2025版 高考试题分析-数学-部分1

一、2024年高考数学全国卷试题评析 1二、2024年高考数学全国卷试题精解 5全国甲卷(理科) 5全国甲卷(文科) 附录一2023年高考数学全国卷 全国甲卷(理科) 全国乙卷(理科) 全国甲卷(文科) 全国乙卷(文科) 附录二2023年高考数学全国卷参考答案 211—2024年高考数学全国卷(一)依托高考评价体系，创新试卷结构设计函数题在试卷中安排在解答题的第2题；概率与统计试题加强了能力考查力度，安排在解答题的倒数第2题。又如新课标I卷将解析几何试题安排在解答题的第2题，数列内容则结合新情境，安排在最后压轴题的习的空间。避免超纲学、超量学，助力减轻学生学业负担。如新课标I量、试题难度之间的关系，统筹协调试题的思维量、计算量和阅读量。应拔尖创新人才选拔需要。如新课标I卷第12题和全国甲卷理科第5析问题和解决问题的能力。如新课标I卷第19题以等差数列为知识背(三)加强考教衔接，引导中学教学二、2024年高考数学全国卷试题精解全国甲卷(理科)【参考答案】AA.{1,4,9}B.{3,4,9选D.在全集A中的补集.试题立足基础，入手容易，体现出面向全体考生、【试题】则：-5的脉值为二元一次不等式(组)的几何意义以及线性规划问题的理解；考查考生数形结合的数学思想和解决问题的能力.【试题分析】直线的两两交点.联立l₁与l₂,求得A(0,-1);联立l₂与l₃,求得B联立l₁与l₃,求得A,B,C三点的取值，可得在点处，目标函数z取得最小【试题】【试题分析】设等差数列{an}的首项为a₁,公差为d,则通项an=a₁+(n-1)d,2024年高考文科数学(全国甲卷)第6题【试题】已知双曲线的两个焦点分别为(0,4),(0,-4),点(-6,4)在该A.4B.3C.2D.√2思路2利用双曲线标准方程，先求a.设双曲线的标准方程由题设可知c=4,故a²+b²=16,联立方程组得(a²-4)(a²-64)=0,正确选项为C.思路3利用双曲线标准方程，先求b.设双曲线的标准方程由题设可知c=4,故a²+b²=16,联立方程组得(b²-12)(b²+48)=0,可得b²=12,故a=2.正确选项为C.【试题亮点】试题题设清晰，简洁明了，对双曲线概念作了基础考查.双曲线作为一种重要的圆锥曲线，有与椭圆类似的几何性质，如轴对称性、中心对称性，存在焦点、焦距、离心率等.本试题解答思路多样，思路1的解题方法快速准确，体现了对数学基本概念的掌握和理解.考生熟知圆锥曲线的标准方程，试题给出对称的两个焦点坐标，有利于考生设方程求解参数a或b,此为思路2和思路3,这两个思路下的解题方法重点考查考生的运算求解能力.试题虽然简单，但立意深刻，旨在引导学生重视教材，回归对数学基本概念的理解和掌握.试题入口多样，给不同水平的考生提供了发挥空间，对高中数学教学发挥积极的引导作用.【试题】B【参考答案】A【试题分析】【试题】【试题】由,cosα≠0,分子、分母同除以cosα,得到关计算得【试题亮点】试题以考生熟悉的形式呈现，题干简洁清晰，解法思路明确.在求解该题时，考生可以利用题设条件，直接求得角的正切果.本题既考查考生对三角公式的掌握，也考查考生在运用三角公式解【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第9题【试题】设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第10题设α,β为两个平面，m,n为两所以n不是两个平面的交线.n与两个平面α,β的位置关系有三种情命题②,若m⊥n,则n⊥α或n⊥β.举命题③,过n做一个平面γ使γ//β,记l=α∩γ,则l//n,l//m,故m//n.命题③为真命题.命题④,若n与α,β所成的角相等，则m⊥n.举出反例，正方体【试题亮点】试题以空间中的直线、平面的位置关系为背景，从性内容，学生需要正确理解、熟练运用这些基础知识以解决相关问题.判断，运用空间想象、逻辑推理等能力作出结论，对考生的理解能力和空间想象能力提出了更高的要求.试题源于理等数学核心素养.试题将多个设问进行组合，形成组合选择题，有利【试题】【试题分析】因得b²=a²+c²-2ac故故若由正弦定理及故事【试题】A.1B.2C.4D.2√5【试题分析】解题思路大值.【试题亮点】直线和圆的位置关系与点到直线的距离公式是解析几何的基本知识点.试题将等差数列融入直线方程作为参数，具有创新性.解决问题的思路立足基础，将问题转化为计算弦心距的最大值后，利用平面几何的知识解决.试题体现了解析几何的基本思想，将方程信息与几何含义相结合，体现了数形结合的思想.试题注重基础，强调知导作用.【试题】思路1对于k=1,2,…,10,有【试题亮点】试题依据有关二项式定理的内容和要求提炼加工而成，考查了考生对二项式定理的理解、掌握和正确运用.通过使用解题思路中给出的两种解法，可以解决求一般的(a+bx)”展开式中系数最大试题立足教材，通过设计与二项式定理、二项式系数相关的问题，求解能力.试题设问明确，严格依据高中课程标准设题，充分体现了高解题思路2√2(r₂-r₁).【试题亮点】试题设置简洁，设问清晰，考查考生的空间想象能力以及对圆台体积等基础知识的掌握.圆台是一个对称几何体，上下底面的半径和圆台的高确定了圆台的大小.试题给出了圆台母线的长，需要考生用母线得到圆台的高.根据母线与高的关系，通过勾股定理可以求出圆台的高，进而可以得出两个圆台体积的比.试题难度适中，注重2024年高考文科数学(全国甲卷)第15题【试题】【考查目标】试题考查对数、对数的换底公式、一元二次方程的因8与4均是2的方幂，故考虑利用换底公式将题目中出现的对数换成以2为底的对数，以方便运算和化简.设log₂a=t,由a>1可知log₂a>0.可得4故由已知得即t²-5t-6=0,解得t₁=6,t₂=-1,【试题亮点】试题巧妙地将一个未知量放置在对数式的不同位置，重点考查对数运算的性质、换底公式、指数运算和一元二次方程等.换底公式是进行对数运算或化简对数函数表达式时的常用公式，试题考查了对基础知识的深入掌握以及灵活运方法，有利于引导一线教学更加关注学生数学素养的提升与综合【试题】有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次，每次取1个球.设m为前两次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n之差的绝对值不大的概考查考生的计数能力以及运算求解能力、逻辑推理能力，也考查考生分解题思路思路1从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记从6个球中无放回地随机取3次，每次取1个球，等可能的基本事件共有6×5×4=120个.以|a-b|的取值情况分类计数满足的基本事件数.的基本事件有16个：(1,2,3),的基本事件有8个：(1,3,2),la-b|=3时满足的基本事件有12个：(1,4,2),的基本事件有12个：(1,5,2),|a-b|=5时满足的基本事件有8个：(1,6,2),可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝思路2从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a,b,c.以c的取值情况分类计数满足的基本事件数.的基本事件有10个；c=3时满足的基本事件有16个；c=4时满足的基本事件有16个；c=5时满足 的基本事件有10个；c=6时满足的基本事件有2个.可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝对值不大的概率为思路3从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a,b,c.以a+b的取值情况分类计数满足的基本事件数.a+b=3时满足的基本事件有2个；a+b=4时满足的基本事件有2个；a+b=5时满足的基本事件有8个；a+b=6时满足的基本事件有8个；a+b=7时满足的基本事件有16个；a+b=8b=10时满足的基本事件有2个；a+b=11时满足的基本事件有2个.可见满足的基本事件数为56,所以m与n之差的绝对值不大的概率为思路4从6个球中无放回地随机取出3个球，其上的数字依次记为a,b,c.A₁表示事件“a<b<c”,A₂表示事件“b<a<c”,A₃表示事件“c<a<b”,A₄表示事件“c<b<a”,A₅表示事件“a<c<A表示事件“m与n之差的绝对值不大则A₁包含20个基本事件，A₁A包含4个基本事件，故;则P(A)=P(B)=P(C),P(AUBUC)=1.由于AB=AC=BC=ABC=“a,b,c或b,a,c或a,c,b或c,a,b的等差数列”包含4种基本事件，因此P(AB)=P(BC)=P(AC)=P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC试题具有较好的开放性，解法多样，给考生提供了广阔的发挥空间.比如，考生可根据|a-b|的取值情况分类计数，也可根据c的取值情况分类计数，还可根据a+b的取值情况分类计数.此外，考生也可以运用事件的运算和概率的性质求得答案.试题的开放性还体现在试题的可扩何?如果是有放回地取出3个球，问题的答案又如何?试题有效地考查了【试题出处】2024年高考理科数学(全国甲卷)第17题2024年高考文科数学(全国甲卷)第18题某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品甲车间0乙车间22优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5.设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率，如果则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了?(√150≈12.247)优级品非优级品甲车间乙车间由于K²>3.841,所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.又由于K²<6.635,所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.(2)由样本数据，抽取的150件产品的优级品率由级品率提高了.可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优【考查目标】试题考查列联表和独立性检验的统计思想、方法及(1)由题设数据可以得到列联表，由列联表中的数据，计算统计量K²的观测值，并与95%的分位数3.841作比较便可得结论：有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；与99%的分位数6.635作比较便可得结论：没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.【试题亮点】在工业生产中，智能化升级改造是提高产品质量和提高生产效率的重要举措.智能化升级改造后，产品质量是否有提高?级品作为产品质量指标，通过分析样本数据得出结论.试题设计的问题既有现实意义，也具有时代特色.试题考查了考生对统计知识和方法的解决问题的能力卡方检验的思想与方法便可得到答案.通过作答可以看出能有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，但没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异.这里“有95%的把握认为甲、间产品的优级品率存在差异”的可靠性能达到95%,即得到该结论而犯错误的概率不超过5%.“没有99%的把握认为甲、乙两车间产在差异”的可靠性达不到99%,即若要求得出“甲、乙两车间产品的优级品率存在差异”之结论而犯错误的概率不超过1%,那么由现有样本还不能推断出结论：甲、乙两车间产品的优级第(2)问进一步要求考生作简单的统计推断，实际上借助了假设检验的基本思想.由于中学数学的统计知识有限用.由样本数据容易算得抽检的150件产品的优级品率为p=0.64,显然大于升级改造前的优级品率0.5,据此是否可以得出“生产线智能化升法.由于150件产品是随机抽取的，150抽检的150件产品的优级品率p相比于0.5较大的可能性会小.如果由值c,使得当p>p+c时就否定前面的假设，即认为生产线智能化升级改线智能化升级改造后，产品的优级品率有提高.临界值c的确定需要应【试题】记S为数列{an}的前n项和，已知4Sn=3an(2)设b=(-1)“-¹na,求数列{bn}的前n项和T₁.(2)Tn=(2n-1)·3"+1.【考查目标】本题考查数列的概念、等比数列的通项公式an=-3an-1·故an=4·(-3)-1.T,=4(1·3°+2·3¹+…+n·3n-1).=2[(1-2n)·3"-1].程标准中数列部分的重要内容.本题给出数列的前n项和与数列通项的【试题】如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=4,AB=BC=EF=2,ED=(2)求二面角F-BM-E的正弦值.(1)由题意知MD=2,BC=2,MD//BC,所以四边形BCDM为平行MB=(√3,-1,0),ME=(0,1,3),MF=(0,-1,3).设平面BMF的法向量n₁=(x,y,z),平面BME的法向量n₂=可取n₂=(√3,3,-1).充分条件是在平面CDE内找到一条直线与BM平行.根据题设条件容易观察得到，只需证明BM//CD即可.因为四边形ABCD是等腰梯形，所思路2直接建立空间直角坐标系.记AM的中点为G,连结FG,BG.因为BM=CD=AB,所以BG⊥AM,同理FG⊥AM.由已知可得BG=√3,FG=3,又FB=2√3,所以FB²=BG²+FG²,即FG⊥BG,所以FG,GD,GB两两垂直.以G为坐标原点，GB的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz.则M(0,1,0),B(√3,0,0),C(√3,2,0),D(0,3,0),则MB=(√3,-1,0),CD=(-√3,1,0),故B(2)思路1建立空间直角坐标系，求出各相关点的坐标，再计算有关向量的坐标表示，利用向量的点积求出两个平面的法向量，解决问题.详见参考答案.思路2综合法—间接法.二面角F-BM-E等于二面角F-BM-A与D-BM-E之和的补角.作FG⊥AM,垂足为G,作EH⊥DM,垂足为H,二面角F-BM-A的余弦值等又由余弦定理可得故二面角F-BM-A的余弦值二面角F-BM-A的正弦值所以二面同理可得二面角D-BM-E的余弦值正弦值所以二面角F-BM-E的正弦值为思路3综合法一直接法.容易证明平面ADEF⊥平面ABCD.在平面FBM中，作FG⊥BM,垂足为G.在平面EBM中，作GH⊥BM,交EB于H,连结FH,则∠FGH为二面角F-BM-E的平面角.由余弦定理有因此可得事事所以思路4综合法一直接法.在平面EBM中，取G为EB的中点，作GN⊥BM,垂足为N.在平思路5综合法一直接法.取N为BM的中点，在平面EBM中，作GN⊥BM交BE于G.在平面角.又又【试题亮点】本题主要围绕简单几何体的线线、线面和面面位置关系，以及简单几何体的度量关系设题.这些位置关系和度量关系是高中几何课程的重要内容，是考生进一步提升推理论证能力、空间想象能力和运算求解能力的重要载体.高考数学学科中的立体几何试题，不断丰富和深入揭示这些位置关系和度量关系，对于引导中学数学教学深化基础，以及选拔具有支撑未来学习能力的考生，都有重要的价值.试题结构层次清晰，设问合理，有利于考生的正常发挥.第(1)问中，证明直线与平面的平行关系，对于考生来说是熟悉的知识，所对应的论证方法也是考生熟悉的，仅需要找到满足判定定理的充分条件的直线即可.第(2)问要求计算一个二面角的正弦值，也是考生所熟悉的.求解此类问题大致有两类策略：第一类是建立空间直角坐标系，首先，求出各点坐标和有