人教版初中八年级数学上册同步讲义-因式分解（公式法与十字相乘法）原卷版

第05讲因式分解一公式法与十字相乘法

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握公式法，并且能够熟练的应用公式法进行因式

①公式法分解。

②十字相乘法2.掌握十字相乘法分解因式，并且能够熟练运用十字

相乘法。

思维导图

平方差公式

知识清单

知识点01平方差公式分解因式

i.平方差公式分解因式的内容：

两个数的平方差等于这两个数的乘以这两个数的O

即：a2-b2=________

2.式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个，符号且都可以写成的形式。

②因式分解结果：等于写成平方形式时的的和乘以的差。

考点题型：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。

【即学即练1】

1.下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（）

A.X2-25B.%3-4C.x2-2x+\D.x2+l

【即学即练2】

2.下列各个多项式中，不能用平方差公式进行因式分解的是()

A.-冽2+〃2B.-m2-n2C.4m2-1D.(加+几)2-9

【即学即练3】

3.把下列各式因式分解：

(1)X2-25y2.(2)-4m2+25«2.(3)(a+b)2-4a2.

(4)a4-i.(5)9(m+n)2-(m-n)2.(6)mx2-4my2.

知识点02完全平方公式分解因式

1.完全平方公式分解因式的内容：

a2+2ab+b^=。

2.式子特点分析与因式分解结果：

①式子特点分析：式子是一个，其中两项符号__________且都能写成的形式，

第三项是平方两项乘积的。

②因式分解结果：等于的平方或的平方。若第三项与平方两项符号，

则等于底数和的平方，若第三项与平方两项符号，则等于底数差的平方。若平方两项是符号，

则在括号前添加负号。

题型考点：①判断式子能否用平方差公式分解。②利用平方差公式分解因式。③求值

【即学即练11

4.下列各式中能用完全平方公式分解因式的是()

A.a2+ab+b2B.9廿-4yC.4a2+l-4aD.q2+2q-1

【即学即练2】

5.下列各式中：①，2xW②尹+如产③--白庐；④4"1孙⑤3,6研3”,

能用完全平方公式分解的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【即学即练3】

6.把下列各式分解因式.

(1)n2-6mn+9m2(2)a2-14tzZ)+49Z>2

(3)6Z2-4ab+4b2(4)m2-10m+25.

【即学即练4】

7.分解因式：

①/+6%+9=；②1-4x+4y2=；

③-a2+2a-1=.

【即学即练5】

8.已知/-/=69,x+y=3,贝!]x-y=.

【即学即练6】

9.若/+冽%+16=(%+几)2,其中冽、几为常数,则〃的值是()

A.w=8B.〃=±8C.〃=4D.n=±4

【即学即练7】

10.若/+5%+机=(%+〃)2,则冽，〃的值分别为()

A..=_25,"=5B.m=-=^-,n=5

424

5

C.冽=25,n=5D.m=5,n=—

2

知识点03十字相乘法分解因式

1.十字相乘法分解因式：

对于一个二次三项式QX+bx+c,若存在且。1。2+。2。1=力，那么二次三项

式ax?+bx+c可以分解为：ax2+Z?x+c=(^x+qX^xH-^)

举例说明：2》2+5X+3

2,3=3

xx3+2=5o2x2+5x+3=(2x+3\x+1)

1/、=2

对于初中所用的十字相乘法，二次项系数a都是等于1的，即x2+/)x+c。若存在有。=。「。2,且

2

C\+c2=b,则x2+&x+c可分解为：x+Z?x+c=(x+C1)(x+c2)

举例说明：X2+7X+12

；12=3x4且3+4=7

**-x2+7x+12=(x+3)(x+4)

题型考点：①十字相乘法分解因式。②根据十字相乘法分解因式求值。

【即学即练11

11.十字相乘法分解因式：

(1)，+3X+2(2)x2-3x+2(3)，+2x-3

(4)x2-2x-3(5)X2+5X+6(6)x2-5x-6

(7)x2+x-6(8)x2-x-6(9)x2-5x-36

(10)X2+3X-18(11)2x2-3x+l(12)6X2+5X-6.

【即学即练2】

12.把多项式，-6x+冽分解因式得(x+3)(x-n),贝!J加+几的值是.

【即学即练3】

13.把多项式分解因式，得(x+1)(x-3),贝(J。，6的值分别是()

A.q=2,Z?=3B.4=-2,b=-3C.ci=-2,6=3D.a=2,h~3

题型精讲

题型01公式法分解因式

【典例1】

因式分解：

(1)m2-16；(2)(a2+l)2-4a2.

【典例2】

把下列各式因式分解:

(1)4"垸(2)(x+jH-1)2-Cx-y+1)2

【典例3】

把下列各式因式分解：

(1)(一+4)2-16/；(2)-4ab-4a2-b2.

【典例4】

把下列各式因式分解：

(1)-x2-4y2+4xy；(2)16a2-(2a+3b)2

【典例5】

因式分解：

(1)-4x2+12xy-9y2；(2)4-12(_y-x)+9(x-y)2

【典例6】

分解因式：

(I)(3x-2)2-(2x+7)2；(2)(X2+2)2-6(x2+2)+9.

题型02公式法的应用一一求值

【典例1】

若4/-1-1)x+9能用完全平方公式因式分解，则k的值是()

A.13B.13或-11C.-11D.无法确定

【典例2】

已知/-2°x+b=(x-3)2,贝!］庐-的值是()

A.-72B.-45C.45D.72

【典例3】

已知9f+祖孙+16产能运用完全平方公式因式分解，则加的值为()

A.12B.+12C.24D.±24

【典例4】

若x2+(m-3)x+4能用完全平方公式进行因式分解，则常数%的值为()

A.1或5B.7或-1C.5D.7

【典例5】

已知4/+2(什1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解，则左=.

题型03十字相乘法分解因式

【典例1】

把多项式x2-3x+2分解因式，下列结果正确的是()

A.(x-1)(x+2)B.(x-1)(%-2)

C.(x+1)(x+2)D.(x+1)(x-2)

【典例2】

分解因式：

(1)x2-]2x+36=；/+2x-]5=；

(2)(x-2)(x-3)-20.

【典例3】

阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足«=加〃且°="?+〃，则可以把

x2+px+q因式分解成(x+m)(x+〃).

例如：①f+4x+3=€x+l)(x+3)；

②f-4x-12=(x-6)(x+2).

根据材料，把下列式子进行因式分解.

(1)x2-6x+8；

(2)X2-2X-15；

(3)(x-4)(x+7)+18.

【典例4】

阅读下面的材料.

材料一：当ab=O时，a=0,或6=0.

材料二：把等式(x+a)(x+6)—x2+(a+b)x+ab的左右两边交换位置后，得到f+(a+6)x+ab—(x+a)

(x+b),也就是说一个特殊形式的二次三项式也可以进行因式分解，如/+3x+2=(x+1)(x+2).

所以在解方程/+3》+2=0时，可以把方程变形为(x+1)(x+2)=0,所以x+l=0,或x+2=0.所以xi

=-1,X2—-2.

根据以上材料回答下列问题：

(1)因式分解：JT+lx-18=；

(2)解方程：x2-5x+4=0；

(3)若X2-孙-12/=0,则x与y的关系式是.

题型04十字相乘法的应用一一求值

【典例1】

把多项式，+5x+加因式分解得(x+〃)(x-2),则常数加，几的值分别为()

A.m=-14,〃=7B.冽=14,n=-7

C.加=14,〃=7D.m=-14,n=-7

【典例2】

若/切%+1=(%+3)(x-5),则p、9的值分别为()

A.-15,-2B.-2,-15C.15,-2D.2,-15

【典例3】

若/-办-1可以分解为(x-2)(x+b),则a+b的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

【典例4】

若将多项式/-办+b因式分解为(x-2)(x+5),则(-3〃+人)2023的值为()

A.0B.-1C.1D.1或-1

强化训练

1.下列各式不能运用公式法进行因式分解的是()

A.-a2+b2B.16m2-25n2C.4x2+4x+lD.a2+2ab-b1

2.已知f+"+36可以用完全平方公式进行因式分解，则左的值为()

A.±6B.±12C.6D.12

3.下面分解因式正确的是()

A.4。2-4。+1=4。(。-1)+1

B.a2-4b2=(q+46)(a-46)

C.4。2-12。+9=(2。-3)2

D.lab-a2-b1--(a+b)2

4.若多项式/+冽%+〃可因式分解为(x-2)(x+3),则冽〃的值为()

A.6B.-6C.-5D.1

5.已知多项式4,-(y-z)2的一个因式为2x-y+z,则另一个因式是()

A.2x-y-zB.2x-y+zC.2x+y+zD.2x+y-z

6.现有一列式子:①552-452；②5552-4452；③55552-44452…则第⑧个式子的计算结果用科学记数

法可表示为()

A.1.1111111X1016B.1.1111111X1027

C.1.111111X1056D.1.1111111X1017

7.若(q-b-2)2+|q+b+3|=0,则/-序的值是()

A.-1B.1C.6D.-6

8.若二次三项式^(aix+ci)(〃2x+c2)，则当a>0,6<0,c>0时，c\,。2的符号为()

A.ci>0,C2>0B.ci<0,。2<0C.ci>0,c2VoD.c\,。2同号

9.分解因式：x6-28X3+27=.

10.分解因式：S+2x)2-(x+2y)2=.

11.若多项式，+加工+〃分解因式后的结