像，得图像如图(4).

规律方法画函数图象的一般方法

⑴干脆法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟识的基本函数时，就可依据这些函数的特征描出

图象的关键点干脆作出.

(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换

作出，并应留意平移变换与伸缩变换的依次对变换单位及解析式的影响.

【变式训练1】分别画出下列函数的图象：

⑴y=x一1]；⑵尸|f—4x+3|；

(3)y=elnA；⑷尸logzlx-1|.

fL1,

【解析】(1)依据肯定值的意义，可将函数式化为分段函数尸0|八可见其图象是由两

[2x1,X\],

条射线组成，如图(1)所示.

X，—4x+3,或

(2)函数式可化为尸图象如图(2)所示.

—x~+4x—3,1</3,

(3)因为函数的定义域为U|x>0},

且y=/*=X,所以其图像如图(3)所示.

图(3)图(4)

(4)作y=logz|x|的图像，再将图像向右平移一个单位，如图(4),即得到y=logz|x-l|的图像.

考点二函数图象的辨识

【例2】⑴(2024•全国I卷)函数尸2x2——在［—2,2］的图象大致为()

【答案】D

【解析】ftx)=2y—e*,2,2］是偶函数，

又r(2)=8-es€(0,1),排除选项A,B.

设，(*)="-1,+0,则，'W=4jr-e\

又/(0)<0,/(2)X>,

在9,2)内至少存在一个极值点，

.•."r)=2?-e*在(0,2)内至少存在T极值点,，刈聆.C,故选D.

⑵(2024•唐山模拟)函数/UXlnQ-0的图象是()

【答案】B

【解析】因为X—；>0,解得£>1或一1〈-0,

所以函数f(x)=ln(x—9的定义域为(一1,0)U(1,+8).所以选项A,C不正确.

当xG(—1,0)时，g(x)=矛一：是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数/"(x)=ln(x—:是增函

数.所以D不正确，B正确.

-

Q1riV

(3)[2024•全国卷III]函数尸1+x+r的部分图象大致为()

X

【答案】D

sinx1I〔Isinx

【解析】当L+8时,2-f0,1+xf+00，y—1+x-v2-'8,故解除选项B.

xx

JIQiDy

当0<x<*p时，y=l+x+工厂>°，故解除选项A,C.故选D.

规律方法函数图像的.辨识可从以下方面入手

(1)从函数的定义域,推断图像的左右位置；从函数的值域，推断图像的上下位置;

(2)从函数的单调性,推断图像的改变趋势;

⑶从函数的奇偶性，推断图像的对称性；

(4)从函数的周期性，推断图像的循环往复;

⑸从函数的特征点，解除不合要求的图像.

【变式训练2](1)函数尸log2([x|+l)的图象大致是()

【答案】B

【解析】尸log2(|x|+1)是偶函数，当x'O时，y=log2(x+l)是增函数，且过点(0,0),(1,1),

只有选项B满意.

(2)(2024•北京海淀区期末)函数尸f(x)的图像如图所示，则f(x)的解析式可以为()

A.F(x)=~-/B.F(x)=--x

XX

C.f(x)='一e"D.f{x)Inx

xx

【答案】C

【解析】由函数图像知，函数f(x)在(一8,0),(0,+8)上单调递减，A中，•.•/•(—1)=—2,A-

9

2)=--<r(-l),不满意题意；B中，A-D=0,不满意题意；C中，易知函数在(一8,0),(0,

+8)上单调递减；D中函数的定义域为(0,+8),不满意题意，故选C.

(3)已知a是常数，函数人王)=[^+：(1—a)f—ax+2的导函数(x)的图象如图所示，则函

数g(x)=|a*—2]的图象可能是()

【答案】D

【解析】由广(x)—血/一ax+2,得/(x)=*+(l—a)x—8

1-O

依据y=f(x)的图象知一——>0,：..a>l.

则函数g(x)=|a-2|的图象是由函数尸a'的图象向下平移2个单位，然后将x轴下方的图象翻折

到x轴上方得到的，故选D.

考点三函数图象的应用

命题角度一探讨函数的零点

f11gx\,x>0,

【例3】已知f(x)=m则函数y=2「(x)—3f(x)+l的零点个数是.

【答案】5

【解析】由2^(x)—3f(x)+l=0得f(x)=1或f(x)=l

作出函数y=f(x)的图象.

由图象知了=(与尸f(x)的图象有2个交点，y=l与尸f(x)的图象有3

个交点.

因此函数尸2/(x)—3f(x)+l的零点有5个.

命题角度二求不等式的解集

【例4】函数F(x)是定义在［―4,4］上的偶函数，其在［0,4］上的图象如图所

f(

示，那么不等式-----<0的解集为

cosx

【答案】VT)u(i，T)

【解析】当x£(0,5)时,7=cosx>0.

当4)时，y=cosT<0.

结合P=F(x),[0,4]上的图象知，当IVxC?时，,(")〈0.

2cosx

f(x)

又函数y=------为偶函数，

cosX

.•.在[―4,0].上，」f(x^)〈0的解集为，一方兀，-I、,

cosX\zJ

所以〈0的解集为1-9，—-yj.

‘co°sLX\z)\LJ

命题角度三求参数的取值或范围

1

logr^r,x〉0,

【例5】)已知函数/<x)=j2若关于x的方程f(x)=#有两个不等的实数根，则实

2，x(0,

数人的取值范围是.

【答案】(0,1]

【解析】作出函数y=F(x)与y=4的图像，如图所示，

由图可知Ae(0,1].

规律方法(1)利用函数的图象探讨函数的性质，肯定要留意其对应关系，如：图象的左右范围对应

定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性.

(2)探讨方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点

个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求.解.

⑶探讨不等式的解：当不等式问题不.能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式

问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.

【变式训练3】(1)已知函数/"(x)=x|x|—2x,则下列结论正确的是()

A.F(x)是偶函数，递增区间是(0,+8)

B.F(x)是偶函数，递减区间是(一8,1)

C.f(x)是奇函数，递减区间是(一1,1)

D.f(x)是奇函数，递增区间是(一8,0)

【答案】C

[x~2x,x>0,

【解析】将函数F(x)=x|x|-2x去掉肯定值得f(x)=2画出函数/1(x)的图象,

\—x—2x,x<0,

如图,

V

视察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(一1,1)上单调递减.

(2)(2015唾国I卷)设函数y=f(x)的图象与y=2，+"的图象关于直线y=-x对称，且/'(—2)+F(一

4)=1,则a=()

A.-1B.1C.2D.4

【答案】B

【解析】设(工,方是由数尸六工)图象上任逋一点，它关于直线广一”的对称息为(一尸，一力，由

尸找*)的蹒与尸厂,的醵关于直线产一上对称，可知(-%-X)在尸L的图象上，即一*

=2-L)解译产一log：(-jr)+e,2)+ft-4)=—loe：2+«—loc：4+a=l>解得a=2,

选C.

(3)已知函数y=F(x)的图象是圆V+/=2上的两段弧，如图所示，则不等式/'(x)>f(—x)—2x的

解集是

【答案】(-1,0)U(1,72]

【解析】由图象可知，函数f(x)为奇函数，故原不等式可等价转化为/1(x)〉一工

在同始终角坐标系中分别画出了=H分与/=-x的图象，由图象可知不等式的解集为(-1,0)U(1,

口

7，

XlL

/\jJ2

-A<w*

TX

⑷已知函数f(x)=|x—2|+l,g(x)=#x.若方程£(x)=g(x)有两个不相等的实根，则实数次的取

值范围是.

【答案】1)

【解析】先作出函数f(入)=*—2|+1的图像，如图所示，当直线g(x)=Ax与直线平行时斜

率为1,当直线g(x)="x过4点时斜率为今，故f(x)=g(x)有两个不相等的实根时，A的取值范围

为生1).

课堂总.结

[易错防范]

(1)函数图象中左、右平移变换可记口诀为“左加右减”，但要留意加、减指的是自变量.

(2)留意含肯定值符号的函数的对称性，如y=f(|x|)与y=|『(x)|的图象是不同的.

(3)混淆条件“f(x+l)=f(x—1)”与“f(x+l)=f(l—x)”的区分，前者告知周期为2,后者告知

图象关于直线x=l对称.

课后作业

1.将函数f(x)=(2x+l)2的图象向左平移一个单位长度后，所得图象的函数解析式为.

【答案】y=(2x+3)2

【解析】f(x)的图象向左平移一个单位长度后得到的是y=[2(x+l)+1]2=(2x+3)2的图象.

2.把函数f(x)="x图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的函数解析式是.

【答案】y=*x

【解析】依据伸缩变换方法可得新函数的解析式为y=7^x.

3.若关于x的方程|=a—x只有一个解，则实数a的取值范围是.

【答案】(0,+8),,=1.1

【解析】在同一个坐标系中画出函数了=区与了=@—X的图象，如图所

示.由图象知当〃>0时，方程|x|=2—X只有一个解.

4.函数*x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线尸6”关于p轴对称，则/<x)的解析式

为()

A.f{x)=ex+lB.f{x}=e"T

C.f{x)=e~x+iD.f{x)=e~x~x

【答案】D

【解析】依题意，与曲线尸e*关于y轴对称的曲线是尸e)，于是F(x)相当于尸e-'向左平移

1个单位的结果，；"(x)=「"=「1.

5.(2024•浙江卷)函数y=sinY的图象是()

ya

A

CI)

【答案】D

【解析】Vy=sin(—A)2=sin/,且入£比

兀兀2

.•.函数为偶函数，可解除A项和C项；当了=万时，sin/=sin^-#L解除B项，只有D满意.

6.若函数y=F(x)在xe[—2,2]的图象如图所示，则当xd[—2,2]时，f{x}+f{-x)=.

【答案】0

【解析】由于y=Hx)的图象关于原点对称+f(—x)=f(x)—f(x)=0.

U2-l

7.已知函数y=J~~>的图象与函数/=履的图象恰有两个交点，则实数在的取值范围是.

【答案】(0,l)u(l,2)

【解析】将函数y=J——化成分段函数，并作出其图象如图所示.

x—1

)1/

2/

|1：

-4-J-2Z|\bI2147

y-I

/-3

<可

利用图象可得，实数k的取值范围为(0,1)U(1,2).

8.设函数F(x)=|x+a|,g(x)=x—1,对于随意的xdR,不等式f(x)与g(x)恒成立，则实数a的

取值范围是.

【答案【［—1，+8)

【解析】如图，要使广(x)2g(x)恒成立，则一aWl,・・・石2—1.

A*)3

C.水0,b>0,c<0D.a〈0,ZXO,c<0

【答案】C

【解析】函数的定义域为{x|xW—c},结合图象知一c>0,，水0.令x=0,得F(0)=i又由图象

bb

知F(0)>0,「・6〉0.令_f(x)=0,得x=--，结合图象知—>0,水0.故选C.

aa

10.如图，函数“x)的图象为折线力⑶，则不等式F(x)》log2(x+1)的解集是()

A.{x|-IVxWO}B.{x|—

C.{x|—lVxWl}D.{x|—1VXW2}

【答案】C

【解析】令g(x)=y=log2(x+l),作出函数g(x)图象如图.

结合图象知，不等式f（x）》log2（x+l）的解集为{x|—Idl}.

~F（v）—~F（—v）

11.设奇函数/5）在（0,+8）上为增函数，且F⑴=0,则不等式〜一一^<0的解集为（）

X

A.(-1,0)U(1,+8)B.(-8,-1)U(0,1)

C.(—8,—1)U(1,+°0)D.(-1,0)U(0,1)

【答案】D

-f（v）--力2f(x)

【解析】因为/"（X）为奇函数，所以不等式上一—<0可化为——<0,即xf(x)VO,f(x)的

Xx

大致图像如图所示

所以xf(x)<0的解集为(-1,0)U(0,1).

12.当0cxwg时，4"VlogaX,则己的取值范围是（）

【答案】B

【解析】构造函数F（x）=4"和g（x）=logax,当a>\时不满意条件，当0<a<l时，画出两个函数

,1

在即2<log，，则a>坐，所以