2025年高考数学总复习专项训练：等比数列及其前n项和

专练31等比数列及其前n项和

［基础强化］

一、选择题

1.等比数列｛斯｝的前〃项和为S”公比为q,若S6=9S3,S5=62,则0=()

A.y/2B.2

C.小D.3

答案：B

解析：由题意可得

%(11/)(1—«3)

1-q9乂Lq，

a\(1一/)

—--------------2-------=G

〔l—q

力3=8,

9=2,

即＜ai(l—q得.选B.

=62,〃i=2,

.i-q

2.已知等比数列｛〃”｝满足的=〃，4a2。4=4俏一1，则。2=()

A.±|B.1

C」…

J-16u-16

答案：A

解析：因为4a204=4的-1,所以44q4=4〃i才—1,又。尸0,解得“=±2,所以°2=处勺=0义(±2)

=±1.故选A.

3.等比数列｛%｝中，若为＞0,a2a4=1，的+。2+的=7,则公比g=()

A-4B-2

C.2D.4

答案：B

解析：由等比数列的性质得诏=〃2〃4=1,结合斯＞0,得的=1.由。1+〃2+的=7,得/+亍+的=7,

则4+:=6，结合4＞。，得9=)，故选B.

qq乙

4.等比数列｛斯｝的前〃项和为S〃，且4〃i,2〃2,的成等差数列.若“1=1,则514=()

A.7B.8

C.15D.16

答案：C

解析：•二441,2〃2,的成等差数歹!J,.•・4〃2=441+的.又｛斯｝为等比数列，，49=4+q2,・・.g=2.又〃1=1,

a\(1一1—24

；•&=--=口=15.

5.设｛斯｝是公比为q>l的等比数列，若〃2010和。2011是方程4f—gx+S：。的两根，则〃2012+。2013=

）

A.18B.10

C.25D.9

宏案.

I=I■CA

i3

解析：由题意可得：“2010=2，«2011=2，又｛斯｝为等比数列，・・・夕=3.

927

••。2012+。2013=]+g=18.

Q

6.已知等比数列｛斯｝的前〃项积为〃，若〃1=—24,“4=一§，则当〃取得最大值时，〃的值为（）

A.2B.3

C.4D.6

答案：C

Q11

解析：设等比数列｛如｝的公比为“，则々4=—24炉=一§,^3=—,q=~,此等比数列各项均为负数，

当〃为奇数时，〃为负数，当w为偶数时，。为正数，所以。取得最大值时，〃为偶数，排除B,而乃=（一

24pX自=24X8=192,

「=（一24）4X（J）=84X1>192,

76=（-24）6X（J）15=86X（J）9=.=1X.<y,及最大,故选C.

7.[2022•全国乙卷（理），8]已知等比数列｛公｝的前3项和为168,例一3=42,则期=（）

A.14B.12

C.6D.3

答案：D

'"2

+。2+a?q=168，1+1+/

解析：设等比数列｛斯｝的公比为分由题意知，4两式相除，得g（2/）=4,解

、〃2-。2/=42.

得q=].代入〃2—〃2夕3=42,得“2=48,所以〃6=。2夕4=3.故选D.

8.[2023•新课标II卷]记S为等比数列｛斯｝的前〃项和，若义=-5,S6=21S2,则战=（）

A.120B.85

C.-85D.-120

答案:C

解析：方法一设等比数列｛念｝的公比为式qWO),由题意易知qWl,

7](1一44)

\—q""#=4§

1.所以S8=也一?一=1X(l—44)=—

则《化简整理得4ai

a\(I—/)ai(i一/)------=T1-QJ

i=21X■1l-q3

85.故选C.

方法二易知$2,S4—S2,Se-54,S^—Se,为等比数列，所以(S4—S2)2=S2,(S6一$4),解得$2=—1

或52=1.当52=-1时，由(S6—S4)2=(S4—S2>(S8—S6),解得$8=—85；当S2=|时，结合S4=—5得

7](1一/)

i—q5

〈/2、，化简可得q2=-5,不成立，舍去.所以$8=—85,故选C.

ai(1一一)5

、1—44

9.(多选)已知等比数列｛诙｝的公比为q,前〃项和为S”且满足恁=8俏，则下列说法正确的是()

A.｛公｝为单调递增数列

静-9

B5-9

C.S3,S6,S9成等比数列

D.Sn2cin

答案：BD

解析：由。6=8。3,可得q%3=8〃3,则q=2,

当首项Q1V0时，可得｛斯｝为单调递减数列，故A错误；

由之=：_；3=9,故B正确；

S3,S9

假设S6,成等比数列，可得俄=S3S9,

即(1—26)2=(1—23)(1—29),显然不成立，

所以S3,S6,S9不成等比数列，故C错误；

由｛斯｝是公比4的等比数列，可得s“=干詈=您『=2即一0,故D正确.

二、填空题

10.等比数列｛斯｝的各项均为实数，其前〃项和为a.已知S3=：，$6=竽，则。8=

答案：32

解析：设｛%｝的首项为可，公比为q,

(1一炉)7

f_1

l~q4'

则《，解得j—彳4，

(1—q6)63

q=2.

<l—q4

所以。8=^27=25=32.

H.[2023•全国乙卷（理）]已知｛斯｝为等比数列，〃2。4〃5=〃3。6，〃9。10=—8,则〃7=.

答案:~2

解析：方法一设数列｛斯｝的公比为q,则由〃2〃4。5=。3〃6,得410Qiq3.〃iq4=Q]q2.Q]g5.又〃]W0,且qWO,

所以可得〃iq=l①.又49〃io=〃iq8.Qiq9=Q；q"=—8②，所以由①②可得q"=—8,Q5——2,所以勿=

Qiq6=〃]q.g5=-2.

方法二设数列｛斯｝的公比为d因为。4〃5=。3〃6/0,所以〃2=1.又。9〃10=。2八〃2/=/5=-8,于是q5

=—2,所以an=a2星=—2.

12.设等比数列｛斯｝满足。1+〃2=—1，〃1一〃3=—3,则〃4=.

答案：-8

解析：由｛念｝为等比数列，设公比为?

[〃1+。2=-1,

〔。1一〃3=-3,

\a\~\~a\q=-1,①

即

〔的一〃应2=-3,②

显然qWl,〃iW0,

壬得1—q=3,即4=—2,代入①式可得对=1,

所以。4=〃1夕3=]X（_2）3=_8.

[能力提升]

13.[2023•全国甲卷（理）]设等比数列｛斯｝的各项均为正数，前〃项和为与，若的=1,§5=583—4,则

S4=（）

15「65

A•飞B-y

C.15D.40

答案：C

、、1一/

解析：方法一若该数列的公比4=1,代入S5=5S3—4中，有5=5X3—4,不成立，所以qWl.由]

=5X—4,化简得小—5才+4=0,所以/=1（舍）或/=*由于此数列各项均为正数，所以9=2,

1q

1—/

所以S4="j=15.故选C.

i—q

方法二由已知得l+q+q2+g3+g4=5（i+g+q2）—4,整理得Q+q）q3—4g）=o,由于此数列各项均

为正数，所以q=2,所以S4=l+q+q2+g3=i+2+4+8=15.故选C.

14.设首项为1,公比为1的等比数列｛〃〃｝的前〃项和为，，则（）

A.Sn=2an—\B.Sn=3a〃-2

C.Sn=^—3anD.S〃=3—

答案：D

2

解析：:41=1,q=q,

1-1

”—471）1=3-陪）

—3—2an.

=1,=〃6，则S5=___________.

15.记S“为等比数列｛四｝的前"项和.若的=

答案：号

为=。6,所以（4u3）2=〃q5,所以。©=1,又的=；,

解析：通解:设等比数列｛斯｝的公比为g,因

/5、QX（1—35）

所以尸3,所以S5=1y"=3121

—3,

优解：设等比数列｛斯｝的公比为外因为环二二