北师大版七年级数学上册讲义-角与角的比较8类重点题型训练（原卷版）

第02讲角与角的比较（8类热点题型讲练）

学习目标

1.掌握角的定义及其表示及角的分类;

2.掌握角的单位转化及计算；

3.掌握钟面角与方位角的计算.

4.掌握角的大小比较的方法；

5.掌握角平分线的定义及相关计算；

6.掌握角的〃等分的相关计算；

知识清单

知识点01角的概念

定义1:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

定义2：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.

知识点02角的表示方法

表示方法图例记法适用范围

0AZAOB任何情况下都适应.表示端点的字母必须写

用三个大写字母表示

或“04在中间

用一个大写字母表示AZA以这个点为顶点的角只有一个

用数字表示Z1任何情况下都适用.但必须在靠近顶点处加

上弧线表示角的范围，并注上数字或希腊

用希腊字母表示oTZa字母

知识点03钟表上有关夹角问题

钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30。的角，分针1分钟转6°,时针每小时转30°,

时针1分钟转0.5。，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题.

知识点04角的大小比较

方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.

方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较.

如比较NAOB和的大小：如下图，由图（1）可得44。氏/4。0；由图⑵可得NAOB=N4。的；

由图（3）可得/.

知识点05角的和、差关系

如图所示，ZAOB是/I与N2的和，记作：ZAOB=Z1+Z2；Z1是与/2的差，记作:

Z1=ZAOB-Z2.

【说明】（1）用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻

度尺上的零度线重合）；③读数（读出另一边所在线的度数）.

（2）利用三角板除了可以做出30。、45。、60。、90。外，根据角的和、差关系，还可以画出15°,75°,105°,

120°,135°,150°,165°的角.

知识点06角平分线

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是

NA08的角平分线，ZAOB=2ZAOC=2ZBOC,ZAOC=ZBOC=-ZAOB.

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题型精讲

题型01角的概念及表示方法

【典例1】(2023春•河北承德•七年级校考开学考试)下列说法中，正确的是()

A.一个周角就是一条射线B.平角是一条直线

C.角的两边越长，角就越大D.N4O3也可以表示为ZBQ4

【变式1】(2023秋•全国•七年级课堂例题)如图所示，回答下列问题：

⑴写出能用一个字母表示的角：；

(2)写出以点B为顶点的角；

(3)图中共有个小于平角的角.

【变式2](2023秋•七年级课时练习)根据给出的图回答下列问题:

⑴N1表示成NA,这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正?

⑵图中哪个角可以用一个字母来表示？

(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来.

(4)24X?与NACD是同一个角吗？请说明理由.

⑸图中共有几个小于平角的角？

题型02钟面角

【典例2】（2023春•陕西西安•七年级校考开学考试）8点30分时刻，钟表上时针与分针所组成的角为

度.

【变式11（2023秋•湖南衡阳•七年级校考开学考试）李老师7:15从家出发去单位上班，到单位的时间是7:50,

那么这段时间，分针走了。，时针走了°，

【变式2］（2023春•山西太原•七年级校考阶段练习）我校下午到校时间为14时10分，则此时刻钟表上的

时针与分针的夹角为度.

题型03与方向角有关的计算题

【典例3］（2023春•湖北十堰•七年级校考开学考试）如图，在灯塔。处观测到轮船A位于北偏西54。的方向,

同时轮船3在南偏东15。的方向，那么—AO3的大小为（）

A.141°B.111°C.159°D.69°

【变式1］（2023秋•河北张家口•七年级统考期末）如图，甲从点A出发向北偏东60。方向走到点8,乙从点

A出发走到点C,若/B4C=140。，则乙从点A出发沿（）方向走到点C

A.南偏西30°B.西偏南40°C.南偏西20°D.西偏南20。

【变式2］（2023秋•全国•七年级课堂例题）小丽、小影、小华三人每天相约在如图所示的早餐店。碰面，

小丽家A在早餐店南偏西20。方向上，小影家在点。处，小华家C在早餐店东南方向上，/COS=77。，且

早餐店到小华家与小丽家的距离相等.

⑴在图中画出小华家的位置c；

(2)求ZAOS的度数；

⑶若/DOS=85。，请说出小影家。相对于早餐店的位置.

题型04角的单位与角度制

【典例4】(2023秋•全国•七年级课堂例题)计算：

(1)49.9°=°'；

(2)25°42f=°；

(3)18。46'55"+27。17'24〃=.

【变式1】(2023秋・全国•七年级课堂例题)(1)1周角=—平角=一直角;

(2)1°=—z=〃；

(3)1.25°='，5400"=_。.

【变式2](2023秋•全国•七年级课堂例题)计算：

(1)180。-46。42'=；

(2)28。36'+72。24'=；

(3)50。24&3=；

(4)49。28'52"+4=.

题型05角的比较

【典例5】(2023秋•七年级课时练习)如图，ZAOB=ZCOD,则/AOC与NDO5的大小关系是(

D

C

A.ZAOC>ZDOBB.ZAOC<ZDOB

C.ZAOC=ZDOBD.NAOC与/DOB无法比较大小

【变式1】（2023秋,湖南郴州•七年级校联考期末）如图，若NAOB>/COD,则ZAOD与NBOC的

大小关系是（）.

A.ZAOD=ZBOCB.ZAOD<ZBOC

C.ZAOD>ZBOCD.不能确定

【变式2］（2023秋•八年级课时练习）在图中所示的4x4的网格中，记ADEF=/3,NCGH=y,

则P，%从小到大的排列顺序是.

题型06三角板中角度计算问题

【典例6】（2023春・山东淄博•六年级校考阶段练习）将一副直角三角尺如图放置，若ZBOC=160。，贝|ZAOD

【变式11（2023秋,江西九江,七年级统考期末）如图，直角三角板COD的直角顶点。在直线AB上，线段OC,

。。是三角板的两条直角边，射线0E是48的平分线.

⑴当NCOE=30。时，求，BOD的度数；

（2）当NCOE=<z时，NBOD=（用含a的式子表示）.

【变式2］（2023春•山东烟台•六年级统考期末）如图所示，以直线A8上的一点。为端点，在直线A3的上

方作射线OP,使40尸=70。.将一块直角三角尺的直角顶点放在点。处，且直角三角尺（/MON=90。）

在直线A3的上方.设/5。〃=〃。（0<〃<90）.

（1）当”=32时，求NPON的大小；

（2）若0<〃<70时，求NAON—NPOAf的值.

题型07角平分线的有关计算

【典例7］（2023秋・河南南阳•七年级统考期末）已知。为直线A8上一点，NCOE是直角，。尸平分NAOE.

（1）如图①，若NCOF=34°,则ZBOE=；若ZCOF=nf,则ZBOE=；ZBOE与ZCOF

的数量关系为；

（2）当射线0E绕点。逆时针旋转到图②的位置时，（1）中/BOK与NCOb的数量关系是否仍然成立？请说

明理由.

【变式4（2023秋•七年级课时练习）如图所示，NAO3是平角，分别是NAOCNBOD的平分线.

⑴当NMON=140。时，求NCOD的度数;

⑵当NCO£>=x。时，求NMON的度数.

【变式2］（2023秋•江苏徐州•七年级校考阶段练习）（1）如图1所示，已知ZAOB=120。，OC平分,

OD、OE分别平分/AOC、ZCOB,求/DOE的度数；

（2）如图2,在⑴中把“OC平分-4OB"改为"OC是-403内任意一条射线”，其他任何条件都不变,

试求/DOE的度数；

（3）如图3,在（1）中把"OC平分—AO3"改为"OC是—AO3外的一条射线且点C与点8在直线AO的

同侧"，其他任何条件都不变，请你直接写出NDOE的度数

题型08角〃等分线的有关计算

【典例8】（2023秋・山西大同•七年级统考期末）在4OB的内部作射线OC,射线OC把分成两个

角，分另1J为NAOC和13OC,ZAOC-1ZAOBZBOC-1ZAOB,贝U称射线OC为NAO3的三等分

线.若NAO3=60。，射线OC为—AO3的三等分线，则/AOC的度数为（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【变式1】（2023秋•浙江湖州•七年级统考期末）定义：从-AO3的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,

把1403分成1:2的两部分，射线OC叫做4OB的三等分线.若在NMON中，射线OP是NMON的三等

分线，射线OQ是/MOP的三等分线，设=则NMON用含x的代数式表示为（）

9,,999,9.9

A.-x或3x或一xB.—龙或3x或9尤C.一龙或一元或9xD.3x或一龙或9x

424422

【变式2］（2023秋・福建龙岩•七年级统考期末）已知ZAOB=120。，以射线为起始边，按顺时针方向依次

作射线OC、OD,使得NCOD=60。，设NAOC=6,0°<0<180°.

⑵备用图①，当60。<。<120。时，试探索ZAOD与—BOC的数量关系，并说明理由；

⑶备用图②，当120。49<180。时，分别在/AOC内部和内部作射线OE,Ob，使ZAOE=：ZAOC,

ZDOF=^ZBOD,求NEOP的度数.

强化训练

一、单选题

1.（2023秋,七年级课时练习）如图，下列表示角的方法，错误的是（）

A.N1与/AOB表示同一个角B./49C也可用/O来表示

C.图中共有三个角：NAOB,ZAOC,NBOCD.4?表示的是N3OC

2.（2023秋•七年级课时练习）若ZA=20oi8',/B=20oi5'30",NC=20.25。，则（）

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZCC.ZA>ZC>ZB

D.ZC>ZA>ZB

3.（2023秋•山西忻州•七年级统考期末）下列运算正确的是（）

A.34.5°=34°5'B.90°-23°45,=66°15,

C.12°34,x2=25°18,D.24°24'=24.04°

4.（2023春•山东荷泽,七年级校考阶段练习）在同一平面内，ZAOB=140°,过点0作射线OC,使得

/30C=100。，则ZAOC为（）

A.40°B.120°C.40。或90°D.40。或120°

5.（2023春•河南信阳•七年级校考开学考试）如图，点。是直线A3上一点，OC平分NAOE,NDOE=90,

则以下结论：①N4OD与/BOE互为余角；@ZAOr>=|zCO£；③NBOE=2NCOD；④若ZBOE=58,

则NCOE=61.其中正确的是（）

A.只有①④B.只有①③④

C.只有③④D.①②③④

二、填空题

6.（2023春•山东泰安•六年级校考期中）计算：65。19'48»+35。17&=_.

7.（2023春・广东河源•七年级校考开学考试）如图，ZAOC=50°,0B平分NCOE,ZCOE=36°,则NAO3=

度.

A

8.（2023秋•内蒙古巴彦淖尔•七年级校考期末）如图所示，两个直角三角形的直角顶点重合，如果

ZAOD=126°,那么

D

9.（2023秋,七年级课时练习）小明利用星期天搞社会调查活动，早晨8：00出发，中午12：30到家，小

明到家时时针和分针夹角的度数是.

10.（2023春•河南南阳•七年级统考期中）如图，已知NAO3=90。，射线OC绕点。从。4位置开始，以

每秒3。的速度顺时针旋转；同时，射线绕点。从。3位置开始，以每秒1。的速度逆时针旋转，并且

当OC与。4成180。角时，OC与。。同时停止旋转.则在旋转的过程中，经过一秒，OC与。。的夹角是

30°.

11.（2023秋•河南漠河•七年级校考期末）如图，。为直线上一点，ZMOC=140°,Q4平分NMOC,

ZAOB^90°.

⑴填空：ZAOC=°；

（2）求/30N的度数；

⑶试判断。3是否平分NNOC,并说明理由.

12.（2023秋•吉林松原•七年级统考期末）如图①，货轮停靠在。点，发现灯塔A在它的东北（东偏北45。或

北偏东45。）方向上.货轮3在码头。的西北方向上.

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