解三角形图形类问题（十大题型）（原卷版）-2025数学一轮复习（含2024年高考试题+回归教材）

重难点突破02解三角形图形类问题

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）.....................................2

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系............................................4

题型三：张角定理与等面积法.....................................................5

题型四：角平分线问题...........................................................6

题型五：中线问题...............................................................7

题型六：高问题.................................................................9

题型七：重心性质及其应用.......................................................10

题型八：外心及外接圆问题.......................................................12

题型九：两边夹问题.............................................................13

题型十：内心及内切圆问题.......................................................14

03过关测试....................................................................15

1/22

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题;

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题,

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

题型一：妙用两次正弦定理（两式相除消元法）

IT-S7C

【典例1-1】(2024・河南・三模)已知P是28c内一点，PB=PC,NBAC=—,NBPC=——，NABP=8.

44

(1)^0——,BC—y/2,求/C；

JT

(2)若e=求tan/2/P.

【典例1-21。8c的内角4瓦。的对边分别为。，仇为/R4c平分线，c:AD:b=@:2:2出.

2/22

⑴求

⑵AD上有点M,ZBMC=90°,求tanZABM.

【变式1-1］如图，在平面四边形/BCD中，ZACB=ZADC=90°,AC=26,NA4c=30。.

⑴若CD=5求BD；

⑵若ZCBD=30°,求tanZBDC.

【变式1-2](2024•广东广州•二模)记”3C的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知

bcosA-acosB=b-c.

⑴求A；

巧

(2)若点。在3C边上，且CD=2AD,cosB——，求tan/BAD.

3

【变式1-3]在中，内角/,B,C所对的边分别为b,c,J.2cos^(ccos5+6cosC)=a.

(1)求角/；

(2)若。是A4BC内一点，403=120。，ZAOC=150°,b=l,c=3,求tan/ABO.

3/22

题型二：两角使用余弦定理建立等量关系

【典例2-1】如图，四边形4BCD中，cosNBAD=g,AC=AB=3AD.

⑴求sin48。；

⑵若/BCD=90°,求tanZCBD.

【典例2-2】如图，在梯形48CD中，AB//CD,AD=y5BC=73.

(1)求证：sinC=y/isinA;

(2)若C=2/,AB=2CD,求梯形/BCD的面积.

【变式2-1］（2024•全国•模拟预测）在锐角AA8C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

2cos22c=3-5cos21手-C).

⑴求角C；

AC

(2)若点。在48上，BD=2AD,BD=CD,求——的值.

4/22

jr

【变式2-2]平面四边形4BCD中，AB=1,AD=2,ZABC+ZADC=n,ZBCD=-.

⑴求5D；

(2)求四边形4BCD周长的取值范围；

(3)若E为边上一点，且满足CE=3£,SABCE=2SACDE,求△BCD的面积.

题型三：张角定理与等面积法

【典例3-1](2024•吉林•模拟预测)的内角4B,C的对边分别是。，仇c,且吧且二臂=伫1,

smCa+b

(1)求角3的大小;

(2)若6=3,。为/C边上一点，BD=2,且8。为的平分线，求“3C的面积.

【典例3-2](2024•黑龙江哈尔滨•二模)记AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知b=4,

2bcosB,sin4

----------=cosAd---------.

ctanC

(1)求角B的大小；

(2)已知直线助为/4BC的平分线，且与NC交于点Z),若80=2也，求“3C的周长.

3

【变式3-1](2024•吉林通化・梅河口市第五中学校考模拟预测)已知锐角的内角C的对边分别

“7r。smB—smC

为｝Q,b,c,且~；——=-一■-—--

b+csin^4-smC

⑴求B；

⑵若6=几，角B的平分线交/C于点D,BD=1,求的面积.

5/22

【变式3-2](2024•江西抚州•江西省临川第二中学校考二模)如图，在“8C中，AB=4,cosB=；，点

D在线段BC上.

DC

(1)若4。。=一，求的长;

4

⑵若皿=2"，的面积为竽,求瞿窑的值.

题型四：角平分线问题

【典例4-1】(2024•全国•模拟预测)已知在△48C中，内角4瓦。的对边分别为名瓦。，且。=6,N/=60。.

(1)若4。为8c边上的高线，求工。的最大值；

m

⑵已知4修为8c上的中线，NB/C的平分线ZN交3c于点N,且tan8=s",求△/MN的面积.

2—cos4

【典例4-2】如图所示，在“3C中，AB=3AC,4D平分NA4C,且=

⑴若DC=2,求8C的长度；

(2)求人的取值范围；

⑶若SA”C=1，求左为何值时，8c最短.

22

【变式4-1】在中，角A,B,。所对的边分别是。，b,c9已知4=9，c-b=accosC.

6/22

⑴求tanC；

(2)作角A的平分线，交边BC于点D,若40=血，求4C的长度;

(3)在(2)的条件下，求“3C的面积.

【变式4-2］已知/3c的内角4SC的对边分别为a,6,c,其面积为S,且

a(b+c-a)(siM+sia8+sinC)=6S

(1)求角A的大小；

(2)若a=47,BA-AC=-3,^A的平分线交边BC于点、T,求47的长.

题型五：中线问题

【典例5-1】如图，在“3C中，已知48=2,AC=6册,/A4c=45。，3C边上的中点为M,点N是

边/C上的动点(不含端点)，AM,BN相交于点尸.

⑴求/胡M的正弦值；

(2)当点N为/C中点时，求/MW的余弦值.

(3)当福.福取得最小值时，设丽=4丽，求2的值.

【典例5-2】(2024•辽宁沈阳・东北育才双语学校校考一模)如图，设“3C中角HB,C所对的边分别为

7/22

]/?1

a,b,c,40为8c边上的中线，已知c=1且2csinNcos8=asin/-bsin8+：bsinC,cosZBAD=---.

47

⑴求6边的长度；

(2)求ABC的面积；

⑶设点E,尸分别为边A8,/C上的动点(含端点)，线段跖交4D于G,且△/£尸的面积为面积

的J，求万•丽的取值范围.

6

【变式5-1】阿波罗尼奥斯(Apollonius)是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯定理是一个关于

三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三边之半的平方和

的两倍，即如果是“3C中8c边上的中线，则/笈+/。2=24^+(竺］.

IT

(1)若在中，AB=5,NC=3,ABAC=-,求此三角形8c边上的中线长；

(2)请证明题干中的定理；

(3)如图“3C中，^AB>AC,。为中点，BD=DC=3,asinN+BbsinB=3bsin(4-C),

SAABC=?，求cos/n4c的值•

【变式5-2】在中，内角A,B,。所对的边分别为a,b,c,3=30°•

(1)已知6=应，bcosA+acosB=2

8/22

⑴求c；

(ii)若a<6,D为48边上的中点，求CD的长.

273

(2)若“8C为锐角三角形，求证:a<---c

3

【变式5-3](2024•江苏南通•模拟预测)在。8C中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,已知

a=2,c1=BA-BC-2y[?,S,其中S为“3c的面积.

(1)求角A的大小；

(2)设。是边BC的中点，若4B_LAD,求4D的长.

题型六：高问题

7T

【典例6-1】(2024•河北秦皇岛•三模)在“3C中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,C=^且

a+b=l,/BC的外接圆半径为迪.

3

(1)求08C的面积；

⑵求^ABC边48上的高〃.

【典例6-2】(2024•四川•模拟预测)在中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,且

A/3Csin8+bcos(N+B)=b.

(1)求角。的大小；

⑵若a=8,的面积为4若，求48边上的高.

【变式6-1]在“3C中，角48,C所对的边分别为a,6,c,已知。=7,c=8.

..4

(1)若sinC=],求角A的大小;

9/22

(2)若b=5,求力。边上的高.

【变式6-2](2024•山东枣庄•一■模)在中，角的对边分别为。也。，且2=siih4tanC.

2c2

⑴求C;

——

(2)若。=8,6=5,CH是边NB上的高，^.CH=mCA+nCB>求一.

题型七：重心性质及其应用

【典例7-1](2024•四川内江•一模)AASC的内角A、B、C所对的边分别为。、b、c,a=6,

,.B+C.

bsm-----=asinBn.

2

(1)求角A的大小；

(2)M为“BC的重心，叔的延长线交5C于点。，且/四=26，求的面积.

【典例7-2](2024•江西景德镇•一模)如图，已知助的重心为C,△45C三内角4、B、。的对边分别

b+c

为Q，b,c.Scos2—=

2~2^

10/22

D

(1)求乙4cB的大小;

TT

(2)若NC48=—,求sinNCZU的大小.

6

【变式7-1](2024・高三•福建福州•期中)已知内角/,B,。的对边分别为Q,b,c,点G是力

的重心，且善.就=0.

⑴若=M①直接写出——=_____；②设/C4G=a,求tana的值

。CG

(2)求cosZACB的取值范围.

【变式7-2](2024•浙江温州•模拟预测)的角4民。对应边是入b,c,三角形的重心是。.已知

04=33=4,00=5.

(1)求a的长.

(2)求“3C的面积.

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题型八：外心及外接圆问题

【典例8-1】(2024•广东深圳•二模)已知在“BC中，角4例C的对边分别为a,6,c,a=痛力=2,c=L

(1)求角A的余弦值；

(2)设点。为AABC的外心(外接圆的圆心)，求前.万，与•就的值.

【典例8-2]已知“BC的内角48,C所对的边分别为a,6,c,a=3,2c-b=2acosB.

⑴求A；

A

(2)M为"BC外心，M的延长线交3C于点D,且〃。=券，求AABC的面积.

【变式8-1]AABC的内角4民C的对边分别为d6,c,c＞瓦森•就=20,AABC的面积为1oG.

⑴求/N;

—•——49

⑵设。点为AASC外心，且满足O8-OC=,求0.

【变式8-2](2024•河南•模拟预测)已知“3C的外心为。，点分别在线段上，且。恰为

九W的中点.

(1)若3c=6,04=1，求”8C面积的最大值；

(2)证明：AM-MB=AN-NC.

【变式8-3](2024•安徽黄山•三模)记》8C的内角4丛。的对边分别为a,6,c,已知c=6,

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b(l+cosC)=A/3CsinB.

(1)求角。的大小和边6的取值范围;

(2)如图，若。是"的外心，求历•在+的最大值.

题型九：两边夹问题

【典例9-1】在A43C中，角C所对的边分别为6,c,若cos/+sin/-^—2——=0,则巴也的值

sinB+cosBc

是()

A.2B.百C.V2D.1

【典例9-2】在A4BC中，a、b、c分别是//、ZB./C所对边的边长.若

cos/+sin/----------——=0,则史史的值是().

cos5+sin5c

A.1B.V2C.V3D.2

【变式9-1］在A45C中，已知边见仇。所对的角分别为4民。，若

2sin25+3sin2C=2sin24sin5sinC+sin2A，贝UtanZ=

【变式9-2］(2024•江苏苏州•吴江中学模拟预测)在A48C中，已知边。，仇。所对的角分别为4瓦。，若

5-2cos25-3cos2C=2sinAsin5sinC+sin2A，贝！JtanA=.

【变式9-3］在A4BC中，已知边。、b、。所对的角分别为A、B、C,若口=后，

2sin2B+3sin2C=2sinAsin5sinC+sin2A，则A/45C的面积S=.

【变式9-4】在“BC中,(cosA+sin^t)(cosB+sin5)=2,则角C=—.

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题型十：内心及内切圆问题

【典例10-1](2024•全国•模拟预测)设。8c的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足

2acosB+b=2c,a=5.

(1)求的周长的取值范围；

(2)若的内切圆半径/=少，求的面积S

【典例10-21(2024・湖南永州•一模)在"3C中，设4例。所对的边分别为见仇c,且满足

ccosA-acosC=a+b.

⑴求角c；

(2)若C=5,A/3C的内切圆半径y=立，求的面积.

4

【变式10-1](2024•全国•模拟预测)已知“3C中，角A,B,C的对边分别是。，b,c,

-csinA=-JiacosC•

(1)求角A的大小；

D

(2)若。=7,"BC外接圆的半径为火，内切圆半径为尸，求一的最小值.

【变式10-2】(2024•全国•模拟预测)在“中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且

sin24•sin28

sin2A•sin2B=

4

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⑴求c；

(2)若c=2,求“3C内切圆半径取值范围.

【变式10-3](2024•广西南宁•一模)在“3C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=2,且

sinA+smB_b-c

sinCb-a

(1)求心IBC的外接圆半径R；

(2)求^ABC内切圆半径r的取值范围.

【变式10-4】(2024•吉林•二模)已知的三个内角4SC的对边分别为a,6,c,A/3C的外接圆半径为

G，J3.sin25+sin2C-sinSsinC=sin2^4.

⑴求。；

(2)求^ABC的内切圆半径r的取值范围

0

///I过去测,八J试V

1.如图所示，在中，设。也。分别为内角45,。的对边，已知b+c=3a,b=4(c-Q).

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A

(1)求角C；

⑵若c=7,过8作ZC的垂线并延长到点D,使4及四点共圆，4c与BD交于点、E,求四边形

48。的面积.

2.如图，在梯形4BCD中，AB//CD,Z£>=60°.

(1)若/C=3,求A/CD周长的最大值；

(2)若CD=2AB,ZBCD=45°，求tanZDAC的值.

3.(2024•全国•模拟预测)在“中，已知sin(/8/C—/8)=sin6+sinC.

(1)求/A4c.

(2)若/C=248,/A4c的平分线交3C于点D,求cos/4D8.

4.(2024・四川成都•模拟预测)在“3C中，角4瓦。所对的边分别为。,上仁且园sin包£=asin5,边

2

BC上有一动点。.

(1)当。为边中点时，若AD=6,b=2,求c的长度；

(2)当4D为的平分线时，若。=4,求4D的最大值.

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5.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知函数/（x）=sin]x+T}in[x+/]-；,角/为△4BC的内角，且

/(^)=0,

（1）求角A的大小；

（2）如图，若角力为锐角，4B=3,且的面积S为孚，点£、/为边A8上的三等分点，点。为边

NC的中点，连接。厂和EC交于点“，求线段的长.

6.（2024•全国•模拟预测）在“3C中，角4&C,的对边分别为。，4c,“3C的面积为S,

4Ggi2kin（2/+8）+；

31sinB

⑴求角A.

（2）若“8C的面积为3®,a=D为边BC的中点，求的长.

7.（2024・四川成都•三模）在中，BC=5,AC=6,cosS=-.

8

（1）求的长；

⑵求/C边上的高.

8.（2024•江苏南通•三模）在“5C中，角4民。的对边分别为。也。,（2b-C）COS4=QCOSC.

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⑴求A;

(2)若AASC的面积为6,BC边上的高为1,求AABC的周长.

9.(2024・高三・河南•开学考试)在“3C中，内角43,C所对的边分别为a,6,c,且满足

=]asinS+2csin4+2(6+c)sinC

(a+6+c)(sirU+sinS+sinC)

⑴求cosC；

(2)若/B边上的高为2,c=V^，求。力.

10.(2024•高三・山东济南•开学考试)在AABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知

bcosA=a(2-cos5).

⑴求二；

a

2兀

(2)若2且/C边上的高为百，求“3C的周长.

11.在—8C中，设。，b,c分别表示角A,B,C对边.设BC边上的高为人且“=2〃.

(1)把2+§表示为xsinN+ycos/(x,yeR)的形式，并判断+£能否等于2啦？说明理由.

cbcb

(2)已知8,C均不是直角，设G是AABC的重心，BGLCG,c>b,求tanB的值.

12.(2024•江苏苏州•二模)记》8C的内角4B,C的对边分别为0,4c,已知生w=安*!电

csirU-sinn

⑴求角A；

(2)若4=6,点M为448c的重心，且/四=2百，求08C的面积.

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13.(2024•河南开封•模拟预测)记“8C的内角4民。的对边分别为。也已知

43asinB-acosC=ccosA,b=y[6,G为^ABC的重心.

(1)若Q=2,求。的长；

(2)若/G=@，求”3C的面积.

3

14.(2024・辽宁抚顺•一模)记AA8C的内角4RC的对边分别为0,瓦c,已知

(a+b)(siih4-sinB)=c(sinC-sinB).

⑴求角A；

(2)若。=6,点M为“8C的重心，且/四=2百，求AASC的面积.

15.在“3C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c是公差为2的等差数列.

(1)若2sinC=3sin/,求/BC的面积.

(2)是否存在正整数6,使得“3C的外心在“8C的外部?若存在，求b的取值集合；若不存在，请说明理

由.

16.(2024・湖北•模拟预测)已知“BC的外心为。，为线段Z8,/。上的两点，且。恰为中点.

(1)证明：|W|・|〃B|=|4N|-|NC|

s

(2)若[4。|=百，\OM\=l,求£3的最大值.

»VABC

19/22

3

17.在AA8C中，角48