2024年人教版八年级上册数学同步训练：等腰（边）三角形的判定与性质（30题）（解析版）

专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质

—.解答题（共30小题）

1.（2022秋•韩城市期末）如图，已知点。，£分别是△N8C的边8/和8c延长线上的点，作/LUC的平

分线AF,若AF〃BC.

（1）求证：△NBC是等腰三角形；

（2）作/NCE的平分线交/尸于点G,若N3=40°,求/ZGC的度数.

【分析】（1）根据角平分线定义得到根据平行线的性质得到/。/尸=/8,NCAF=N

ACB,于是得到结论；

（2）根据三角形的内角和得到NA4c=100°,由三角形的外角的性质得到=

140。，根据角平分线定义得到NACG=///CK=7O°，根据平行线的性质即可得到结论.

【解答】（1）证明：/平分/D/C,

ZDAF=ZCAF,

,JAF//BC,

；./DAF=/B,ZCAF=ZACB,

：./B=NACB,

.•.△/2C是等腰三角形；

（2）解：'：AB=AC,Z5=40°,

AZACB=ZB=40°,

/.ZBAC=100°,

：.AACE=ZBAC+ZB=140°,

：CG平分//CE,

二NACG=、N/CE=70°，

'JAF//BC,

：.ZAGC=180°-Z5CG=180°-40°-70°=70°.

A/q尸

B

E

2.(2023春•修水县期末)在△/5C中，3。和CD分别平分/4BC和N/C5,过点。作E尸〃2C,分别交

AB,/C于点E,F.

(1)若N2=/C,请判断△/斯是否是等腰三角形，并说明理由;

(2)若△4BC的周长为18,BC=6,求△4EF的周长.

【分析】(1)根据等腰三角形的判定和性质即可得到结论；

(2)根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质即可得到结论.

【解答】解：(1)△/£尸是等腰三角形，

理由：,:AB=AC,

：.NABC=/ACB,

•：EF//BC,

：.NAEF=AABC,NAFE=ZACB,

：.ZAEF=ZAFE,

；.△/斯是等腰三角形；

(2);△(SC的周长为18,BC=6,

：.AB+AC=18-6=12,

:BD平分/ABC,

：.ZABD=ZCBD,

,JEF//BC,

：./EDB=NDBC,

：./ABD=ZEDB,

：.BE=ED,

同理。尸=C尸，

^AEF的周长为：AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF^AE+EB+FC+AF=AB+AC^12.

3.(2023春•新泰市期末)如图，在△ABC中，AB=AC,N4BC的平分线BE交NC于点D,/尸_L4B交

BE于点F.

(1)如图1,若NA4C=40°,求乙4尸£的度数.

(2)如图2,若AD_L/C,垂足为D,BF=8,求DF的长.

E

E

图1图2

【分析】(1)由角平分线求出N45斤的度数，再利用外角的性质即可;

(2)证出△45。丝△C5。，得出△ZBC是等边三角形即可解决问题.

u

【解答】解：(1)：AB=ACfZBAC=40°，

:・/ABC=70°,

〈BE平分N4BC,

：.ZABF=35°,

\'AF.LAB,

：.ZBAF=90°,

AZAFE=U5°.

(2)〈BD平分/4BC,

NABD=/CBD,

,；BDL4C,

:・/ADB=CDB=90°,

•・•△ABD咨LCBD(4W,

：.AB=BC,

\9AB=AC,

・•・三角形ABC是等边三角形,

：.ZABF=30°,

.'.AF=4,

在RtZ\4D尸中，

DF=2.

4.(2023春•淄博期末)如图，△NBC中，AB^AC,。是48上一个动点，DF_LBC于点F,交C4延长线

于点E,

(1)试判断/£的大小关系，并说明理由；

(2)当点。在A4的延长线上时，其他条件不变，(1)中的结论是否还成立？请说明理由.

【分析】（1）根据已知条件得出NC+NE=90°,NB+/BDF=90,再根据NB=NC得出

最后根据NBD/=N4DE,得出NE=N4DE,即可证出

（2）作法同（1）完全相同.

【解答】解：（1）AD=AE；

理由：9：AB=AC,

：./B=/C,

■:DF2BC,

:,/BDF+/B=9。。,ZC+Z£=90°,

JNE=/BDF,

ZBDF=/EDA,

：./E=/EDA,

：.AE=AD；

（2）成立；

'：AB=AC,

：./B=NC,

■:DF2BC,

：.ZBDF+ZB=90°ZC+ZFEC=90°,

：.ZFEC=ZBDF,

・・•ZFEC=ZAED,

：.ZADE=ZAED,

：.AE=AD.

5.（2023春•郸都区期末）如图，AM//BN,/BCW和NC8N的角平分线交于点。，DE〃BN交BC干点、

E.（解答过程要求写出每步推导的理由）

（1）求/2OC的度数；

【分析】（1）根据平行线的性质可得/C3N+/BCM=180°,再根据角平分线的定义可得

=L/NBC,NECD=NDCM=L/BCM,然后再利用等式的性质可得ND2C+N£CD=90°,最后利

22

用三角形内角和定理进行计算，即可解答；

（2）根据角平分线的定义和平行线的性质可得和△CEO是等腰三角形，从而可得BE=DE,CE=

DE,进而可得8E=C£,然后根据等腰三角形的三线合一性质，即可解答.

【解答】（1）解：〃/M（已知），

：.ZCBN+ZBCM=ISO°（两直线平行，同旁内角互补），

,:CD、AD分别是N5CM、/CBN的角平分线（已知），

:.NNBD=NDBE=L/NBC,NECD=/DCM=—BCM（角平分线的定义），

22

ZDBC+ZECD=^-UNBC+NBCM）=90°（等式的性质），

2

AZSZ）C=180°-（ZDBC+ZECD）=90°（三角形内角和定理）；

（2）证明：,:DE〃BN（已知）,

（两直线平行，内错角相等），

/NBD=ZDBE（已证），

/BDE=ZDBE（等量代换），

：.EB=ED（等角对等边），

'：AM//BN（已知），

J.DE//AM（平行于同一条直线的两条直线平行），

...NEDC=NDCM（两直线平行，内错角相等），

,/ZDCM=ZECD（已证），

:.NEDC=NECD（等量代换）

：.EC=ED（等角对等边），

：.EB=EC（等量代换），

,:AB=AC（已知）

：.AE±BC（等腰三角形的三线合一）.

6.（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△NBC中，ADL

BC于点、D,Z5=2ZC,若48=6,BD=2,求CD的长.

解：在线段CD上取一点£,使ED=BD,连接4E,

•：ED=BD,ADLBC,

:.AB=AE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）.

/ABE=/AEB（等边对等角）.

/B=2/C,

/AEB=2/C.

VZAEB+ZAEC=l80a（平角定义）,

ZEAC+ZC+ZAEC=180°（三角形内角和等于180°）,

ZAEB=ZEAC+ZC.

NC=/EAC.

EA=EC（等角对等边）.

:.AB=CE（等量代换）.

'."AB—6,BD—1,

二CE=6,ED=2.

：.CD=CE+ED=6+2=8.

【分析】在线段。上取一点E,使ED=BD,连接NE,先根据线段垂直平分线的性质可得

从而可得/酸，进而可得//班=2NC.然后利用平角定义以及三角形内角和定理可得N/E2

=ZEAC+ZC,从而可得NC=NE4C,进而可得E4=EC,再利用等量代换可得4B=C£=6,最后利

用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【解答】解：在线段CD上取一点E,使ED=BD,连接NE,

•：ED=BD,ADLBC,

：.AB=AE（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）,

:./ABE=/AEB（等边对等角）.

,/ZB=2ZC,

：.ZAEB=2ZC.

VZAEB+ZAEC=ISO0（平角定义）,

ZEAC+ZC+ZAEC=180°（三角形内角和等于180°）,

ZAEB=ZEAC+ZC.

：.ZC=ZEAC.

：.EA=EC（等角对等边）.

：.AB=CE（等量代换）.

:48=6,BD=2,

：.CE=6,ED=2.

CD=CE+ED=6+2=8,

故答案为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；ZABE；等边对等角；平角定义;

三角形内角和等于180°；ZC；EA；EC；等角对等边；等量代换.

7.（2023春•杨浦区期末）已知在△48C中，点。是边上一点，ZBCD=ZA.

（1）如图1,试说明CD=C8的理由;

（2）如图2,过点2作垂足为点E,BE与CD相交于点F.

①试说明/2（R=2NC5E的理由；

②如果△5D尸是等腰三角形，求//的度数.

A

图2备用图

【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得再利用三角形的外角性质可得N2DC=N/+

ZACD,从而可得N3DC=//C8,然后根据等量代换可得N48C=/8DC.再根据等角对等边可得CD

=CB,即可解答;

（2）①根据垂直定义可得/8EC=90°,从而可得NC8E+N4C3=90°,然后设/C8£=a,贝U/NCB

=90°-a,利用（1）的结论可得N/CB=//8C=N8£>C=90°-a,最后利用三角形内角和定理可得

/BCD=2a,即可解答;

②根据三角形的外角性质可得N5ED=3a,然后分三种情况：当/时；当。/时；当FB

ED时；分别进行计算即可解答.

【解答】解：⑴・；AB=AC,

：.ZABC=NACB,

•・・NBDC是△4DC的一个外角,

：.ZBDC=/A+/ACD,

VZACB=ZBCD+ZACD,/BCD=/A,

：.ZBDC=/ACB,

：.ZABC=ZBDC.

；・CD=CB；

(2)BELAC,

:・/BEC=90°,

：・NCBE+NACB=90°,

设/CBE=CL,则N4C5=90°-a,

・•・ZACB=NABC=/BDC=90°-a,

AZ5CD=180°-ZBDC-ZABC=1SO°-(90°-a)-(90°-a)=2a,

・•・ZBCD=2ZCBE；

②・・・ZBFD是ACBF的一个外角，

・•・ZBFD=ZCBE+ZBCD=a+2a=3a,

分三种情况：

当AD=5/时，

ZBDC=/BFD=3a,

/ACB=NABC=/BDC=90°-a,

90°-a=3a,

：.a=22.5°,

AZA=ZBCD=2a=45°；

当。8=。9时，

ZDBE=ZBFD=3a,

*：ZDBE=ZABC-ZCBE=90°-a-a=90°-2a,

.*.90°-2a=3a,

.*.a=18°,

AZA=ZBCD=2a=36°；

当FB=FD时，

・•・/DBE=ZBDF,

,//BDF=ZABOZDBF,

二不存在尸3=FD,

综上所述：如果△8。尸是等腰三角形，//的度数为45°或36°.

8.(2023春•高陵区期末)如图，在△4BC中，AB=AC.过点/作5c的平行线交/4BC的角平分线于点

D,连接CD.

(1)求证：为等腰三角形.

(2)若/BND=140°,求/ADC的度数.

【分析】(1)利用平行线的性质得出Nl=/3,进而利用等腰三角形的性质得出ZC=4D即可；

(2)由(1)知N1=/2=N3,根据已知条件得到/1=/2=/3=工-(180°-/BAD)=20°,根据

2

等腰三角形的性质得到NZC2=N4BC=40°,根据平行线的选择得到/4DC+N/CD=180°,于是得

到结论.

【解答】(1)证明：平分N4BC,

.\Z1=Z2.

'：AD//BC,

.*.Z2=Z3.

N1=N3.

:・AB=AD.

9：AB=AC,

.\AC=ADf

・・・△/CD为等腰三角形；

(2)解：由(1)知，N1=N2=N3,

VZBAD=140°,NB/Z)+Nl+N3=180°,

・・・N1=N2=N3=L(180°-/BAD)=20°,

2

ZABC=40°,

9：AB=AC,

：.ZACB=ZABC=40°,

由(1)知，AD=AC,

：.ZACD=ZADC=ZBDC+Z3=ZBDC+200,

■:AD//BC,

/.ZADC+ZBCD=\^O°,

/.40°+(N5DC+20。)+(ZBDC+200)=180°,

9.（2023春•宝山区期末）如图，△45。中，48=4。，点。在边5C延长线上，点E在边4C上，且DE=

BE=AE,延长线段。E交边45于点?

（1）说明△力•是等腰三角形的理由；

（2）如果是等腰三角形，求N4的度数.

【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得：/A=/AEF,从而可得结论；

（2）设NZ=x,ZD=y,当是等腰三角形时，存在两种情况：①当/BFE=/BEF时,2x=2yf

②当NBEF=N4BE时,x=2yf根据三角形内角和定理列方程可解答.

【解答】解：⑴9：AB=AC,

：.NABC=NACB,

■:BE=DE,

：.ZCBE=ZD,

•:/ABC=/ABE+/CBE,/ACB=/D+/CED,

：./ABE=/CED,

•:AE=BE,

：.ZA=ZABE,

/AEF=NCED,

：.NA=NAEF,

；・AF=EF,

・・・△/£/是等腰三角形；

(2)设N/=x,ZD=y,

：.AABE=x,/BFE=NA+/AEF=2x,ABEF=ZD+ZDBE=2y,

/.NBFE/NABE,

二当42所是等腰三角形时，存在以下两种情况：

①当/BFE=/BEF时,2x=2y,

；.x=y，

△4EF中，2x+2y+x=180°,

；.x=36°,

ZA=36°；

②当乙时，x=2y,

'：2x+2y+x=^0°,

.*.4x=180°,

：.x=45°,

：.ZA=45°,

综上，N4的度数为36°或45°.

10.（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△N8C中，N/=90°,48=22.5°,请画出一条直线把

分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）

（2）分类探究：△NBC中，最小内角/2=24°,若△N3C被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相

应示意图并写出△48C最大内角的所有可能值；

（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两

（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把24°的三角形分成两个等腰三角形的各种情形,

一共有4种情况，分别画图即可；

（3）根据（1）（2）中的图形总结即可.

（2）设分割线为相应用的角度如图所示:

图1的最大角=39°+78°=117°,图2的最大角=24°+180°-2X48°=108°,

图3的最大角=24°+66°=90°,图4的最大角=84°,

故△NBC的最大内角可能值是117°或108°或90°或84°；

(3)若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，应满足下列条件之一：

①该三角形是直角三角形；

②该三角形有一个角是最小角的2倍；

③该三角形有一个角是其中一个角的3倍.

11.(2022秋•阳谷县期末)如图，已知△NBC中，AB=AC,/C与48边上的高2D、CE相交于点。.

(1)求证：△02C是等腰三角形.

(2)判断点。是否在/的平分线上，并说明理由.

【分析】(1)n\^ZABC=ZACB,/C与边上的高2D、CE相交于点O,可得NOEB=N

ODC^90°；/BOE=NCOD,根据内角和定理，可得NOCD,/OBC=NOCB,进而可证4

02c是等腰三角形；

(2)欲证明。在N8/C的平分线上，只需推知OE=OD即可.

【解答】(1)证明：：/台二/。，

ZABC=ZACB,

..】C与N3边上的高AD、CE相交于点O,

：.ZOEB=ZODC=90°,

VZBOE=ZCOD,ZO5£=180°-(/OEB+NBOE),ZOCZ>=180°-(ZOOC+ZCOD),

：.ZOBE=ZOCD,

'：/OBC=ZABC-NOBE,/OCB=ZACB-ZOCD,

：.ZOBC=ZOCB,

：.OB=OC,

:.△OBC是等腰三角形；

(2)解：在△8E。与△CD。中,

'NOBE=/OCD

"ZBOE=ZCOD>

,BO=CO

:.ABEO”ACDO(AAS),

：.OE=OD,

又,：BD_LAC,CELAB,

二。在/3/C的平分线上.

12.(2022秋•禹州市期末)如图，在中，AB=AC,。是N8上的一点，过点。作。E_L8C于点E,

延长和C4,交于点F.

(1)求证：尸是等腰三角形；

(2)若/尸=30°,BD=4,AD=2,求EC的长.

【分析】(1)由N3=NC,可知/8=/C,再由。可知/P+/C=90°,ZBDE+ZB=90,然

后余角的性质可推出N尸再根据对顶角相等进行等量代换即可推出于是得到结

论；

(2)根据解直角三角形和等边三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：(1):AB=AC,

：.ZB=ZC,

■:FELBC,

：.ZF+ZC=90°,ZBDE+ZB=90°,

ZF=ZBDE,

而ZFDA,

：.ZF=ZFDA,

:.AF=AD,

尸是等腰三角形；

⑵'：DE±BC,

：.ZDEB=90°,

VZF=30°,BD=4,

:.BE=LBD=2,

2

'：AB=AC,

：./\ABC是等边三角形，

/.BC=AB=AD+BD=6,

:,EC=BC-BE=4.

13.（2022秋•开福区校级期末）已知在△NBC中，//C2的平分线CD交N2于点。，DE//BC.

（1）如图1,求证：是等腰三角形；

（2）如图2,若DE平分/ADC交AC于E,ZABC=30°,在8C边上取点/使8尸=。尸，若BC=12,

求。尸的长.

【分析】（1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可;

（2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可.

【解答】（1）证明：：C£＞是N/C8的平分线，.,.N5CD=NZC。，

'JDE//BC,:.NBCD=NEDC,；.NEDC=/ACD,:.ED=EC,

即△CDE是等腰三角形；

（2）解：-JDE//BC,//2C=30°

,：.ZADE=ZABC=30°,

又：DE平分//DC,

ZADE=ZCDE=-30°,

由（1）可知，NACD=NBCD=/CDE=3Q°,

,:BF=DF,

：.ZB=ZBDF=30°,

：.ZDFC=30Q+30°=60°,

在RtzXD尸C中，ZFDC=9Q°,ZFCD=30°,

DF-^FC，

又,：DF=BF,BC=\2,

'•DF]BC[X12=&

oo

14.(2022秋•沙依巴克区校级期末)如图，△4BD中，AB=AD,4c平分/B4D,交2。于点瓦

(1)求证：△BCD是等腰三角形；

(2)若N4BD=50°,/BCD=130°,求N/2C的度数.

C

【分析】(1)证明△N8C丝即可得出5c=DC；

(2)在等腰三角形8co中先求出/C8Z)=NCD3=25°,即可求出//3C=//3£>+/CBZ)=75°.

【解答】解：(1)证明：平分/84D,

/.NBAC=ZDAC,

在△/BC和△4DC中，

fAB=AD

<ZBAC=ZDAC

LAC=AC

:.AABCqAADC(SAS),

：.BC=DC,

.♦.△BCD是等腰三角形；

(2)'：BC=DC,NBCD=130°,

：.ZCBD=ZCDB=^-(180°-ZBCD)=^-(180°-130°)=25°,

22

ZABC=ZABD+ZCBD=500+25°=75°.

15.(2023春•东港市期末)如图，点O是等边△N8C内一点，。是△N3C外的一点，ZAOB=1W°,Z

BOC=a,LBOC咨AADC,ZOCD=60°,连接。£).

Cl)求证：△OCD是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△/OD的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，是等腰三角形.

【分析】(1)根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得证;

(2)根据全等易得//£^=48。。=(1=150°,结合(1)中的结论可得/4D。为90°,那么可得所求

三角形的形状；

(3)根据题中所给的全等及的度数可得/NOD的度数，根据等腰三角形的两底角相等分类探讨

即可.

【解答】证明：(1),:△BOFAADC,

：.OC=DC,

；NOCD=60°,

.♦.△OCD是等边三角形.

解：

(2)是直角三角形.

理由如下：

,..△OCD是等边三角形，

：.ZODC^60°,

•:△BOgdADC,a=150°,

/ADC=/BOC=CL=150°,

：.ZADO=ZADC-ZODC=150°-60°=90°,

△NO。是直角三角形.

(3)•.•△OC£＞是等边三角形，

：.ZCOD=ZODC=60a.

VZAOB^UO0,NADC=/BOC=ci,

：.ZAOD=3600-ZAOB-ZBOC-ZCOD=360°-110°-a-60°=190°-a,

N4D0=NADC-ZODC^a-60°,

：.ZOAD=180°-ZAOD-ZADO=180°-(190°-a)-(a-60°)=50°.

①当时，190°-a=a-60°,

；.a=125°.

②当时，190°-a=50°,

.,.a=140°.

③当N4DO=NCMD时，

a-60°=50°,

.9.a=110°.

综上所述：当a=110°或125°或140°时，△40。是等腰三角形.

16.(2023春•榆阳区期末)如图，在Rta4BC中，N4CB=90°,N5=30°,是N2的垂直平分线，

交48、BC于点、D、£连接。、AE.求证:

cl)△4DC是等边三角形；

(2)点E在线段CD的垂直平分线上.

【分析】(1)根据直角三角形的两个锐角互余可得/8/C=60°,根据含30度角的直角三角形的性质可

得AC-^AB，根据DE是48的垂直平分线，可得AD=DB="^AB，即可证明△4DC是等边三角形；

(2)根据垂直平分线的性质可得进而可得/E平分根据角平分线的性质可得。£=

DC,根据等边三角形的性质可得ND=/C,即可得证.

【解答】(1)证明：在RtzXNBC中，ZACB=90°,Z3=30°,

•・z/c=60。,AC-|AB，

是42的垂直平分线，

-'-AD=DB=yAB>

：.AD=AC,

：./\ADC是等边三角形；

(2)证明：是的垂直平分线，

：.AE=BE,DELAB,

：.ZEAB=ZB=30°,则N£4C=N5/C-/。8=30°,

/.NBAE=NC4E,

平分/A4C,

"：DE±AB,AC±BC,

：.DE=DC,

•.•△/DC是等边三角形，

J.AD^AC,

点E在线段CD的垂直平分线上.

17.(2023春•渠县校级期末)如图，在中，NADB=6G°,DC平分N4DB,交N2于点C,且DC

LAB,过C作CE〃。/交。2于点E,连接

(1)求证：是等边三角形.

(2)求证：AELDB.

A

【分析】(1)直接根据等边三角形的判定定理可得结论；

(2)由平行线的性质可得N5EC=NZO8=60,根据等边三角形的判定与性质可得CE=5E=CB,再由

直角三角形的性质可得4E是边的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案.

【解答】证明：(1)・・・。。平分

，ZADC=ZBDC,

VZADB=60°,

/.ZADC=ZBCD=30°,

9：DCLAB,

:・NDCB=NDCA=90°,

AZB=ZA=90°-30°=60°,

:・/AOB=/B=/DAB=60°,

•**/\ADB是等边三角形；

(2)9：CE//DA,

：./BEC=/ADB=63

：.ZCEB=ZCBE=ZECB=60°,

是等边三角形，

:,CE=BE=CB,

,:/BDC=3U°,NDCB=90°,

:.BC=LBD,

2

:.CE=LBD,

2

:.E是BD的中点，

：.AE是边AD的中线，

是等边三角形，

J.AELBD.

18.(2022秋•青秀区校级期末)已知：如图，△48C、△(7£)£都是等边三角形，AD.8E相交于点。，点

M、N分别是线段40、的中点.

(1)求证：AD—BE-,

(2)求/。。£的度数；

(3)求证：△MNC是等边三角形.

A

【分析】(1)根据等边三角形性质得出/C=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,求出NZCD=N

BCE,证△/CD四△BCE•即可；

(2)根据全等求出N4DC=N2£C,求出//OE+N2EO的值，根据三角形的内角和定理求出即可；

(3)求出4W=3N,根据S4S证△/CMZABCN,推出G0=CN,求出NNCM=60°即可.

【解答】解：(1)；,AABC、△€»£都是等边三角形，

:.AC=BC,CD=CE,NACB=/DCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=/BCE,

在△4CD和△BCE中

'AC=BC

•ZACD=ZBCE-

tCD=CE

AACD咨ABCE,

：.AD=BE.

(2)解：,:AACD/ABCE,

：.N4DC=/BEC,

丁等边三角形DCE,

:.NCED=NCDE=60°,

：.AADE+Z.BED=ZADC+ZCDE+ABED,

=ZADC+60°+ZBED,

=ZCED+60°,

=60°+60°,

=120°,

.•./DO£=180°-(NADE+NBED)=60°,

答：/DOE的度数是60°.

（3）证明：；△ACD/LBCE,

：.NCAD=NCBE,AD=BE,4C=BC

又：点A/、N分别是线段40、BE的中点，

：.AM=^AD,BN=LBE,

22

:.AM=BN,

在△/（：川和△5CN中

fAC=BC

•ZCAM=ZCBN-

AM=BN

:.AACMmABCN,

:.CM=CN,

ZACM=ZBCN,

又/ACB=6Q°,

ZACM+ZMCB=60°,

：.ZBCN+ZMCB=60°,

:./MCN=60°,

...△MNC是等边三角形.

19.（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形4BC中，点E在上，点。在C2的延长线上，且

EC.

（1）【特殊情况，探索结论】

如图1,当点E为48的中点时，确定线段/E与。3的大小关系，请你直接写出结论：AE=DB（填

或“=

（2）【特例启发，解答题目】

如图2,当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论,AE=DB

（填“>”、“<”或“="）；理由如下，过点E作跖〃8C,交NC于点尸.（请你完成以下解答过

程）.

（3）【拓展结论，设计新题】

在等边三角形/2C中，点E在直线48上，点。在线段C2的延长线上，且ED=EC,若△4BC的边长

为1,AE=2,求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）.

A

A

图1图2

【分析】(1)由E为等边三角形N2边的中点，利用三线合一得到CE垂直于且CE为角平分线，

由£0=EC,利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；

⑵AE=DB,理由如下，过点E作小〃3C,交4C于点尸，由三角形48c为等边三角形，得到三角

形/所为等边三角形，进而得到尸，BE=FC,再由矶>=EC,以及等式的性质得到夹角相等,

利用&4S得到三角形8DE与三角形EFC全等，利用全等三角形对应边相等得到。8=£/，等量代换即

可得证；

(3)点£在N8延长线上时，如图所示，同理可得△。8£0^£尸。由8C+D5求出CD的长即可.

【解答】解：(1)当E为的中点时，AE=DB；

(2)AE=DB,理由如下，过点E作E尸〃BC,交4c于点尸，

证明：为等边三角形，

；.A4EF为等边三角形,

:.AE=EF,BE=CF,

,:ED=EC,

ZD=ZECD,

VZDEB=60°-ZD,NECF=6Q°-AECD,

NDEB=NECF,

在△OSE和中，

rDE=CE

<ZDEB=ZECF-

kBE=FC

:.ADBE咨AEFC(SAS),

:.DB=EF,

则

(3)点E在N2延长线上时，作EF〃4C,则△EF3为等边三角形，

如图所示，同理可得△ORE■丝△CFE,

A

AE=2,

:・BE=\,

♦；DB=FC=FB+BC=2,

则CD=BC+DB=3.

故答案为：(1)=；(2)=

20.(2023春•毕节市期末)已知：如图，点C为线段上一点，4ACM,ZkCBN都是等边三角形，AN

交MC于点、E,BM交CN于点、F.

(1)求证：AN=BM；

(2)求证：ACEF为等边三角形.

【分析】(1)由等边三角形可得其对应线段相等，对应角相等，进而可由"S得到结

论得证；

(2)由(1)中的全等可得/CNN=NCM8,进而得出/MCF=N/CE,由/S/得出△C/EgZkCW,

即CE=CF,又ECF=60°,所以尸为等边三角形.

【解答】证明：(1)-：AACM,ZiCBN是等边三角形，

：.AC=MC,BC=NC,NACM=NNCB=60°,

：.ZACM+ZMCN=ZNCB+ZMCN,即//CN=AMCB,

在△ZCN和△MCB中，

'AC=MC

ZACN=ZMCB>

,NC=BC

：.4ACNmAMCB(.SAS),

:.AN=BM.

（2）,:ACAN沿4CMB,

：.ZCAN=ZCMB,

又产=180°-/ACM-NNCB=180°-60°-60°=60°,

/MCF=ZACE,

在△（7/£■和中，

，ZCAE=ZCMF

V<CA=CM，

LZACE=ZMCF

：./\CAE^/\CMF（ASA）,

：.CE=CF,

.•.△CE/为等腰三角形，

又；/ECF=60°,

...△C跖为等边三角形.

21.（2022秋•南充期末）如图，在等边△NBC中，NC=12c〃z,点M以2CM/S的速度从点8出发向点/运

动（不与点/重合），点N以3c加/s的速度从点C出发向点8运动（不与点8重合），设点M,N同时运

动，运动时间为fs.

（1）在点M,N运动过程中，经过几秒时为等边三角形？

（2）在点M,N运动过程中，△8AW的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间/；若不能，请

说明理由.

（备用图）

【分析】（1）由等边三角形的判定，当时，43九W是等边三角形，由此即可解决问题;

（2）分两种情况，由直角三角形的性质即可求解.

【解答】解：（1）由题意得：BM=2t,BN=U-3t.

则当8M=BN时，是等边三角形.

：・2f=12-3t.

解得：片丝.

5

经过丝S时为等边三角形；

5

（2）分两种情况:

①如图1,当/BMN=90°时,

VZB=60°,

:./BNM=30°.

•*-BM=yBN-

2t-1（12-3t）-

（图1）

.12

,•

②如图2,当/BNM=90°时，/BMN=30°.

12-3t=yX2t-

（图2）

.\t=3.

在点Af,N运动过程中,当运动时间t若或f=3s时，△的冲为直角三角形.

22.（2022秋•长清区期末）如图，已知ZADB=nO°,Z5=40°,ZCAE=30°.

(1)求证：△/CD为等边三角形;

(2)求/3/C的度数.

【分析】(1)根据=/C=60°计算出NZDC=60°,然后求出NC=60°,利用等边三角形的判定从而

得证;

(2)根据=NC=60°°,然后求解即可.

【解答】(1)证明：：N4)8=120°,

AZADB+ZADC^l80a,

；.N/DC=180°-N/D2=180°-120°=60°,

'JAELBC,,

ZAEC^90°

：.ZC+ZCAE=90°.

:/。£=30°,

AZC=90°-NCAE=9Q°-30°=60°,

/.ZADC=ZC=60°,

J.AD^AC,

△/CD为等边三角形；

（2）由（1）得：NC=60°,

,//\ABC中,

ZB+ZC+ZBAC=1SO°,Z5=40°,

AZ5^C=180°-ZB-ZC=180°-40°-60°=80°.

23.（2022春•林甸县期末）如图△48C为等边三角形，直线a〃/8,。为直线8c上任一动点，将一60°角的顶

点置于点。处，它的一边始终经过点力,另一边与直线。交于点£.

（1）若。恰好在3C的中点上（如图1）求证：△/£>£是等边三角形；

（2）若。为直线8c上任一点（如图2）,其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予

证明；若不成立，请说明理由.

【分析】(1)根据题意得出EC=CD=D3,进而可证得△NBOgZUCE,从而可判断出结论.

(2)在/C上取点尸，使CF=CD,连接。凡从而证得尸之△EDC,进而得出结论.

【解答】(1)证明：〃/3,且△/3C为等边三角形，

；.N4CE=/BAC=NABD=60°,AB=AC,

,:BD=CD,

：.ADLBC

VZADE=60°,

；.NEDC=30°,

：.Z£>OC=180°-NEDC-NACB=90°,

:.NDEC=NDOC-/ACE=30°,

：.ZEDC=/DEC,

：.EC=CD=DB,

LABD<AACE.

：.AD=AE,且N/DE=60°,

.•.△/DE是等边三角形；

(2)在/C上取点R使CF=CD,连接。巴

VZACB^60°,

.♦.△DC尸是等边三角形，

ZADF+ZFDE=ZEDC+ZFDE^60°,

/.ZADF=ZEDC,

"：ZDAF+ZADE=ZDEC+ZACE,

：.ZDAF=ZDEC,

MADF咨AEDC(AAS),

：.AD=ED,

...△4DE是等边三角形.

24.(2021秋•随县期末)在△48C中，AB=AC,ZBAC=120°,AD±BC,垂足为G,S.AD=AB.ZEDF

=60°,其两边分别交边48,AC于点、E,F.

(1)求证：△N5D是等边三角形；

(2)求证：BE=AF.

【分析】(1)由等腰三角形的性质和已知条件得出/左1。=/。/。=工义120°=60°,再由

2

即可得出结论；

(2)由是等边三角形，得出2。=/。，NABD=NADB=60",证出N2DE=N4D尸，由证

明△2DE丝△/£＞尸，得出

【解答】(1)证明：，4B=4C,AD±BC,

：./BAD=ND4C=L/BAC,

2

VZBAC=nO°,

/.ZBAD=ZDAC=^X120°=60°，

2

\'AD=AB,

/\ABD是等边三角形；

(2)证明：：△ABD是等边三角形，

/.ZABD=ZADB=60°,BD=AD

•；NEDF=60°,

/.ZABD=ZEDF,

：.ZABD-NADE=NEDF-ZADE,

：.ZBDE=ZADF,

在ABDE与AADF中,

，ZDBE=ZDAF=60°

>BD=AD，

LZBDE=ZADF

MBDE咨AADF(ASA),

：.BE=AF.

25.(2021秋•白水县期末)如图，在四边形/BCD中，AB=AD,CB=CD,ZA=60°,点、E为AD上一

点，连接8。，CE交于点尸，CE//AB.

(1)判断△£)£尸的形状，并说明理由；

(2)若40=12,CE=8,求CF的长.

【分析】（1）先证明是等边三角形，可得/4BD=N4DB=60：由平行线的性质可得NCED=/

ADB=ZDFE^60°,可得结论；

（2）由等边三角形的性质和平行线的性质可求ZE=CE=8,即可求解.

【解答】解：（1）△OEF是等边三角形，

理由如下：'."AB—AD,ZA—600,

£\ABD是等边三角形，

AZABD=ZADB=60a,

"JCE//AB,

：.ZCED=ZA=60°,ZDFE=ZABD=60°,

二ZCED=NADB=ZDFE,

.♦.△DEF是等边三角形；

(2)连接/C交2