高考数学一轮复习题型与专项训练：等差数列题型战法

第六章数列

6.1.1等差数列(题型战法)

知识梳理

一等差数列的通项公式

若等差数列首项为为,公差为d,则通项公式为

an=%+(〃一l)d

二等差数列的前〃项和公式

S=^^=nai+^^d

22

三等差数列的性质

(1)对于等差数列,若m+n=p+q=2k,则+%+4=2%.

(2)若数列｛4｝与也〃｝为等差数列,则｛pc1n+qbn｝仍为等差数列

(3)2=(%—4)是关于n的一次式或常数函数，则｛2｝也是一个等差数列

n22n

(4)S“,S2n,昆“分别为｛4｝的前〃项和,前2〃项和,前3"项和，则S.，S2n-sn,S3,,42,成

等差数列

(5电"4=(2"—l)a.

(6)若等差数列｛见｝的前2九-1项的和为邑,1，等差数列仍“｝的前2〃-1项的和为(“T,则以0=答.

题型战法

题型战法一等差数列的基本量计算

典例1.已知在等差数列｛%｝中，。4+q=20,%=12,则。9=()

A.8B.10C.14D.16

变式1-1.记S“为等差数列｛凡｝的前〃项和.若-2,a2+a6=2,则Sg=()

A.-54B.-18C.18D.36

变式1-2.设S”为等差数列｛%｝的前〃项和，已知4=3,Sg=48,则％=()

A.5B.6C.7D.8

变式1-3.已知等差数列｛%｝的前〃项和为5“，4=2,%=44，则r。=()

A.-110B.-115C.110D.115

变式1-4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若4=2,2S3=S2+a4,则々磔:)

A.-6065B.-6061C.6061D.6065

题型战法二等差中项的应用

典例2.已知数列｛4｝是等差数列，且满足/+%+%0=75,则4+%2=()

A.42B.48C.50D.58

变式2-1.已知数列｛q｝为等差数列，若q+%+%=15,则4+%的值为()

A.4B.6C.8D.10

变式2-2.已知｛4｝是等差数列，且4T是0和生的等差中项，则｛为｝的公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

变式2-3.已知正项等比数列｛风｝首项为1,且4%，，/2%成等差数列，则｛q｝前6项和为（）

口31「63

A.31B.—C.—D.63

3232

变式2-4.等比数列｛4｝的前几项和为S",已知H，2sz,3s3成等差数列，则｛%｝的公比为（）

A.1B.-C.3D.-

243

题型战法三等差数列中的最大（小）项

典例3.设等差数列｛g｝的前”项和为S,,若％=T1,%+&=-6,则当S“取最小值时，”值为（）

A.8B.7C.6D.9

变式3-1.设数列｛%｝是等差数列，公差为d〉0,且S”为其前〃项和，若%=9q+40d,则S“取最

小值时，〃等（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

变式3-2.等差数列｛%｝中，已知%>0,%+%<0,则｛4｝的前〃项和5〃的最小值为（）

A.S、B.56C.S]D.凡

变式3-3.等差数列｛2｝的前〃项和为S〃，公差为d,已知。心0且2q+7d=0.则使S.>。成立的最

小正整数〃的值为（）

A.4B.5C.8D.9

变式3-4.已知等差数列(«„｝的前"项和为S“，若％>0,且&=九，使S“>0成立的最大〃值为()

A.13B.14C.26D.27

题型战法四等差数列片段和的性质及应用

典例4.等差数列｛风｝的前几项和为S“，若其=6,S6=21,则Sg=().

A.27B.45C.18D.36

变式4-L若｛q｝为等差数列，其前几项和为I，S4=2,S8=6,则工=()

A.10B.12C.14D.16

变式4-2.记等差数列｛%｝的前〃项和为S”，已知Ss=5,&=21,则4=()

A.9B.10C.12D.13

变式4-3.已知数列｛%｝是等差数列，Y=|,则"=()

A.—B.—C.—D.—

10389

变式4-4.在等差数列｛q｝中，其前〃项和为5.，若521。=6：1,则S28：S]4=()

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

题型战法五两个等差数列前n项和之比问题

典例5.设等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别是臬，若*=含，则充=()

CD

A.—B•日-T7-it

20

变式5-1.等差数列&｝,也｝的前〃项和分别为5“工，且米=累，贝（）

A-1B-1CAD-H

变式52若两等差数列｛%｝,也｝前〃项和分别为4,B“,满足上=辞!（〃€猴），则年的值为•

734「78

A.-B.-C.一D.—

42371

变式53已知5“工分别是等差数列也｝,也｝前项和，且率=fj£!（”eN*）,则号/+）

1

n""乙%十"18。6十05

VB.IIC.gDc.—41

78

变式5-4.设等差数列｛4｝与等差数列也｝的前〃项和分别为S“，若对于任意的正整数〃都有

2〃+1”

)

c35

A.—B.—C.—D.——

52504846

题型战法六等差数列的简单应用

典例6.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，

令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八

十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么

三人各分得多少白米？''请问甲应该分得白米为（）

A.96石B.78石C.60石D.42石

变式6-1.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬

至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、

芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、

雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

变式6-2.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公

约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等.书中记载如下问题:

“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布

增长（）

A.上尺B.3尺C.电尺D.色尺

7312915

变式6-3.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石，令甲，乙，丙

、丁，戊五人递差分之，要将甲、乙二人数与丙、丁，戊三人数同.问：各该若干？其大意是：现有大

米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米

重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大

米重量为（）

A.32石B.40石C.48石D.56石

变式6-4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，

次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小

的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

题型战法七由递推关系证明等差数列

典例7.数列｛q｝满足4=6------

an-\

⑴求证：数列;是等差数列.

a-3j

⑵若q=6,求数列｛%｝的通项公式

变式7-1.已知数列｛4｝中，q=g,an-an+1=2anan+1.

⑴证明:数列是等差数列.

⑵求数列｛4｝的通项公式.

变式7-2.已知数列｛%｝中，4=2,。“=2设2=1^(〃€篦

an-\a〃—1

⑴求证：数列出｝是等差数列；

(2)求｛%｝的通项公式.

变式7-3.已知数列｛。〃｝满足一工7，且幻=3(〃eN*).

⑴证明：数列是等差数列;

U-2J

(2)求数列｛〃〃｝的通项公式.

31

变式7-4.设S〃为数列｛q｝的前〃项和，且亍S向=2-3

(1)证明：数列占是等差数列;

⑵求数列｛凡｝的通项公式.

题型战法八含绝对值的等差数列前n项和

典例8.已知在前〃项和为S”的等差数列｛%｝中，2%-电=22,53=102.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛㈤｝的前20项和盘.

变式8-1.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%+%=-2,邑=57.

(1)求数列｛4｝的通项公式。“；

(2)求数列｛|。.|｝的前〃项和T,.

变式82在等差数列｛%｝中，%=T86,09c+5O.

⑴求｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛同｝的前〃项和T".

变式8-3.记数列｛。“｝中，。1=-7,2=-6,a“+i=kz“+l(〃eN+#eR).

⑴证明数列｛%,｝为等差数列，并求通项公式

(2)记］=同+同+同+…+同，求T”.

变式8-4.数列｛%｝中，q=8,g=2,且满足。皿-2*1+%=。.

⑴求数列｛为｝的通项公式；

(2)设％=同,求数列出｝的前"项和.

第六章数列

6.1.1等差数列(题型战法)

知识梳理

一等差数列的通项公式

若等差数列首项为由,公差为d,则通项公式为

an=ax

二等差数列的前〃项和公式

S,l=^^=nal+^^d

n212

三等差数列的性质

(1)对于等差数列｛〃/，若m+rt=p+q=2k,则4n+q=+4=2%.

⑵若数列｛%｝与｛〃｝为等差数列，贝网pan+qbn］仍为等差数列

(3)&+3-4)是关于〃的一次式或常数函数，贝IJ｛2｝也是一个等差数列

n22n

(4)S„,S2n,邑,分别为｛4｝的前几项和,前2〃项和，前3〃项和,则S",S2n-Sn,

S3-S2"成等差数列

(5电,_1=(2〃一1)4

(6)若等差数列｛q｝的前2”-1项的和为邑等差数列仍“｝的前2〃-1项的和为,则

邑"-1_an

丁2“-1%

题型战法

题型战法一等差数列的基本量计算

典例1.已知在等差数列｛%｝中，&+4=20,%=12,则佝=()

A.8B.10C.14D.16

【答案】D

【分析】根据等差数列的通项公式可求出结果.

【详解】设公差为d,

q+3d+q+7d=20/日q=0

则

q+6d=12d=2

%="i+8d=16.

故选：D.

变式1-1.记S“为等差数列｛%｝的前〃项和.若％=-2,。2+。6=2,则£=()

A.-54B.-18C.18D.36

【答案】C

【分析】根据题意求出公差，再根据等差数列的前〃项和公式即可得解.

【详解】解：设公差为d,

则出+4=2al+6d=-4+6d=2,解得(7=1,

所以=〃-3,

9(%+佝)9x(-2+6)

所以S9=--------=----------=1O.

22

故选：C.

变式1-2.设5“为等差数列｛%｝的前〃项和，已知名=3,$8=48,则％=()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】结合已知及等差数列的通项公式及求和公式，可求解公差d,从而求得通

项公式,代入〃=5则可得出答案.

a.+2d=3%=-1

【详解】由已知可得,8%+28"=48'解可得

d=2

cin——1+(7?—1)x2—2〃—3

a5=2x5—3=7

故选：C.

变式1-3.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S",4=2,%=4%,则品,=()

A.-110B.-115C.110D.115

【答案】B

【分析】根据题意和等差数列的通项公式求出公差，结合等差数列前九项求和公式

计算即可.

【详解】由题意知，4=2，%=4%,

得4+6d=4（6ZJ+2d）,解得d=-3,

所以九=10x2+业竽3*（-3）=-115.

故选：B

变式1-4.已知等差数列｛4｝的前几项和为S“，若4=2,2s3=Sz+%，贝心2侬=（）

A.-6065B.-6061C.6061D.6065

【答案】B

【分析】根据等差数列的前〃项和公式及通项公式，列出方程组求出公差d,从而

即可求解.

【详解】解:设等差数列的公差为力根据已知可得213x2+言V）=2x2+d+2+3d,

解得d=-3,

所以4022=2-3X（2022_1）=-6061.

故选：B.

题型战法二等差中项的应用

典例2.已知数列｛“"｝是等差数列，且满足+。9+%0=75,则4+%2=（）

A.42B.48C.50D.58

【答案】C

【分析】利用等差中项的性质可求得结果.

【详解】由等差中项的性质可得%+%+%）=3%=75,则佝=25,因此，

a6+ai2=2a9=5。.

故选：c.

变式2-1.已知数列｛?｝为等差数列，若％+%+%=15,则和的值为（）

A.4B.6C.8D.10

【答案】D

【分析】由等差中项的性质进行计算

【详解】由题意得：6+%+%=3%=15,所以%=5,

故%+4—2a§—10

故选：D

变式2-2.已知｛4｝是等差数歹U,且%-1是出和牝的等差中项，则｛%｝的公差为（）

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】由等差数列的性质以及通项公式得出｛见｝的公差.

【详解】设等差数列｛4｝的公差为由已知条件，得生+%=2（%-1）

即q+d+（4+4d）=2（卬+2d—l）,解得d=—2.

故选：A

变式2-3.已知正项等比数列®｝首项为1,且4%，%，2%成等差数列，则｛%｝前6项

和为（）

3163

A.31B.—C.—D.63

3232

【答案】C

【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前九项和公式即可求解.

【详解】•••4%,%2%成等差数列，

2a3=4%+2&，

1♦=46/+2〃]/,即2/+q—l=0,解得4=g或9=一1,

又•."">0,

2

故选：C.

变式2-4.等比数列｛%｝的前〃项和为S“，已知H，2s>3s3成等差数列，则｛%｝的

公比为（）

A.~B.—C.3D.—

243

【答案】D

【分析】利用等差中项以及等比数列的定义即可求解.

【详解】设等比数列｛4｝的公比为4,

因为S1,2s2,3邑成等差数列，所以4+353=2x28,

所以4q+3a2+3色=4q+4%,

化为：3〃3=〃2,解得4=；.

故选：D

题型战法三等差数列中的最大（小）项

典例3.设等差数列｛g｝的前〃项和为S“，若a4+a6=-6,则当S“取最小值

时，〃值为（）

A.8B.7C.6D.9

【答案】C

【分析】先求得等差数列｛《｝的通项公式，即可得到4取最小值时〃的值.

.、，，.,[ci,=-11,[CL=—11

【详解】由।,,可得，

[4+3d+q+5d——6[d=2

则等差数列｛%｝的通项公式为%=Tl+2伽-1）=2〃-13

则等差数列｛〃〃｝中：％<%<。3<〃4<“5<4=-1<0<1=%<“8<Q9V

则等差数列｛«„｝的前〃项和S,取最小值时，n的值为6

故选：C

变式3-1.设数列｛%｝是等差数列，公差为d>0,且S,,为其前〃项和，若&=9%+404,

则S"取最小值时，〃等（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

【答案】C

【分析】通过已知条件求得4=。，由此确定正确选项.

【详解1因为几=9%+40d,所以10q+45d=9ax+40d,所以％=-5d,即4=。.

因为数列｛%｝是等差数列，公差为d>o,所以〃=5或6时，s“取最小值.

故选：C.

变式32等差数列®｝中，已知%>。，«2+«io<O，则｛%｝的前“项和S”的最小值

为（）

A.S5B.$6C.S[D.58

【答案】B

【分析】由等差数列的性质将%+%<。转化为％<0，而%>。，可知数列是递增数，

从而可求得结果

【详解】•••等差数列｛4｝中，2+4。<0,

1+410=2。6<0,即%<0.又%>°，

...｛«„｝的前几项和S”的最小值为色.

故选：B

变式3-3.等差数列｛氏｝的前〃项和为S“，公差为d,已知q<0且2q+7d=0.则使

S,>0成立的最小正整数〃的值为（）

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【分析】利用等差数列求和公式结合条件可得S“=-与”2+9卬〃,然后解不等式即得.

2

【详解】因为24+7d=0,d=--ax,

所以S'=叫+""；1"=_]〃2+：的,又4<0,

由S“>0,可得>一8〃>0,即〃>8,

所以使5“>。成立的最小正整数n的值为9.

故选：D.

变式3-4.已知等差数列｛%｝的前”项和为S“，若%>0,且式=%,使4>0成立的

最大”值为（）

A.13B.14C.26D.27

【答案】C

【分析】由几=几可解得%=。，再利用等差数列的前”项和公式并结合等差数列

的性质即可求解

【详解】由兀=几=阳+。“+%5=。=3%4=。=%4=。

又q>0,所以公差d<0

S16===130+%）>0

s_27(/+%)—27a-o

°27—2—N/44—U

所以使S“>0成立的最大n值为26

故选：C

题型战法四等差数列片段和的性质及应用

典例4.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，若邑=6,'=21,则Sg=().

A.27B.45C.18D.36

【答案】B

【分析】根据等差数列前〃项和的性质可得邑，S',品-4成等差数列，从而可

列方程可求出结果.

【详解】由已知S3,S6-S3,S9-S6,即6,15,项-21成等差数列,

所以2x15=6+(09—21),所以Sg=45,

故选:B.

变式4-1.若｛%｝为等差数列，其前〃项和为S“，S4=2,S8=6,则品=()

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由等差数列前〃项和的性质计算即可.

［详解］由等差数列前〃项和的性质可得兀-乞,邑,邑成等差数列，

.-.2(S8-S4)=S4+S12-S8,即2(6-2)=2+S12-6,

得兀=12.

故选：B.

变式4-2.记等差数列｛%｝的前"项和为S"，己知名=5,15=21,则1=()

A.9B.10C.12D.13

【答案】C

【分析】由等差数列前"项和的性质可知：s5,sw-s5,几-九成等差数列，根据

等差中项的性质列方程即可求解.

【详解】因为S,是等差数列｛g｝的前"项，

由等差数列前"项和的性质可知：

Ss，Sw-S5,几-几成等差数列，

所以2（耳。一55）=55+（九一5。），

即2（%-5）=5+（21-%）,解得:%=12,

故选：C.

变式43已知数列｛。“｝是等差数列，9=；,则m=（

"3J]?

A.—B.-C.-D

1038-I

【答案】A

【分析】利用等差数列前〃项和的性质求解即可

【详解】由，=g，得$6=3邑，设$3=%则$6=3%

因为数列｛《｝是等差数列，

所以SSN-S.SL"，兀-',……，是以加为首项,m为公差的等差数列,

所以品-£=3m,Sn-S9=4m,

所以89=6^,S12=10m,

〜tS63m3

所以丁=77蔡=6，

d1210m10

故选：A

变式44在等差数列｛%｝中，其前〃项和为S“，若S"：S7=6:1,则$28：儿=（

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【分析】根据等差数列前〃项和的性质求解即可

【详解】由等差数列前”项和的性质可得，$7,凡-邑㈤「跖，邑成等差数列，

设跖=s,则S"=6s,即s,几一，，6S-、4成等差数歹U,故2（&-S）=S+6S-&，解得

S14=3S,故57,514-跖，521-、4,528-51即$，2$,35,45,故%-6s=4s,%=10s,故

$28：儿=1。：3

故选：D

题型战法五两个等差数列前n项和之比问题

典例5.设等差数列｛%｝,也｝的前〃项和分别是加1,若＞含，则詈=（）

1n十/线

【答案】B

【分析】利用鲁=》求解.

b

641

【详解】解：因为等差数列｛叫，也｝的前〃项和分别是s〃z,

aY+anll(q+qi)

&2211

----

所以-%3O

22+2-

故选：B

变式5-1.等差数列｛4｝,也｝的前〃项和分别为"，且A累，则£=（）

19

D.

32

【答案】D

【分析】利用%冷於即可得解

【详解】由题吟卷）二2x9+119

3x9+532,

故选：D

【点睛】本题主要考查等差数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

A7〃+3

变式52若两等差数列｛4｝,他｝前“项和分别为4,纥，满足才=G7（”€乂），

则》的值为.

bu

A7c34-78

A.-B.—C.—D.—

42371

【答案】B

【详解】解：因为两等差数列｛〃“｝、｛〃｝前〃项和分别为4、纥，满足

变式5-3.已知S",分别是等差数列｛4｝,也｝前项和，且＞集|（〃eN*）,则

%0|

03+“18"6+015

【答案】D

【分析】利用孑=A5eN*）及等差数列的性质进行求解.

bnT2n-i

【详解】S,,!；分别是等差数列｛q｝也｝的前项和，故詈=A（〃eN*）,且

"n12n-l

Z?3+Z?18=b6+bi5=bi0+bn,故

a+a

al0+_%o+11_ion_^20_2x20+1_41

b+b

4+%6i54o+%4+%a0+仄1T204X20-278

故选：D

变式5-4.设等差数列｛4｝与等差数列｛4｝的前〃项和分别为S“，人若对于任意的正

S2〃+1a

整数〃都有,=不「则才Q=（）

A.至B.卫C.卫D・史

52504846

【答案】B

【分析】先设Sa=（2〃+1）加，Tn=（3n-l）nt,由%W，々=7；-[直接计算，■即

可.

【详解】设5“=（2〃+1）m，（=（3，-1）加，rwO.贝1]%=58-57=136-105，=31/,

LLI%31

&=心一1=234好184y50/,所以,=云.

b950

故选：B.

题型战法六等差数列的简单应用

典例6.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米

一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”

其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差

数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白

米为（）

A.96石B.78石C.60石D.42石

【答案】B

【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解.

【详解】依题意，设甲、乙、丙分得的米重量分别为生,%，则《1+。2+。3=3g=180,

且q—“3=-2d=36,解得％=60,d=—18,

所以q=60+18=78,

故选：B.

变式6-1.在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的

一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、

清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、

立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、

惊蛰、谷雨日影长之和为（）

A.25.5尺B.34.5尺C.37.5尺D.96尺

【答案】A

【分析】由题意可知，十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至日的日影长为可

尺，公差为d尺，利用等差数列的通项公式，求出d,即可求出为,从而得到答案.

【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立

夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{6},如冬至日的日影长为外

尺，设公差为d尺.

由题可知，所以4+&+%=3L5=>3a4=31.5=>%=25，

%+%+%=28.5=>3%—28.5=>%=9.5,

d=%—=9.5—10.5——1,

6+4+%=3%=3（%+d）=3x（9.5—l）=3x8.5=25.5,

故选：A.

变式6-2.《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的

成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问

题求解等.书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共

织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长（）

A.*B,（尺C,2尺D.2尺

【答案】C

【分析】设每日织布增长X尺，根据题意，并利用等差数列的求和公式列出方程求

解即可.

【详解】设每日织布增长x尺，则5+(5+x)+(5+2x)++(5+29x)=390,

(5+5+29^)x30

即=390,解得尤

2

故选：C.

变式6-3.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：今有米二百四十石,

令甲，乙，丙、丁，戊五人递差分之，要将甲、乙二人数与丙、丁，戊三人数同.问：

各该若干？其大意是：现有大米二百四十石，甲，乙，丙，丁，戊五人分得的重量

依次成等差数列，要使甲，乙两人所得大米重量与丙，丁，戊三人所得大米重量相

等，问每个人各分得多少大米？在这个问题中，丁分得大米重量为()

A.32石B.40石C.48石D.56石

【答案】B

【分析】由等差数列设甲，乙，丙，丁，戊所得大米重量。-2〃，a-d,a,a+d,

a+2d,根据已知条件列方程求参数a、d,即可求丁分得大米重量.

【详解】设甲，乙，丙，丁，戊所得大米分别为a—2d,a—d,a,a+d,a+2d,

••彳衣昂页后、，ci—2d+ci—d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,

3^.a—2c/+a—d+a+a+d+a+2d—5a=240,角军d导a=48,

综上，可得d=-8,

工丁分得大米重量为a+d=40(石)，

故选：B.

变式6-4.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分

八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”.题意是：把992斤绵分给8个儿

子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那

么第8个儿子分到的绵是()

A.174斤B.184斤C.180斤D.181斤

【答案】C

【解析】由题意设第9-〃个儿子分到的绵是与，构造等差数列｛%｝,利用等差数列

求和公式求解q.

【详解】设第8个儿子分到的绵是生,第9-〃个儿子分到的绵是%,则｛%｝构成以%

为首项，-16为公比的等比数列

Ss=84+=X(T6)=992

解得q=180

故选：C

【点睛】与数列有关的实际问题，可由条件构造等差或等比数列，利用求和公式构

造等式求解.

题型战法七由递推关系证明等差数列

典例7.数列｛风｝满足4=6-——(〃eN*,〃N2).

an-\

(1)求证：数列」是等差数列.

(2)若4=6,求数列｛%｝的通项公式

【答案】(1)证明见解析

3

(2)%=3+—

n

【分析】(1)由递推关系可证得，-一二=：,由此可证得结论；

(2)由等差数列通项公式可求得」，由此可得％.

(1)

]______1_1__1二%__1_J

a-33<7-9a-3

当〃22时，。〃一3an_x-36__2__3n-\n-in-i3%-93,

*一

数列是以:为公差的等差数列.

4-3J3

(2)

；.数列<二-J首项为公差为9，/

Jyan-3]33〃〃-3JJJ

33

贝I」—3=一,/.％=3H■一.

nn

变式7-1.已知数列｛%｝中，4=；，4-4,+1=2。必+1.

⑴证明:数列是等差数列.

(2)求数列｛g｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析；

1

⑵

【分析】(1)根据已知条件，证明一一一；为常数即可;

Un+\an

(2)根据⑴的结论和等差数列通项公式即可求｛%｝的通项公式.

(1)

由已知得，5=2]a“-.什]2,c_2

an~aa~aa'

«„+inn+1nn+l

所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.

(2)

由⑴知，卜%ZU"，，“小

变式7-2.已知数列｛4｝中，4=2,a,=2-——(n>2,we^*),设N=-三，zeN*).

an-\4—1

⑴求证：数列圾｝是等差数列；

(2)求｛qj的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

⑵-1+加收

【分析】⑴根据题意化简得到％鹏=己-六=7结合等差数列的定义,

即可求解;

(2)由(1)得到6.=2=M〃eN*),即可求得｛4｝的通项公式.

an1

(1)

证明：因为。〃=2-—―,所以%+1=2-'.

an-lan

1111a1

则么+='=^=l

4+1T。〃-12-

所以｛2｝是首项为A=4=1,公差为1的等差数列.

2—1

⑵

1

解：由⑴知2=〃，所以2==n(neN\解得4=1+_L,

n

所以｛%｝的通项公式为=l+'(〃eM

n'

6%-4

变式7-3.已知数列｛cm｝满足加奴=且0=3(代N*).

〃“+2'

1

(1)证明：数列是等差数列;

-2

(2)求数列｛〃〃｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

2〃+10

⑵，2N*

n+3

11

【分析】(1)由已知条件转化可得进而结合等差数列

。〃+1—24-2

的定义即可得出结论;

1

(2)利用等差数列的定义可求出数列的通项公式，进而求出结果.

⑴

114+2〃〃-2+411

--------------------------------——\~

由%-26a-43。〃一(。〃一)

证明—2——-248424an-2

4+2

111

即——7——7r“GN*，故数列是等差数列.

%+1_24-2M一2

⑵

111n+3

由⑴知%-2=a「2x-=----

+(«-044

2〃+10

所以％,“GN*.

n+3

31

变式7-4.设S“为数列｛q｝的前〃项和，且5=亍Sz=2-3

(1)证明：数列［占I是等差数列;

(2)求数列｛为｝的通项公式.

【答案】(1)证明见解析

［31

—,n=l

(2)%=产

----------,n>2

〃(几+1)

1s

【分析】(1)根据题意化简得到十二7=七,结合等差数列的定义，即可证得数

列|』是等差数列.

(1)由(1),利用等差数列的通项公式，求得S"U+1,结合当“N2时，4=S,_S,T，

n+1

即可求得数列｛4｝的通项公式.

(1)

11S-1

解：由题意，数列｛%｝满足"+1=2-不，可得S"+-1=1-7=T，

则，=工所以」_____L=二-一—L=邑匚=1

人」S“+「l所以S"+「1S„-lS„-lS„-lS„-l'

31

又由所以「［=2,

25.I

所以数列表示首项为2,公差为1的等差数列.

(2)

解：由数列［£］表示首项为2,公差为1的等差数列,

可得17=2+(〃T)X1=W+1,所以5“=1+1,

当〃22时，可得。〃=Sn~Sn-l=~T+l-(—+1)=--/1

n+1nn(n+i)

33

因为H=E，可得q不适合上式,

所以数列｛%｝的通项公式为%=<

-----,n>2