概率、统计与其他知识的综合-2025年高考数学备考复习

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布

突破3概率、统计与其他知识的综合

。学生用书P253

命题点1概率、统计与函数、导数的综合

例1[全国卷I]某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对

产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取20件做

检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都

为p(0<p<l),且各件产品是否为不合格品相互独立.

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为/⑺)，求/⑺)的最大值点

(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0o作为p的

值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格

品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品做检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E

(X)；

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品做检

验？

解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率/(0)=鬣或2(1一0)%

因此"(P)=C2Q[2p(1—P)18—1即2(1—p)17]=2C；°p(1—p)17(1—10/?).

令/(p)=0,得p=0.1.

当pG(0,0.1)时，f(p)>0;

当pe(0.1,1)时，f(/?)<0.

所以/(p)的最大值点po=O.l.

(2)由(1)知，72o=O.l,所以p=0.1.

(i)令y表示余下的180件产品中的不合格品的件数，依题意知y〜3(iso,0.D,x=

20X2+25K,即X=40+25K

所以£(X)=£(40+257)=40+25E(K)=40+25X180X0.1=490.

(ii)如果对这箱余下的所有产品做检验，那么这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于E(X)>400,因此应该对这箱余下的所有产品做检验.

方法技巧

概率、统计与函数、导数的综合问题的解题策略

(1)读懂题意，利用随机变量的概率、均值与方差等的有关公式构造函数;

(2)结合函数的性质及概率统计知识求解.

训练1[2021新高考卷n]一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代

繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个

数，P(X=i)=pi(z=0,1,2,3).

(1)已知po=O.4,pi—0.3,02=0.2,p3=0.1,求I(X).

(2)设0表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程po+pix+

的一个最小正实根，求证：当£(X)W1时，p=l,当E(X)>1时，p<l.

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

解析(1)由题意，P(X=0)=0.4,P(X=l)=0.3,P(X=2)=0.2,P(X=3)=

0.1,

的分布列为

X0123

P0.40.30.20.1

：.E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=l.

(2)亍己/(X)=/>3X3+/>2X2+(6-1)x+po,

由题知，p为了(X)=0的实根，由00=1—pi—p2—P3,

得/(X)=03(X3-1)+02(%2-1)+pi(X—1)—(X~-1)=(X—1)[23%2+(03+。2)

x+p3+02+pi-1].

记g(X)=P3X2+(03+。2)x+p3+02+pi-1,

则g(1)=3p3~\~2p2~\~pi~1—E(X)—1,

g(0)=23+而+01-]=_po<O.

当E(X)W1时，g(1)WO,易知g(x)在(0,1)上单调递增，，当xd(0,1)时，

g(x)=0无实根.

：.f(x)=0在(0,1]上有且仅有一个实根，即p=l,

当£(X)W1时，p=\.

当E(X)>1时，g(1)>0,又g(0)<0,g(x)的图象开口向上，；.g(x)=0在

(0,1)上有唯一实根"，

：.f(x)=0的最小正实根p=p'G(0,1),...当E(X)>1时，p<l.

(3)E(X)W1,表示1个微生物个体繁殖下一代的个数不超过自身个数，种群数量无法

维持稳定或正向增长，多代繁殖后将面临灭绝，所以p=l.

£(X)>1,表示1个微生物个体可以繁殖下一代的个数超过自身个数，种群数量可以正

向增长，所以面临灭绝的可能性小于1.

命题点2概率、统计与数列的综合

例2［2023新高考卷I］甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继

续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为

0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、

乙的概率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率.

(2)求第，次投篮的人是甲的概率.

(3)已知：若随机变量X•服从两点分布，且尸(X=I)=1—尸(X=0)=qt,z=l,

nn

2,n,则£(2%)=2分记前〃次(即从第1次到第"次投篮)中甲投篮的次数为

i=li=l

Y,求E(y).

解析(1)记“第2次投篮的人是乙”为事件“第1次投篮的人是甲”为事件3,则

A^BA+BA,

所以PQ4)=+BA)=P(B力)+P(BA)=P(8>P(A|B)+P(互)P(力忸)=0.5X(1-

0.6)+0.5x0.8=0.6.

(2)设第z•次投篮的人是甲的概率为由题意可知，Pi=g,pi+i=piX0.6+(1—pDX

2-1121

(1—0.8),即“♦+1=0.4口+0.2=/+9所以2+Lg=g("一］)，

又p—•!='!—•!=，，所以数列血一g是以，为首项，!为公比的等比数列，

所以(|)厂1所以.=1+3X(|)口

(3)设第，次投篮时甲投篮的次数为X,则X的可能取值为0或1,当％=0时，表示第i

次投篮的人是乙，当X=1时，表示第，次投篮的人是甲，所以尸(X=l)=pi,P(x=

0)=1-/2/,所以E(%)=Pi.

+^3H----(Xi+E+J3H-----=〃i+o2+p3H-----

Y=X\+X2\~Xn,则E(丫)=E\'X^)\~Pn,

由(2)知，P尸(|)zl,所以pi+pz+p3T------［1+|+(|)24--------------------卜(

-)门］=巴+工义上4="义［1—(”•

方法技巧

概率、统计与数列的综合问题的解题步骤

(1)精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，确定概率模型；

(2)准确建模，通过概率的求解，建立关于概率的递推关系，转化为数列模型问题；

(3)解决模型，利用数列的有关知识解决模型.

训练2［全国卷I］为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为

此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，

随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中

一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药

更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白

鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈

则乙药得I分，甲药得一1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治

愈率分别记为a和.，一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求X的分布列.

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得

分为，时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则po=O,小=1，pi=aPi^+bPi+cpi+l

(z=l,2,•••,7),其中。=尸(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假设a=

0.5,夕=0.8.

(i)证明：｛口+i—“J(z=0,1,2,7)为等比数列.

(ii)求P4,并根据夕4的值解释这种试验方案的合理性.

解析(1)X的所有可能取值为一1,0,1.

p(x=-i)=(1-«)

P(X=0)=侬+(1—a)(1—日),

P(X=l)=a(1一£).

所以X的分布列为

X-101

P(1~a)0磔+(1—a)(1一夕)a(.1—p)

(2)(i)由(1)得Q=0.4,6=0.5,c=0.1.

因此m=0.4口_1+0.5m+0.1“+1(z=l,2,…，7),故0.1(pi+i—pD=0.4(PLPi—i),

即“+i—口=4(pLPi—l).

又p—po=?WO,所以{口+i—“}(z=0,1,2,,,,,7)是公比为4,首项为pi的等比数

列.

(ii)由6)可得P8=p8_p7+0—p6H--F“_po+po=(28-0)+(27一26)H----F

(p「po)=，■%.

因为08=1,故所以04=(04—P3)+(03-？2)+(必一01)+(.pi—po')=

04表示甲药的累计得分为4分时，最终认为甲药比乙药更有效的概率.由计算结果可以看

出，当甲药的治愈率为0.5,乙药的治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率04=

二七0.0039,此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.

1.［命题点1,023石家庄市三检］国家在《中小学生健康体检管理办法(2021年版)》中规

定：中小学校每年组织1次在校学生健康体检.现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病

毒的学生占加%,某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样

逐一化验，就需要化验4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机

按照七个人进行分组，将各组后个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这左

个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每

个人的血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

(1)若机=0.4,记每人血样化验次数为X,求当先取何值时，X的数学期望最小，并求此

时化验总次数.

(2)若加=0.8,设每人血样单独化验一次费用5元，《个人混合化验一次费用(上+4)元.

求当左取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求此时化验总费用.

参考数据及公式：V10^3.16,(1+x)""l+〃x("dN*,〃22,IxIW0.01).

解析(1)由题意知，若混合血样呈阴性，则X=±P(X=3=0.996、若混合血样呈

kk

1-1

阳性，则X=；+l,P(X=；+l)=1—0.996，

kK

所以£(X)=7X0.996*+(l+i)X(1-0.9961)=1+工一0.996*=1+=(1-0.004)

kkkk

^7+0.004^.

k

令/'(x)=1+0.004x,则/(x)=0.004—，，当XG(0,5V10)时，f(x)<0,当xd

(5V10,+8)时，f(x)>o,所以/(x)在(0,5V10)上单调递减，在(5同,+8)

上单调递增.

因为左GN*,(注意先取正整数)

5710^5X3.16=15.8,且/(15)=^+0.004X15^0.1267,/(16)=^+0.004X16=

0.1265,

所以当人=16时，E(X)取得最小值，且£(X)的最小值为0.1265.

所以当先取16时，每人血样化验次数X的数学期望最小，此时化验总次数为4000x

0.1265=506.

(2)设每组人人时，每组化验总费用为Y元，

若混合血样呈阴性，则丫=左+4,若混合血样为阳性，贝I丫=6左+4,且尸(丫=后+4)=

0.992，P(Y=6后+4)=1—0.992*,

所以E(7)=(左+4)X0.992%+(6左+4)(1—0.992")=6k~5kX0.992k+4.

每个人血样的化验费用为山上=6—5X0,992无+?=6—5X(1-0.008)"6—5X(1-

kkk

0.008A)+：=1+0.04左+，21+2Jo.O4kq=1.8,

当且仅当0.04左=£即左=10时取等号，所以当先取10时，每人血样化验费用的数学期望

k

最小，此时化验总费用为4000X1.8=7200(元).

2.［命题点2/2023南乐市二模］进行独立重复试验，设每次成功的概率为p(0<p<l),失

败的概率为1一0,将试验进行到恰好出现厂次成功时结束试验，以X表示试验次数，则称

X服从以r,〃为参数的帕斯卡分布或负二项分布，记为X〜NB(r,p).

(1)若X〜NB(3,1),求P(X=5).

(2)若X〜NB(2,,〃GN*,〃22.

n

①求z尸(X=i)；

i=2

②要使得在n次内结束试验的概率不小于1求«的最小值.

4

解析⑴因为X〜NB(3,1),

X=5表示做了5次试验，前4次中有2次成功，第5次也成功，所以尸(X=5)=C1(1

_工)2X(工)3=6X3XL=±

3392781

(2)①解法一P(X=i)=C_[X(1—夕厂2X(1)2=(Z-Dx(|)­.

记S=£尸(X=i)=1X(1)2十2X(1)M--------1(H-1)X(i)«,则手=1X(|)3+

2XG)4+…+(fl—1)x(g),,+1,两式相减，得为=(i)2+(g)3+…+(1)n—(〃

-1)x啰"+i

i2in一1

=91二？_]_("T)*(1)

=|—n—(〃—1)x(1)n+i

2n-n-l

所以S=卡二，即£尸(x=»=号二.

，i=2z

解法二±P(X=i)=P(XW〃)，事件“XW〃”的对立事件为“〃次试验中，成功了0

i=2

次或1次”.

“〃次试验中，成功了0次“的概率”=(1—|)n=^r；

“〃次试验中，成功了1次”的概率02=“X(l-i)

所以P(XW〃)=1—£一次

即gp(X=i)=勺二1

i=2z

3

所

即

以>

即£尸(X=i)=一二,\-

②〃次内结束试验的概率为P(XW"),4

i=2z

吟W工

2"4

记/(〃)=*(〃22),因为/(〃+1)-/(»)=需一*=—赢＜0,所以/(")为递

减数列.

因为/⑷=^＞1,f(5)=卷＜［,

故使得不等式噤成立的最小正整数为5,

214

所以〃的最小值为5.

(------------------------------:练习帮;，练透好题精准分层----------------------------

d学生用书•练习帮P401

1.［设问创新］鲁班锁是中国一种古老的益智玩具，它与九连环、华容道、七巧板被称为中

国民间的四大传统益智玩具.鲁班锁看似简单，却凝结着不平凡的智慧，是桦卯结构的集中

展现，一般由六根木条组成，三维拼插，内部柳卯咬合，外观严丝合缝，十字立体，易拆

难装，十分巧妙.某玩具公司新开发了/,8两款鲁班锁玩具，记43两款鲁班锁玩具所

获利润分别为X万元、Y万元，根据销售部市场调研分析，得到相关数据如下表：(成本

利润率=利润+成本X100%)

(2)若4,2两款鲁班锁玩具的投资成本共为20万元，试求投资这两款鲁班锁玩具所获

利润的方差之和的最小值.

解析(1)N款鲁班锁玩具的利润：20X4%=0.8,20X8%=1.6,20X10%=2,3款鲁

班锁玩具的利润：20X3%=0.6,20X5.5%=1.1,20X7.5%=1.5,

E(丫)=0.6X0.2+l.lX0.3+1.5X0.5=1.2,

则。(X)=(0.8-1.4)2X0.3+(1.6-1,4)2X0.6+(2-1.4)2X0,1=0.168.

D(y)=(0,6-1.2)2xo.2+(1.1-1.2)2X0.3+(1.5-1.2)2X0.5=0.12.

(2)记/款鲁班锁玩具的投资成本为他(0(加W20)万元，则8款鲁班锁玩具的投资成

本为(20—机)万元，

投资这两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和/(加)=D磴X)+D(今/丫)，

得/(m)=(―)2X0.168+2X0.12=—X0.168+(1-—+—)X0.12=

J202040010400

^(m-y)2+0.07^0.07,

所以当加=§时，投资/,2两款鲁班锁玩具所获利润的方差之和取得最小值0.07.

2.[2024贵州六校联考]为了丰富学生的课外活动，某中学举办羽毛球比赛，经过三轮的筛

选，最后剩下甲、乙两人进行最终决赛，决赛采用五局三胜制，即当甲、乙两人中有一人

先赢得三局比赛时，该选手获胜，比赛结束.每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不

受之前比赛结果影响.假设甲在每一局获胜的概率均为p(0<^<1).

(1)若比赛进行三局就结束的概率为了5),求的最小值；

(2)记(1)中，f(p)取得最小值时，p的值为小，以外作为p的值，用X表示甲、乙

实际比赛的局数，求X的分布列及数学期望E(X).

解析(1)三局就结束比赛的概率/(p)=p3+(1—p)3,

/=)=302—3(l—p)2=60—3,

11

当0<0三时，/5)<0；当;<?<1时，/")>o.

所以/(0)在(o,1)上单调递减，在弓，1)上单调递增，

所以当P=：时，/5)取得最小值,为之

24

-1

(2)由(1)知，p=po=~.

X的所有可能取值为3,4,5,

P(P=3)=G)3+(1-1)3=1

224

P(X=4)=2XC|X(|)2X(1-1)x|=1,

P(X=5)=2义以义(|)2X(1-|)2x|=1,

所以X的分布列为

X345

133

P

488

E(X)=3X-!-+4X-+5X-=—.

4888

3.[2024安徽六校联考]为庆祝中国共产党成立102周年，某校某班组织开展了“学党史,

忆初心”党史知识竞赛活动，抽取四位同学，分成甲、乙两组(每组两人)，进行对战答

题.规则如下：每次每位同学给出6道题目，其中有1道是送分题(即每位同学至少可答对

1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数，原答题组的人再继续答题；若答对的题数

之和不是3的倍数，就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立.

(1)若第1次由甲、乙组答题是等可能的，求第2次由乙组答题的概率；

(2)若第1次由甲组答题，记第〃次由甲组答题的概率为2,求2.

解析(1)将第1次由甲组答题记作事件/,第2次由乙组答题记作事件3,则第1次由

乙组答题为事件瓦

因为答对的题数之和为3的倍数的可能情况为1+2,1+5,2+4,3+3,3+6,4+5,6

+6,

所以其概率为经座=工，

363

则答对的题数之和不是3的倍数的概率为1—3=|，

则P(5)=P(4B)+P(而)=尸Q)P(,B\A)+P(Z)P(,B\A)