2022北京海淀区初三（上）期中考数学试卷和答案

初中PAGE1初中2022北京海淀初三（上）期中数学注意事项1．本试卷共6页，共两部分，28道小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题纸上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效．4．在答题纸上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A.3，6，4 B.3，，4 C.3，6， D.3，，2.将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是（）A. B.C. D.3.下列四幅图案中，可以由右侧的一笔画“天鹅”旋转得到的图案是（）A. B.C. D.4.如图，是中线，，分别是，的中点，连接EF．若，则的长为（）A. B.2 C. D.45.用配方法解方程时，结果正确的是（）A. B.C. D.6.二次函数的x与y的部分对应值如下表：则的值是（）A.1 B.2 C.5 D.107.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，连接．当点在同一条直线上时，下列结论不正确的是（）A. B.C. D.8.如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（）A. B. C. D.第二部分非选择题二、填空题（共16分，每题2分）9.若1是关于x的方程的根，则a的值为___________．10.已知的周长为，则的长为___________．11.若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac_____0（填“＞”或“＝”或“＜”）．12.如图，等边绕顶点逆时针旋转得到，连接，则___________．13.若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为___________．14.如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等．停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为___________．15.点在二次函数的图象上．若，写出一个符合条件的a的值___________．16.甲、乙、丙三名同学每人抽取一张卡片，每张卡片上有一个形如的二次函数的解析式，其中只有一人与其他两人抽到的解析式不同．下面是他们对抽到的解析式所对应的图象的描述：甲：开口向下；乙：顶点第三象限；丙：经过点（，），（，）．根据描述可知，抽到与其他两人解析式不同的是___________（填“甲”，“乙”或“丙”）．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17.解方程：（1）；（2）．18.如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A与点D对应，点B与点E对应．（1）依题意补全图形；（2）直线AB与直线DE的位置关系为___________．19.已知是方程的一个根，求代数式的值．20.如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，交于点F．若，求的长．21.在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）该抛物线的对称轴为___________．22.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B．（1）求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象；（2）一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集．24.如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若，，求DE的长．25.探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面．其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为，则抛物线的焦点为．如图，在平面直角坐标系中，某款探照灯抛物线的表达式为，焦点为F．（1）点F的坐标是___________；（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线射出，所在直线与x轴的交点坐标为．①画出沿射线方向射出的光线的反射光线；②所在直线与x轴的交点坐标为___________．26.在平面直角坐标系中，已知抛物线．（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；（2）已知点．①当抛物线过点时，求的值；②点的坐标为．若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围．27.在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转α（0°<α<30°）得到线段CD，线段CD与线段AB交于点E，射线AD与射线CB交于点F．（1）①依题意补全图形；②分别求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间数量关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，已知点．对于点给出如下定义：当时，若实数k满足，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数．（1）当点A与点O重合时，在中，关于点A的距离系数为1的是___________；（2）已知点，若线段BC关于点距离系数小于，则m的取值范围为___________；（3）已知点，其中．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点D，E为该正方形上的动点，线段的长度是一个定值（）．①线段关于点A的距离系数的最小值为___________；②若线段关于点A距离系数的最大值是，则的长为___________．

参考答案第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）1.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的一般式可直接进行求解．【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是3，，；故选D．【点睛】本题主要考查一元二次方程的一般式，熟练掌握一元二次方程的一般式是解题的关键．2.【答案】A【解析】【分析】直接利用二次函数图象的平移规律：上加下减，平移即可求解．详解】解：将抛物线向上平移2个单位长度，得到的抛物线是，即，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键．3.【答案】A【解析】【分析】根据旋转的性质即可解答．【详解】解：可以下图一笔画“天鹅”旋转得到的图案是．故选A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转只改变了图形的方向、不改变形状．4.【答案】B【解析】【分析】根据三角形中线求出，再根据三角形中位线定理即可求出．【详解】解：∵是的中线，，∴，∵点E，F分别是，的中点，∴，故选：B．【点睛】本题考查了三角形的中线定义、三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．5.【答案】B【解析】【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，故选：B．【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】根据表格数据可知，抛物线的对称轴为，由抛物线的对称性可知，时的值与时的值相等，即可求解．【详解】解：有表格可知，当，，当，，由抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为，∴时的值与时的值相等，∴时的值为5，即的值为5，故选：C．【点睛】此题主要考查了二次函数图象的对称性，解题关键是熟练掌握二次函数的性质．7.【答案】D【解析】【分析】将绕点逆时针旋转得到，可得再证明再逐一分析即可．【详解】解：∵将△ABC绕点逆时针旋转得到△DEC，∴故A不符合题意；∴∴故B不符合题意；∴∴∴故C不符合题意；∵∴故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，掌握“旋转的性质”是解本题的关键．8.【答案】C【解析】【分析】先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称即可解答．【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，∴一个根，另一个根，∵抛物线的对称轴是直线，∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，∴k的值可能为1．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程关系，掌握二次函数图像与x轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键．二、填空题（共16分，每题2分）9.【答案】【解析】【分析】把1代入方程即可．【详解】解：把1代入方程得，∴故答案为：1．【点睛】本题主要考查已知方程根求参数的做法，能够正确代入方程计算是解题关键．10.【答案】4【解析】【分析】根据平行四边形对边相等，即可求解．【详解】解：∵的周长为，∴，∴，∴,故答案为：．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键．11.【答案】＜【解析】【分析】首先由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而判断ac与0的关系．【详解】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴ac＜0．故答案为＜．【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．常数项c决定抛物线与y轴交点．12.【答案】【解析】【分析】根据旋转的性质得出，根据等边三角形的性质可得，等量代换得到，由旋转得出，继而可得，根据三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质得出．【详解】解：∵等边绕顶点逆时针旋转得到，∴，，∵，是等边三角形，∴，，，∴，，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，旋转的性质，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．13.【答案】【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则方程的判别式，据此列方程，解方程可得答案．【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，∴方程的判别式：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，掌握“一元二次方程有两个相等的实数根，则”是解题的关键．14.【答案】【解析】【分析】由停车场外围的长为30米，宽为18米．及车道及入口都是长为x米宽，将两个停车位合在一起，可得出停车位的面积等于停车场的面积减去车道的面积，列出方程即可．【详解】解：依题意得，故答案为：【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】3（答案不唯一）【解析】【分析】二次函数开口向上，离对称轴越远的点函数值越大，找一个离对称轴比1大的数即可．【详解】解：∵二次函数开口向上，∴离对称轴：直线越远的点的函数值越大，A点离对称轴水平距离为1，故a可以等于3．故答案为3（答案不唯一）【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质，熟练运用函数图像的最低点及性质比大小是解题关键．16.【答案】甲【解析】【分析】根据可知，函数图象过，再根据丙的描述，画出图象即可进行判断．【详解】解：，当时，；∴图象过，根据丙的描述，可得的图象如下：∴抛物线的开口朝上，顶点在第三象限，∴乙，丙两位同学描述的是同一函数图象，∴抽到与其他两人解析式不同的是：甲；故答案为：甲．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、解答题（本题共68分，第17题8分，18-25题每题5分，第26题6分，第27、28题每题7分）17.【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根据直接开平方法进行求解方程即可；（2）根据因式分解法进行求解方程即可．【小问1详解】解：∴，；【小问2详解】解：或∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．18.【答案】（1）见解析（2）AB⊥DE【解析】【分析】（1）直接根据旋转的性质作图即可；（2）如图：延长交于点F，然后根据旋转的性质可得，然后根据对顶角相等并结合即可解答．【小问1详解】解：如图即为所求：．【小问2详解】解：延长交于点F由旋转可得:,∵,∵∵，∴,∴，即．故答案为：．【点睛】本题主要考查了旋转作图和旋转的性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解答本题的关键．19.【答案】3【解析】【分析】把代入方程，求出，再将代数式进行化简，利用整体思想进行计算即可．【详解】19．解：∵是方程的一个根，∴．∴．原式．【点睛】本题考查一元二次方程的解得定义，以及利用整体思想求代数式的值．熟练掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．20.【答案】【解析】【分析】利用旋转的性质，得到，为等腰直角三角形，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：∵绕点A顺时针旋转得到，∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴是等腰直角三角形．∴．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键．21.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得出答案．【小问1详解】解：∵抛物线经过和两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：∵，∴抛物线的对称轴为．故答案：．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，对称轴，熟练掌握待定系数法求抛物线解析式的一般步骤，是解题的关键．22.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求得该一元二次方程根的判别式大于等于零即可证明结论；（2）先求出该方程的解，然后令一个实数根小于2，然后求解不等式即可解答．【小问1详解】证明：由题意，．∴该方程总有两个实数根．【小问2详解】（2）解：解方程，得：，．∵方程有一个实数根小于2，∴．∴．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识点，当一元二次根的判别式大于等于零，则该方程有两个不相等的实数根或相等的实数根．23.【答案】（1）（2，0），画图见解析（2）【解析】【分析】（1）令，得出，然后解方程即可求出点B的坐标；（2）先在平面直角坐标系中画出一次函数的图象，然后观察函数图象即可得出答案．【小问1详解】解：令，则，解得，，∴B点坐标为（2，0），列表得：x0123y3003画图得：【小问2详解】解：如图，观察图象可知：关于x的不等式的解集为．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．24.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）利用对边平行且相等证平行四边形，再通过直角三角形斜边上的中线的性质判定即可．（2）连接DE，根据菱形的性质利用勾股定理求解即可．【小问1详解】证明：∵，，∴四边形为平行四边形．∵，BD为AC边上的中线，∴，∴四边形为菱形．【小问2详解】解：连接DE交BC于O点，如图．∵四边形为菱形，，∴．∵，∴．∴．∴．∴．【点睛】本题主要考查菱形的判定及性质，能够熟练运用菱形的性质是解题关键．25.【答案】（1）（2）①见解析，②【解析】【分析】（1）根据题意得出，即可确定点F的坐标；（2）①根据题意确定轴，得出，经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，轴，据此作出平行线即可；②设直线的解析式为，利用待定系数法确定直线AB的解析式，然后与联立求解即可得出结果．【小问1详解】解：根据题意得，，∴，∴，故答案为：；【小问2详解】由题意可知抛物线的对称轴是y轴，∴经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，∴轴∵所在的直线与x轴的交点坐标为，∴A点的横坐标为4，纵坐标为，∴，①经抛物线反射后所得的光线平行于y轴，∴轴∴画出沿射线方向射出的光线的反射光线，如下图所示：②设直线的解析式为，把、代入，得，解得：∴直线的解析式为，由题意可知，直线与抛物线交于A、B两点，把代入整理得，解得：，，∵点B在y轴的左侧，∴B点的横坐标为，∵轴，∴所在直线与x轴的交点坐标为，故答案为：．【点睛】题目主要考查二次函数的应用及利用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与二次函数的综合问题等，理解题意，综合运用一次函数与二次函数的性质是解题关键．26.【答案】（1）（2）①，，②或【解析】【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求解；（2）①将点代入解析式，解一元二次方程，即可得的值；②根据①的结论，结合图形即可求解．【小问1详解】解：∵，∴抛物线的顶点坐标为．【小问2详解】①∵点在抛物线上，∴．∴．解得，．②解：抛物线的对称轴为，点的坐标为，，根据①可得，点在抛物线上，，．当时，点在对称轴的右侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，当时，点在对称轴的左侧，此时抛物线与线段恰有一个公共点，如图，综上所述，或．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．27.【答案】（1）①见解析，②∠CEB=60°＋α，∠AFC=（2）CF=BE＋CE，见解析【解析】【分析】（1）①按要求补全图形即可，②利用等边三角形及旋转的性质结合外角，内角和解题即可．（2）CF=BE＋CE，延长EA至点G使得EG=CE，运用截长补短方法解题即可．【小问1详解】解：①补全图形，如图．②解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°．∵线段CA绕点C逆时针旋转α得到线段CD，∴CA=CD，∠ACD=α．∴∠CAD=∠CDA==．∴∠CEB=∠BAC＋∠ACD=60°＋α．∴∠AFC=180°-∠CAD-∠ACB=．【小问2