2025年北京市丰台区中考数学模拟试卷及答案解析

2025年北京市丰台区中考数学模拟试卷

选择题（共8小题，满分16分）

2.根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科

学记数法表示为（）

A.I.6X108B.I.6X107C.16X106D.1.6X106

3.（2分）实数a,b在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中正确的是（）

b0a

A.ab>0B.a+b>0C.同>|b|D.b〈a

4.（2分）内角和等于外角和的多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

5.（2分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△CM8的边长为4,点/在第二象限内,

将△042沿射线/。平移，平移后点©的横坐标为4百，则点方的坐标为（）

A.（-6V3,2）B.（6V3,-2瓜）C.（6,-2）D.（6次，-2）

X12—31

6.（2分）若x满足f-2x-2=0,则分式（---2）的值是（）

x—lX—1

13

A.1B.-C.-1D.一之

22

7.（2分）如图，3C是。。的直径，点/、。在。。上，若N4DC=48°,则N/C3的度

数为（）

第1页共27页

A

A.42°B.48C.90°D.52°

8.（2分）小明家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是

12345678910月份

A.30和25B.30和22.5C.30和20D.30和17.5

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

%+1

9.（2分）当工=_______时，分式无意义.

2x—7

10.（2分）如图，两个正方形的边长分别为a,b,若a+6=10,ab=20,则四边形/BCD

的面积为.

£B

11.（2分）某数学兴趣小组为测量河对岸树N8的高，在河岸边选择一点C.从C处测得树

梢/的仰角为45°,沿方向后退10米到点。，再次测得树梢/的仰角为30°,则

树高为____米.（结果精确到0.1米，参考数据：V2«1.414,遍=1.732）

12.（2分）如图，△/BC中，。是45的中点，CD：AC：BC=1：2：2百，则.

第2页共27页

ADB

13.（2分）如图，点、D,E分别为△4BC的边NC,BC的中点，连接。E,DE=5,BC=6,

ZC=90°,则四边形/BE。的面积为.

14.（2分）要证明命题“若片＞62,则是假命题可以举的反例是.

15.（2分）如图，点/在双曲线J=q"W0）的第一象限的分支上，垂直y轴于点8,

点C在x轴正半轴上，0C=2AB,点E在线段NC上，且/E=3£C,点。为。8的中点,

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）如图，ZUBC中，AB=6,smZACB=

（1）用尺规作图作出以5c为直径的。。（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若点/在（1）中的。。上，连结。/,试求CM的长.

第3页共27页

18.(5分)计算：2sin60°+|V3-2|+(-1)-1-

x—7<4x+2

19.(5分)解不等式组：x+5x+3，并求出所有整数解之和•

丁

20.(5分)已知：关于x的一元二次方程x2+(2m+l)x+nr+m—0.

(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)请选择一个合适的加值，写出这个方程并求出此时方程的根.

21.(5分)已知：在△A8C中，AB=AC,于点。，分别过点N和点。作3C、AD

边的平行线交于点E.

(1)求证：四边形NOCE是矩形；

(2)连结若cos/4SD=]AD=2同求的长.

第4页共27页

22.(5分)如图所示为某个月中不同牌子的私家车的销量统计:

(1)哪个牌子的销量最佳？

(2)〃牌的销量占总销量的百分比是多少?

(3)利用一象形图表示这些数据.

销私家车的销量

量6>0

就

40

20

23.(5分)如图，48为。。的直径，C、。为。。上不同于/、3的两点，N4BD=2/BAC,

过点C作CELDB交DB的延长线于点E,直线AB与CE交于点F.

(1)求证：CF为OO的切线；

(2)填空：

①若AB=4,当03=2下时，BE=；

②当NCAB的度数为时，四边形/CED是菱形.

第5页共27页

24.(6分)对于平面内的点P和图形M,给出如下定乂：以点尸为圆心，以r为半径作。尸,

使得图形M上的所有点都在。P的内部(或边上)，当厂最小时，称。P为图形M的尸

点控制圆，此时，OP的半径称为图形M的尸点控制半径.已知，在平面直角坐标系中,

正方形0/3C的位置如图所示，其中点3(2,2).

(1)已知点。(1,0),正方形048c的。点控制半径为门，正方形0/8。的N点控制

半径为2请比较大小：门7-2;

(2)连接。瓦点厂是线段。2上的点，直线/：y=V3x+^;若存在正方形048。的尸

点控制圆与直线/有两个交点，求b的取值范围.

7

6

5

4

3

2

1

145

1

-6-5-IP1

-2_

-3_

-4_

-5_

-6_

第6页共27页

25.(6分)小明根据学习函数的经验，对函数》=告+1的图象与性质进行了探究.下面

是小明的探究过程，请补充完整：

J4

,1

4

J

-

1

1

一3--1001

■1

一

(1)函数＞=去+1的自变量X的取值范围是;

(2)如表列出了y与x的几组对应值，请写出加，〃的值：m=,n=

X•••_3-1_10132537.・・

~2~22222

.・・31537・・・

ym0-1n2

53325

(3)在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

(4)结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一条性质：.

②当函数值一1r+i〉a2时，x的取值范围是：______.

%—1乙

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26.(6分)已知二次函数夕=32+(1-2m)x+1-3m.

(1)当a=2时，求二次函数图象的顶点坐标；

(2)己知抛物线与x轴交于不同的点/、B.

①求”2的取值范围；

②若时，求线段的最大值及此时二次函数的表达式.

27.(7分)已知Rt/^048,ZOAB^90°,NABO=30°,斜边。8=4,将RtZ\04B绕点

。顺时针旋转60°,点。与点/为对应点，画出RtZXODC,并连接8C.

(1)填空：NOBC=°；

(2)如图，连接/C,作。P_L/C,垂足为P,求OP的长度.

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28.(8分)如图，已知/C,AD为。。的两条直径，连接48,BC,于点E,点、F

是半径。。的中点，连接防.

(1)设OO的半径为1,若NA4c=30°,求线段斯的长.

(2)连接8尸，DF,设05与£尸交于点尸，

①求证：PE=PF.

②若DF=EF,求NR4C的度数.

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2025年北京市丰台区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分16分）

解：4是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确;

不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

故选：A.

2.根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科

学记数法表示为（）

A.1.6X108B.1.6X107C.16X106D.1.6X106

解：将16000000用科学记数法表示为：1.6X107次.故选：B.

3.（2分）实数a,6在数轴上的对应点如图所示，则下列不等式中正确的是（）

b0a

A.ab>0B.a+b>0C.同>以D.b<a

解：由图可知，b<0<a,且同<回.A、ab<0,故本选项错误，不符合题意；

B、a+b<0,故本选项错误，不符合题意；。、同<以，故本选项错误，不符合题意；

D、b<a,故本选项正确，符合题意.故选：D.

4.（2分）内角和等于外角和的多边形是（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

解：设所求〃边形边数为〃，则360°=（«-2）,180°,解得"=4.

外角和等于内角和的多边形是四边形.故选：B.

5.（2分）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△CU8的边长为4,点N在第二象限内,

将△042沿射线/。平移，平移后点©的横坐标为4百，则点方的坐标为（）

第10页共27页

A.(-6V3,2)B.(6V3,-2V3)C.(6,-2)(6V3,-2)

解：•.•等边三角形△0/8的边长为4,点/在第二象限内，

点/坐标为（-2旧，2）,•.•平移后点4的横坐标为4百，

•••平移规律为点/向右平移6B，向下平移6个单位可得点4,

.•.点⑶的坐标为（6V3,-2）,故选：D.

%2—3-1

6.（2分）若x满足X2-2X-2=0,则分式（一--2）十7、的值是（）

x-lXT

13

A.1B.-C.-1D.一*

22

总刀产2—31x2—3—2（x—1）（1、N—2%—12。1

W：（-----2）+—=------------------•（x-l）=------Z-•（x-l）=x2-lx-1,

X—1x—1Tx-lx—1

Vx2-2x-2=0,.,.x2-2x=2,，原式=2-1=1.故选：A.

7.（2分）如图，5C是。。的直径，点4、。在。。上，若N4DC=48°,则N4C5的度

数为（）

A.42°B.48C.90°D.52°

解：TBC是。。的直径，：.ZBAC=90°,

VZB=ZADC=4S°,ZACB=90°-NB=42°；故选：A.

8.（2分）小明家1月至10月的用电量统计如图所示，这组数据的众数和中位数分别是

J.K：・•卜

616'月份

第11页共27页

A.30和25B.30和22.5C.30和20D.30和17.5

解：将这10个数据从小到大重新排列为：10、10、15、15、20、20、25、30、30、30,

所以该组数据的众数为30、中位数为生善=20,

故选：C.

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

7%+1

9.（2分）当_时，分式一"^无意义.

22x—7

%+1

解：•••分式丁F无意义，

2x-7

7

/.2x-7=0,解得：x=£

-7

故答案为：--

10.（2分）如图，两个正方形的边长分别为a,b,若a+6=10,ab=2Q,则四边形/BCD

解：根据题意可得，四边形ABCD的面积

11

=（［2+抉）—2层—2b（a+b）

二（/+庐-ab）

=2（a2+b2+2ab-3ab）

=引（a+b）2-3ab］；

代入a+6=10,ab=20,可得：

四边形NBC。的面积=（10X10-20X3）+2=20.

故答案为：20.

11.（2分）某数学兴趣小组为测量河对岸树的高，在河岸边选择一点C.从C处测得树

梢/的仰角为45°,沿8C方向后退10米到点。，再次测得树梢/的仰角为30°,则

树高为13.7米.（结果精确到0.1米，参考数据：&=1.414,V3-1.732）

第12页共27页

/ABC=9Q°,0）=10,

在Rt448C中，/4CB=45°,

：.AB=CB,

在RtAABD中,ZADB=30°,BD=CD+BC=10+AB,

AB

.•.+tan30—百力，

„V3AB

即—=------,

310+AB

解得48和13.7（米）.

答：树高约为13.7米.

故答案为：13.7

12.（2分）如图，AABC中，。是AB的中点，CD：AC：2C=1：2：2V3,则48CX>=30°

C

ADB

解：延长CD到£,使DE=CD,连接8E,过E点作MLBC,垂足为尸,

”是4B的中点，

：.AD=BD,

又；/ADC=/BDE,DE=DC,

：./\ADC^/\BDE（&4S）,

：.AC=BE,

"：CDtAC：BC=1：2：2V3,

设CD=%,则/C=2〃?=3£=CE,

；.FC=FB=^BC=小1rn,

在RtACEF中，cos/FCE=||=祟=*

/.ZFCE=30°,即/8Cr>=30°,

第13页共27页

13.（2分）如图，点。，E分别为△45C的边4C,5c的中点，连接。打，DE=5,BC=6,

ZC=90°,则四边形的面积为18.

解：♦:D、E分别是△ZBC边4C,8C的中点，

1

：.DE//AB,DE=^AB=5,

：.AB=10,

VZC=90°,

：.AC=S,

,:DE〃AB,

・••△CDEsACAB,

.SMDE（DE21

SaCAB484

1

7X6X8=24,

:・SACDE=6,

・•・四边形的面积=24-6=18,

故答案为：18.

14.（2分）要证明命题“若〃2＞序，则Qb”是假命题可以举的反例是一a=-2,b=l.

解：当4=-2,6=1时，有/，序，

但a＜b,

故答案为：a=-2,b=1.

15.（2分）如图，点/在双曲线＞=520）的第一象限的分支上，垂直/轴于点2,

点C在x轴正半轴上，。。=248,点E在线段/C上，且NE=3EC,点。为。2的中点,

16

连接CD,若4CDE的面积为1,则人的值为一百一.

第14页共27页

,/OC=2/8,点。为。8的中点，

1

：.C(2a,0),D(0,56),

•：AE=3EC,4CDE的面积为1,

••S/\ADC~^S/^CDE=^9

,**5梯形/BOC=S△力BD+S^OCD+S^Z。。,

11I11

.•・一(Q+2Q)•/?=亍・。・-6+5・2〃・—b+4,

22222

,716

••ab=

・・•点4在双曲线＞=?(左WO)的图象上，

•,7•K=16

故答案为弓.

16.(2分)计算：-(-4)+1-51-7=2

解：-(-4)+|-5|-7=4+5-7=2,

故答案为：2.

三.解答题(共12小题，满分68分)

17.（5分）如图，△A8C中，48=6,sinZACB=

（1）用尺规作图作出以5c为直径的。。（不写作法，保留作图痕迹）;

（2）若点/在（1）中的。。上，连结。/,试求04的长.

解：（1）如图,

第15页共27页

O。即为以BC为直径的圆；

（2）连接CM,

:点/在。。上，3C为。。的直径，

/.ZBAC=90°,

AB3

・•・s•in/ZAC^3O=-耳7r=-耳,

.•.5C=|x6=10,

1

：.OA=^BC=5.

所以04的长为5.

18.（5分）计算：2sin60°+|V3-2|+（-1）-1-

解：原式=2x亭+2-—1+2

=V3+2-V3-1+2

=3.

x—7<4x+2

19.（5分）解不等式组：%+5%+3，并求出所有整数解之和.

x—7<4x+2①

解：%4-5%+3小'

解不等式①得x>-3,

解不等式②得xWl,

原不等式组的解集是-3<xWl,

...原不等式组的整数解是-2,-1,0,1,

...所有整数解的和-2-1+0+1=-2.

20.（5分）已知：关于x的一元二次方程/+（2m+l）x+m2+m=0.

第16页共27页

(1)求证：此方程总有两个不相等的实数根；

(2)请选择一个合适的加值，写出这个方程并求出此时方程的根.

(1)证明：*.*△=(2加+1)2-4"，-4加=1>0,

方程总有两个不相等的实数根；

(2)解：当m=0时，方程化为x2+x=0,

解得X1=O,X2=-1.

21.(5分)己知：在△48C中，AB=AC,4D_LBC于点。，分别过点/和点C作BC、AD

边的平行线交于点E.

(1)求证：四边形NDCE是矩形；

(2)连结BE,若cosNAB0=],40=2B，求的长.

(1)证明："：AE//BC,CE//AD,

：.四边形ADCE是平行四边形，

'JADLBC,

：.ZADC=9Q°,

•••平行四边形是矩形；

(2)解：在中，ZADB=90°

'cosXABD=

BD1

•—,

AB2

•设5Z)=x,AB=2x

.AD=V3x,

•AD=2®

・x=2

.BD=2,

*AB=AC,ADLBC,

第17页共27页

:.BC=2BD=4.

:矩形/DCE中，EC=AD=2y[3,

:.BE=2位.

22.(5分)如图所示为某个月中不同牌子的私家车的销量统计:

(1)哪个牌子的销量最佳？

(2)打牌的销量占总销量的百分比是多少？

(3)利用一象形图表示这些数据.

销私家车的销量

量60

期40

20

解：(1)T牌子的销售量是60,最大，所以7牌子的销售量最佳；

(2)〃牌的销售量是50,占总售量60+50+40+30=180的为50+180-28%；

(3)

23.(5分)如图，AB为。。的直径，C、。为OO上不同于/、3的两点，/4BD=2/BAC,

过点C作CELDB交DB的延长线于点E,直线AB与CE交于点F.

(1)求证：C尸为OO的切线；

(2)填空：

第18页共27页

①若45=4,当/时，BE=1；

②当NC45的度数为时，四边形4C即是菱形.

U：OA=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

：.ZBOC=ZA+ZOCA=2ZOACf

丁NABD=2/BAC,

：./ABD=/BOC,

：.OC//BD,

■:CEJLBD,

J.OCLCE,

・・・C方为。。的切线；

(2)①・.Z5=4,

\OB=BF=OC=2,

\OF=A,

JBE//OC,

.BFBE1

9OF-OC-2’

：.BE=\,

第19页共27页

故答案为：1;

②当NC42的度数为30°时，四边形NCFD是菱形，

理由：VZCAS=30°,

：.ZCOF=60°,

，/斤=30°,

：.ZCAB=ZF,

：.AC=CF,

连接40,

•：AB是。。的直径，

C.ADLBD,

J.AD//CF,

：.ZDAF=ZF=30°,

在4ACB与4ADB中，

(^CAB=乙DAB=30°

\^.ACB=ND=90°,

VAB=AB

.♦.△ACB义LADB(AAS),

：.AD=AC,

：.AD=CF,

'JAD//CF,

四边形/CFO是菱形.

故答案为：30°.

24.(6分)对于平面内的点P和图形M,给出如下定义：以点尸为圆心，以r为半径作OP,

使得图形M上的所有点都在。尸的内部(或边上)，当:•最小时，称。尸为图形M的尸

点控制圆，此时，OP的半径称为图形〃的尸点控制半径.已知，在平面直角坐标系中，

正方形O/3C的位置如图所示，其中点3(2,2).

(1)已知点。(1,0),正方形0/3C的£>点控制半径为门，正方形CU8C的N点控制

半径为厂2,请比较大小：n<ri\

(2)连接。瓦点厂是线段。2上的点，直线/：»=底+6；若存在正方形O4BC的尸

点控制圆与直线/有两个交点，求b的取值范围.

第20页共27页

7

6

5

4

3

2

1

-104

-6-5-4-3-2-1

-2

-3

-4

-5

-6

解：(1)由题意得：n=BD=CD=Vl2+22=V5,n=AC=V22+22=2V2,

.*.ri<F2,

故答案为：<.

(2)如图所示：。。和的半径均等于03,

当直线/：尸倔"与。。相切于点M时，连接(W,贝

则直线的解析式为：v=-争，

设Af(x,--^-x)»

•：OM=OB,

OM—J%2+(—呼%(=V22+22,

o%2

=8，

解得：x=—伤或x=V6(舍)，

—程式=V2,

：.M(-V6,V2),

第21页共27页

将M(—V6,V2)代入y=V3x+b得：V2=V3x(—V6)+b,

解得：b=%0

当直线/：>=岳+6与相切于点N时，连接5N,贝IJ5NL,

同理，设直线3N的解析式为：y=-^x+n,将8(2,2)代入得:

x2十几，

・・・〃=2+学,

...直线3N的解析式为：y=-停x+2+孚,

F5

设NQm,——打w+2+

■:BN=OB,

；・J(2—m)2+(2+空TH—2-等)2=、22+22,

...4』+〃/+展竽+X

m2-4加+2=0,

.\m=2-V6(舍)或加=2+乃，

二―新+2+竽=—孚(2+V6)+2+竽=2—应，

：.N(2+V6,2-V2),

：.^N(2+V6,2-V2)代入尸血+6得：2-V2=V3(2+V6)+b,

解得：6=2-2日一4位，

；.存在正方形。45c的歹点控制圆与直线/有两个交点，此时6的取值范围为：2-2疗-

4近V6V4&.

25.(6分)小明根据学习函数的经验，对函数了=占+1的图象与性质进行了探究.下面

是小明的探究过程，请补充完整：

第22页共27页

-,+i

j2

■

1

-3--1001

1

-1

-

（1）函数>=告+1的自变量x的取值范围是3^^；

,-1

（2）如表列出了y与x的几组对应值，请写出〃?，〃的值：m=—,n—3

X•••_3-1_10132537…

-22222

.・・.・・

y3m10-1n2537

53325

（3）在如图所示的平面直角坐标系中，描全上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该

函数的图象.

（4）结合函数的图象，解决问题：

①写出该函数的一条性质：函数图象经过原点且关于点（1,1）对称.

②当函数值0+1〉掾时，X的取值范围是：1<X<3.

解：（1）由分式的分母不为0得：x-IWO,

・W1；

故答案为：

11

（2）当x=-1时，.=—二］+1=2,

当％=|•时，y=^34+1=3,

々

...m=1n=3,

故答案为：；，3.

第23页共27页

(3)如图：

(4)①观察函数图象，可知：函数图象经过原点且关于点(1,1)对称，

故答案为：函数图象经过原点且关于点(1,1)对称.

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②观察函数图象，可知：当函数值口+1>或时，X的取值范围是1<X<3,

故答案为：l<x<3.

26.(6分)已知二次函数^=加/+(1-2m)x+1-3m.

(1)当加=2时，求二次函数图象的顶点坐标；

(2)已知抛物线与x轴交于不同的点/、B.

①求加的取值范围；

②若3WmW4时，求线段N3的最大值及此时二次函数的表达式.

解：(1)当〃z=2时，y—mx2+(1-2m)x+1-3m—x2-3x-5,

函数的对称轴为直线x=-六=-息=4，

ZuZXZ4

当％='时，y=%2-3x-5=一整，

故顶点坐标为(I,-挈)；

(2)①△=//-4QC=(1-2m)2-4m(1-3m)=(4m-1)2>0,

i

故4加-IWO,解得：冽。彳；

而>=加/+(1-2m)x+1-3m为二次函数，故加W0,

1

故m的取值范围为：切W0且m丰-r；