高考数学一轮复习题型与专项训练：常用逻辑用语题型战法

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

1.2.1常用逻辑用语(题型战法)

知识梳理

一命题与量词

1.命题的概念

可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称为假命题。

2.量词

(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

用符号“V”表示.

全称量词命题：含有全称量词的命题.

对集合M中所有元素£?(比)成立，可简记为p(x).

(2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分.

用符号表示.

存在量词命题：含有存在量词的命题.

存在集合M中所有元素%,S(K)成立，可简记ixGAf,p(x).

二全称量词命题与存在量词命题的否定

1.命题的否定

(1)命题的否定：一般地，对命题"加以否定，就得到一个新的命题，记作”，读作非°或°的

否定.

(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题.

(3)如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定就应该是真命题.

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)一般地，存在量词命题FxGM,p(x)"的否定是「p：F(X).

(2)一般地，全称量词命题q(x)”的否定是「p：VxGM,rp(x).

(3)结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

三充分条件、必要条件

1.充分条件、必要条件

(1)在“如果p,那么炉形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果),那么q”是一个真

命题，则称由p可以推出q,记作p今q；否则，称由p推不出q,记作

(2)当pnq时，我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件.

(3)当2万彳时，我们称。不是q的充分条件，q不是2的必要条件.

2.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件

(1)如果p今q且qRp,则称p是q的充分不必要条件.

(2)如果p=Aq且q=>p,则称p是q的必要不充分条件.

(3)如果且qnp,则称p是q的充要条件.

(4)如果。中q且qRp,则称〃是q的既不充分也不必要条件.

3.从集合角度来判断充分与必要

若P以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，贝|

(1)若AUB,则p是q的充分条件.

(2)若BUA,则p是q的必要条件.

(3)若人=8,则p是q的充要条件.

题型战法

题型战法一命题

典例1.下列语句为命题的是(

A.%>1B.你们好!C.下雨了吗？D.对顶角相等

变式1-1.下列语句是命题的是()

(1)%2-3=0；(2)画线段AB=CD；(3)3+1=5；(4)VxER,5x-3>6

A.(1),(2)B.(3),(4)C.(2),(3),(4)D.(1),(2),(3),(4)

变式1-2.下列命题中，真命题的是()

A.函数y=s讥|%|的周期是兀B.Vx>0,2X>x2

C.函数/（%）=In%是奇函数D./（%）=Inx（x>0）的导函数—（支）是减函数

变式1-3.下列命题是真命题的是（）

A.所有的素数都是奇数B.若Q,5都是无理数，则Q+力是无理数

C.若集合AU8,则4nB=4D.VmER,不等式％2—mx+1>0恒成立

变式1-4.下列四个命题中，为真命题的是（）

A.若贝桁加>B.若a>b,c<d,则Q—c<b—d

C.若则/D.若则

ab

题型战法二全称命题与特称命题的真假

典例2.下列命题是真命题的是（）

2X

A.X/xER,x>0B.3x0ER,20>1

C.3%oGR,XQ<0D.VxGR,2"之1

变式2-L在下列命题中，是真命题的是（）

A.3%£/?,%2+%+3=0

B.VxE7?,%2+%+2>0

C.XfxER,x2>\x\

D.已知A={a\a=2n},B={b\b=3m},则对于任意的n,?nGN*,都有力CB=0

变式2-2.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.VxER,有（以『=久B.所有的质数都是奇数

C.至少有一个实数式，使久2式。D.有的正方形的四条边不相等

变式2-3.已知命pT%CR,使s讥X+cos%=2,命题“：/一3%+2<0的解集是{%|1V%V2},那

么下列说法错误的是（）

A.命题p是假命题B.命题q为真命题

C.命题?与命题q的真假相反D.命题“与命题q的真假相同

变式2-4.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（）

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数x,使/《）

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使工>2

X

题型战法三由命题的真假求参数

典例3.已知命题：“VxGR,方程产+4x+a=0有解”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.a<4B.a<4C.a>4D.a>4

变式3-1.已知%第60%2一。>0，，是真命题，则实数Q的取值范围是（）

A.{a|a<0}B.{a\a<0}

C,{a\a>0}D.{aIa>0）

变式3-2.[1,2],3x—Q<0，，为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a>—2B.a<-2

9Q

C.a4—D.a之—

44

变式3-3.若FKe+§>2m”是假命题，则实数m的最小值为（）

A.1B.--C.-D.3

222

变式3-4.若命题勺％641一/>6，，是真命题，则实数根的取值范围是（）

A.（-oo,1）B.（-oo,1]C.（1,+oo）D.[1,+oo）

题型战法四含有一个量词的命题的否定

典例4.命题：mx〉0,s讥(％-1)21的否定为()

A.3%>0,5171(x—1)<1B.3%<0,s讥(％—1)>1

C.Vx>O,sin(x-1)<1D.Vx<O,sin(x-1)<1

变式4-1.命题T%o€R,峭。一1N%。”的否定是()

xx

A.3XQER,e°—1<x0B.3x0ER,e°—1<x0

C.X/xER,ex—1<xD.VxG/?,ex—1<x

变式4・2.命题“V%。E(0,+oo),lnx0<x0-1”的否定是()

A.3x0G(0,4-oo),lnx0>x0—1B.3x0(0,+oo),lnx0<x0—1

C.Vx0G(0,+8),Inx0>XQ—1D.Vx0任(0,+oo),Inx0>x0—1

变式4-3.命题“对VxGR,都有sin%<一1”的否定为()

A.对VxCR,都有Z=8B.对VxCR,都有s讥％W-1

C.Bx0gR,使得si几支0>一1D.3x0GR,使得sin%。>一1

变式4-4.命题F%oG(0,+oo),2%。+s讥&<0”的否定是()

A.X/xG(—oo,0),2X+sinx>0B.VxE(0,+oo),2X+sinx>0

XX

C.现£(YO,。)，2°+sinx0>0D.3x0E(01+GO),2°+sinx0>0

题型战法五判断命题的充分条件与必要条件

典例5.设XCR,贝是“|x—2|W3”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式5-1.已知见力都是实数，则“1~"1吗"'是，＜5"的（）

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式5-2."%2+2x<63"是牛|<7”的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

变式5-3.，〉代“是,＞京”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式5-4.若。：2<x<4,q：14久W3,则P为“的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

题型战法六充分条件与必要条件的综合应用

典例6.“直线4%+3y+m=0与圆/+/-2尤=0相切”是“加=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式6-1.已知久G（0,兀），则=I”是"cosx=的（）

on5v*oyv5

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

变式6-2.已知向量6=（6,2）,反=（2,1），则“心-1”是日夹角为锐角''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

变式6-3.已知函数/（久）=x3-|%2-a阮久，则“a<一，提”函数/（久）在（0,+oo）上单调递增”的（）

条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

22

变式6-4.“0<租<2"是'方程上+人=1表示焦点在尤轴上椭圆”的（）

m2-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

题型战法七根据充分条件与必要条件求参数

典例7.已知条件P：-1<X<1,q；x>机，若。是q的充分不必要条件，则实数6的取值范围是（）

A.[-l,+oo）B.C.（-1,0）D.（-oo,-l]

变式7-1.已知p："<0,q-.x2-ax+3a<0,若。是q成立的充分不必要条件，则实数a的取值

范围是（）

A.a<jB.a<-l

C.a<0D.a<1

变式7-2.若“0<久<3”是“久>三”的充分不必要条件，则实数。的取值范围是（）

A.(0,1)B.[0,1]C.[0,1)D.[0,+<»)

变式7-3.已知p:-/+7久+8>0；q:x2—2x+1—m2<0（其中m>0）.若P是q的必要不充

分条件，则实数税的取值范围为（）

A.（0,8）B.（0,1）C.[2,8]D.（0,2）

变式7-4.已知集合A={x|久2—2%—3<0},B={x||x-a\<1}.设p：xEA,q：xEB,若p

是q的必要不充分条件，则实数。的取值范围是（）

A.[0,2]B.（-oo,0]

C.[2,+oo）D.[-1,2]

第一章集合与常用逻辑用语、不等式

1.2.1常用逻辑用语(题型战法)

知识梳理

一命题与量词

1.命题的概念

可供真假判断的陈述语句是命题，而且，判断为真的语句称为真命题，判断为假的语句称

为假命题。

2.量词

(1)全称量词：一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体.

用符号“V”表示.

全称量词命题：含有全称量词的命题.

对集合M中所有元素x,r(x)成立，可简记为VxGM,p(x).

(2)存在量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或

部分.

用符号叼”表示.

存在量词命题：含有存在量词的命题.

存在集合M中所有元素x,s(x)成立，可简记我6加，p(x).

二全称量词命题与存在量词命题的否定

1.命题的否定

(1)命题的否定：一般地，对命题0加以否定，就得到一个新的命题，记作Y，读

作非P或P的否定.

(2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就应该是假命题.

(3)如果一个命题是假命题，那么这个命题的否定就应该是真命题.

2.全称量词命题与存在量词命题的否定

(1)一般地，存在量词命题“mxe"，Mx)"的否定是「必axGM,rq(x).

(2)一般地，全称量词命题"Vxew,q(x)”的否定是「aVxGM,rp(x).

(3)结论：全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题。

三充分条件、必要条件

1.充分条件、必要条件

(1)在“如果p,那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论.若“如果p,

那么q”是一个真命题，则称由p可以推出g,记作p今q；否则，称由p推不出q,记作pAq.

(2)当pnq时，我们称p是q的充分条件，q是0的必要条件.

(3)当pRq时，我们称〃不是q的充分条件，“不是p的必要条件.

2.充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件

(1)如果且4舲0,则称。是q的充分不必要条件.

(2)如果pRq且qnp,则称p是q的必要不充分条件.

(3)如果p=>q且则称p是q的充要条件.

(4)如果pAq且则称"是4的既不充分也不必要条件.

3.从集合角度来判断充分与必要

若P以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，贝。

(1)若AUB,则p是q的充分条件.

(2)若BUA,则p是q的必要条件.

(3)若人=8,则p是q的充要条件.

题型战法

题型战法一命题

典例1.下列语句为命题的是()

A.x>lB.你们好！C.下雨了吗？D.对顶角相等

【答案】D

【解析】

【分析】

根据命题的定义判断即可.

【详解】

因为能够判断真假的语句叫作命题，所以ABC错误，D正确.

故选：D

变式1-1.下列语句是命题的是()

(1)%2-3=0；(2)画线段4B=CD；(3)3+1=5；(4)VxeR,5x-3>6

A.(1),(2)B.(3),(4)C.(2),(3),(4)D.(1),(2),(3),

(4)

【答案】B

【解析】

【分析】

根据命题的概念判断.

【详解】

由可以判断真假的陈述句为命题，可知(1)、(2)不能判断真假，(3)、(4)判断为

假，所以(3)、(4)是假命题；

故选：B

变式1-2.下列命题中，真命题的是()

A.函数y=的周期是兀

B.Vx>0,2X>x2

C.函数/'(%)="》是奇函数

D./(无)=lnx(x>0)的导函数/'(x)是减函数

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角函数，指数函数，对数函数及导数的性质可得答案；

【详解】

解：

A选项：函数y=的不是周期函数，故A错误；

B选项：当尤=2时，2工=无2,故B是假命题，B错误；

C选项：很显然根据久支)=仇久的图像可知为非奇非偶函数，故C错误；

D选项：/(%)=Znx(%>0),/'(无)=j在(0,+oo)上单调递减.，D正确.

故选：D

变式1-3.下列命题是真命题的是()

A.所有的素数都是奇数B.若a,b都是无理数，则a+6是无理数

C.若集合AUB,则AnB=AD.VmER,不等式久2—恒为+1〉o恒成

立

【答案】C

【解析】

【分析】

AB选项可以举出反例，C选项可以证明是正确的，D选项用函数与不等式的关系,

利用根的判别式说明是错的

【详解】

对于选项A,2是素数，不是奇数，选项A错误；

对于选项B,a=V2,b--V2,为无理数，而a+b-0不是无理数，选项B错误；

对于选项C,若ZU即A是B的子集，故=4选项C正确；

对于选项D,当/=m2—4>0,即m<—2,或zn>2时，存在工,使——rnx+1<0,

选项D错误.

故选：C.

变式1-4.下列四个命题中，为真命题的是（）

A.若a>b,则aVF>B.若a>b,c<d,则a—c<b—d

C.若a>b,则>川D.若a>b,贝/>?

ab

【答案】C

【解析】

【分析】

AD选项可以举出反例，BC选项用不等式的基本性质

【详解】

当c=0时，A不成立；

,**cVd9—c>—dj

又,

.\a-c>b—d,故B不成立；

当a=2,b=l.时，D不成立；

由不等式基本性质：可得合,〃，c选项正确.

故选：C

题型战法二全称命题与特称命题的真假

典例2.下列命题是真命题的是（）

2X

A.XfxER,X>0B.3x0ER,2°>1

C.3XQER,<0D.\fxER,2V>1

【答案】B

【解析】

【分析】

由平方数、指数函数的性质，直接判断各命题的真假.

【详解】

由VKGR,x2>0,故A、C错误；

当x>0时，2X>1,当xW0时，2^^1,故B正确，D错误；

故选：B.

变式2-1.在下列命题中，是真命题的是（）

A.BxER,x2+x+3=0

B.VxER,x2+x+2>0

C.VxER,x2>|x|

D.已知2={aIa=2n],B=（b\b=3m},则对于任意的凡THGN*,都有AnB=0

【答案】B

【解析】

【分析】

可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/

【详解】

选项A,BXER,X2+X+3^0,即久2+尤+3=0有实数解，所以/=1-12=

-1K0,显然此方程无实数解，故排除；

选项B,VxGR,x2+x+2>0,x2+x+2-（x+-）2+->->0»故该选项正

244

确；

选项C,VxER,x2>\x\,而当x=0做0〉0,不成立，故该选项错误，排除；

选项D,A=[a\a=2n},B={b\b=3m},当?i,meN*时，当a、b取得6的正整

数倍时，4CBH0,所以，该选项错误，排除.

故选：B.

变式2-2.下列命题既是全称量词命题又是真命题的是（）

A.V%CR,有（夜户二久B.所有的质数都是奇数

C.至少有一个实数%,使％2工0D.有的正方形的四条边不相等

【答案】A

【解析】

【分析】

利用全称量词命题和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所

有的都成立.

【详解】

对于A,是全称量词命题，且为真命题，所以A正确，

对于B,是全称量词命题，而2是质数，但2不是奇数，所以此命题为假命题，所

以B错误，

对于C,是特称量词命题，所以C错误，

对于D,是特称量词命题，且为假命题，所以D错误，

故选：A.

变式2-3.已知命p:3%GR,使s讥久4-cosx=2,命题-3x+2<。的解集是{久［1<

久<2},那么下列说法错误的是（）

A.命题2是假命题B.命题q为真命题

C.命题p与命题q的真假相反D.命题p与命题q的真假相同

【答案】D

【解析】

【分析】

根据smx+cosx在R上的取值范围是［-夜，判断命题p是假命题；根据解一元

二次不等式，可得命题q是真命题，即可得解.

【详解】

解：sinx+cos尤=0sin（x+5）,,及<2,即s讥X+COSX€［-鱼，回，:命题。为假命题；

•••%2-3%+2<0即（久-2）（x-1）<0,解得1<久<2,即％2—3久+2<0的解集

是{%|l<x<2},.•.命题q为真命题；

命题。与命题q的真假相反，

故选：D

变式2-4.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是（）

A.锐角三角形有一个内角是钝角

B.至少有一个实数x,使/W0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使工>2

X

【答案】B

【解析】

【分析】

结合存在性命题的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

锐角三角形的内角都是锐角，A是假命题.

%=0时，%2<0,所以B选项中的命题既是存在性命题又是真命题.

V2+（-V2）=0,所以C选项中的命题是假命题.

x<0时，-<0<2,所以D选项中的命题是假命题.

X

故选：B

题型战法三由命题的真假求参数

典例3.已知命题：方程久2+4久+a=0有解”是真命题，则实数。的取值

范围是（）

A.a<4B.a<4C.a>4D.a>4

【答案】B

【解析】

【分析】

由根的判别式列出不等关系，求出实数。的取值范围.

【详解】

FeR,方程/+4久+a=0有解”是真命题，故/=16-4a20,解得：aW4,

故选：B

变式3-1.已知“VxCR,/-a>0”是真命题，则实数a的取值范围是（）

A.{aIa<0}B.{aIa<0}

C.{a|a>0}D.{a|a》0}

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意只需要求y=/的最小值即可.

【详解】

命题“V%CR,/-a>0”是真命题，即a《久2恒成立，得④o.

故选：A

变式3-2.“Vxe[l,2],好-3》“《0”为真命题的一个充分不必要条件是（）

A.a〉一2B.ci<—2

9Q

C.a4—D.aN—

44

【答案】A

【解析】

【分析】

利用参数分离法得到4.（尤2-3x）u，X/，2],再求出y=——3支在[1,2]上的最值，

结合充分不必要条件分析即可.

【详解】

\/%£口，2],九2_3x—%0为真命题，

—

••a.（x3x）max,%£[1,2],

y=x2-3x=（x-^）2~,

二当/=1或X=2时，ymax=-2,Aa>-2,

（-2,+a））U[-2,+oo）,

••Vxe[l,2],/_3x_@。为真命题的一个充分不必要条件是。>一2,

故选：A.

变式3-3.若叼％6R,s讥+是假命题，则实数根的最小值为（）

A.1B.--C.-D.在

222

【答案】c

【解析】

【分析】

根据题意可得1％67?声出（：久+9工2771”是真命题，故只要5也弓％+9即可，

\23/max

求出5也（；%+§的最大值，即可求出血的范围，从而可得出答案.

【详解】

解：因为叼久CR,sing比+§>2m”是假命题，

所以其否定“V尤6R,sin^x+^<2m”是真命题，

故只要S讥Gx+9即可，

"3/ma%

因为+9的最大值为1,

所以2m21,解得mN5

所以实数根的最小值为最

故选：C.

变式3-4.若命题叼％CR,1-/>加，是真命题，则实数小的取值范围是()

A.(-oo,1)B.(-oo,1]C.(1,+co)D.[1,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据特称命题为真命题得到判别式A>0,即可得到结论.

【详解】

若命题FxER,1—x2>巾”是真命题，

即尤2+〃7—1<0有解，

则对应的判别式/>0,即4=-4(m-1)>0,

解得m<1,

故选：A

题型战法四含有一个量词的命题的否定

典例4.命题：mx>0,sE(久一1)21的否定为()

A.3%>0,sin(x-1)<1B.3%<0,sin(x-1)>1

C.Vx>0,sin(x-1)<1D.Vx<0,sin(x-1)<1

【答案】C

【解析】

【分析】

根据特称命题的否定为全称命题可求解.

【详解】

根据特称命题的否定为全称命题，因此命题：3%>0,sin(x-1)>1的否定为“Vx>

0,sin(x-1)<1”.

故选：C.

变式4-1.命题FKOER,靖。一12与”的否定是()

xx

A.3x0GR,e°—1<x0B.3x0GR,e°—1<x0

C.\/xER,ex—1<xD.VxER,ex—1<x

【答案】D

【解析】

【分析】

根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可；

【详解】

命题F&eR,e*。一1N%o”为特称量词命题，其否定为Vx€R,ex-1<x；

故选：D

变式4-2.命题“V%oe(0,+oo),济久0Mx。—1”的否定是()

A.3x0G(0,+oo),lnx0>x0—1B.3x0(0,4-oo),lnx0<x0—1

C.Vx0G(0,+oo),Znx0>x0—1D.Vx0g(0,+co),lnx0>x0—1

【答案】A

【解析】

【分析】

利用全称量词命题的否定即可得出结论.

【详解】

命题“v%oe(0,+oo),Inx0<x0-1”为全称量词命题,

该命题的否定为FxoG(0,4-oo),Inx0>x0-1”.

故选：A.

变式4-3.命题“对V%CR,都有s沅久W-1”的否定为()

A.对V%eR,都有AnBB.对VxGR,都有sinxW-1

C.3x0<i.R,使得sin%。>一1D.3x0GR,使得sinx。>-1

【答案】D

【解析】

【分析】

全称命题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定.

【详解】

VxER,都有sinxW-1的否定是三万。eR,使得sEx。〉一1.

故选：D

变式4-4.命题叼&G(0,+oo),2*。+sinx0<0”的否定是()

A.VxE(―co,0),2X+sinx>0B.V久C(0,+oo),2X+sinx>0

XX

C.%e(T»,0),204-sinx0>0D.3x0G(0,+co),2°+sinx0>0

【答案】B

【解析】

【分析】

根据含有一个量词的命题的否定的方法即可求解.

【详解】

命题“三》0e(0,+oo),2"。+sin&<0"的否定是"VxW(0,+8),2x+sinx>0".

故选：B.

题型战法五判断命题的充分条件与必要条件

典例5设久6R,则“T〈x<2”是“|x—2|W3”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式反-2|<3,利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】

由|久一2|W3可得一3<%-2<3,解得—1<%<5,

因为{久1—1<％<2}{x\-l<x<5},因此，“—lWx<2”是“|久—2|W3”的充分而

不必要条件.

故选：A.

变式5-1.已知见匕都是实数，贝口吗。<1暇是“a<b”的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据充分条件，必要条件的定义以及对数函数的单调性即可判断.

【详解】

若logs。<log.：。，根据函数y=/。以%在（。，+00）上递增，所以a<6；

若a<b时，满足a<b<0,则logsavlogs%不成立；

所以“log3a<log3）”是“a<b”的充分不必要条件.

故选：B.

变式5-2.“％2+2x<63”是“|用47"的（）

A.充要条件B.必要不充分条件

C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

求出/+2支463的解集，看和久2+2》463的推出关系，即得答案.

【详解】

由久2+2》463,得一塞/7,不能推出因《7,

由㈤47,得-7瓢7,能推出-辍k7,

故“/+2%463”是“闭《7”的必要不充分条件，

故选：B

变式5-3.“a>仿”是“a>占的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

解两个不等式，即可得出结论.

【详解】

由a>仍可得｛a2a解得a>l,由a>\得｛：：；，解得a>1,

所以，“a〉疝'是“a>专”的充分必要条件.

故选：C.

变式5-4.若外2<%<4,q：1<%<3,贝”为乡的（）

A.充分必要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.

【详解】

解：因为。：2<%<4,q：1<%<3,

所以p+q,q+p,

所以。为4的既不充分又不必要条件.

故选：D.

题型战法六充分条件与必要条件的综合应用

典例6.“直线4%+3》+巾=0与圆/+；/-2尤=0相切”是“加=1”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

先表示出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径，结合充分必要条件的判断

即可求解.

【详解】

（x—I）24-y2=1,圆心（1,0）,半径为1,由直线4久+3y+m=0与圆/+y?-2x=0

相切得鲁驾=1,解得m=1或一9,故“直线4尤+3y+m=0与圆/+_/-2x=。相

切”是“TH=1”的必要不充分条件.

故选：B.

变式6-1.已知久e（0,兀），则“sinx=I"是'cosx=!”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

利用三角函数的定义解题即可.

【详解】

因为无€（0,兀），所以当=|，尤可以是锐角也可以时钝角，所以cos比=±g所

o11155

以不满足充分性；

当cos久=（时，X必为锐角，所以sin久=I成立，必要性满足

故选：B

变式62已知向量&=（皿2）,b=（2,1），则“，心-1”是4,3夹角为锐角''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量数量积的定义及坐标表示有2-b=\a\\b\cos<a,b>=2m+2，由题设条

件间的推出关系，结合充分、必要性的定义即可得答案.

【详解】

由题设，a-b=\d\\b\cos<a,b>=2m+2,

当〃?>-i时，注意可能<a,B>=o,故充分性不成立；

当d，另夹角为锐角时，2m+2>0,即〃2>-1,故必要性成立；

故选：B

变式6-3.已知函数/（无）=工3一一&仇》,则“a<堤”函数/（久）在（0,+oo）上

29

单调递增”的（）条件

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必

要

【答案】A

【解析】

【分析】

由函数/（乃在（0,+8）上单调递增可得/（%）=3%2-3%-^>0恒成立，进而可得

a<-^再利用充分条件，必要条件的定义即得.

【详解】

,.*/(%)=%3—|%2—aInx,

.,./(%)=3x2—3%—p

由函数/(%)在(0,+8)上单调递增可得，尸(%)=3/一3%-(之0恒成立，

・•・/(%)=3%2-3%-^>0即a<3%3-3/恒成立，

设。(%)=3%3—3%2,则g'(%)=9%2—6%=3x(3x—2)，

3

Axe(0，|)时,g'(%)<。，9(%)=3%-3/单调递减，%e6+8)时，"(%)>0,

g(%)=3%3—3产单调递增,

・•・加(1)(1)3(1)工小

-,-a<即函数/(无)在(0,+8)上单调递增等价于a<

；."a<是“函数/(%)在(0,+8)上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A.

22

变式6-4.“0VmV2”是“方程上+上二=1表示焦点在x轴上椭圆”的()

m2-m

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【分析】

22

先根据方程上+匚=1表示焦点在X轴上的椭圆求出久的取值范围，再根据充分必

m2—m

要条件的定义即可求解.

【详解】

22

解：•.•方程上+匚=1表示焦点在X轴上的椭圆，

m2-m

m>0

・,・2—m>0,

,m>2—m

解得：1VznV2,

22

lt0<m<2”是“方程二+1=1表示焦点在X轴上椭圆”的必要不充分条件.

m2-m

故选：C.

题型战法七根据充分条件与必要条件求参数

典例7.已知条件p：-1