第四单元 比（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

比(重难点+思维导图+考点梳理+典例分析+高频考题+答案解析)1、理解比的概念：理解比是两个数相除的关系，表示两个量之间的比例关系。2、掌握比的表示方法：能够正确地表示比，例如使用冒号（:）或分数形式。3、比的基本性质：掌握比的基本性质，如比的前项和后项同时乘以或除以同一个数（除0以外），比值不变。4、比和分数的关系：能够理解比和分数之间的联系，以及如何将比转换为分数形式。5、比的化简学会如何将比化简为最简比，即前项和后项的最大公约数为1。6、比的应用：能够将比的概念应用到实际问题中，如速度、效率、浓度等比例问题。7、比值的计算：在计算比值时，需要掌握如何将比的前项除以后项，并化简为最简形式。8、解决实际问题：能够运用比的知识解决实际问题，如计算混合物的比例或速度比。9、发展数学思维：通过学习比，能够发展逻辑思维和数学推理能力。10、比的常见错误和注意事项：了解在比的计算和应用中常见的错误，并学会如何避免这些错误。【比的意义】比的含义：两个数相除，也叫两个数的比．【比的性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变．这叫做比的基本性质．【求比值和化简比】1．求两个数的比值，就是用比的前项除以比的后项，它的结果是一个数值，这个数值可以是整数，也可以是小数或分数．2．求比值和化简比的方法：把两个数的比化成最简单的整数比．（1）整数比化简方法：把比的前项和后项同时除以它们的最大公因数．（2）小数比化简方法：先把比的前项和后项的小数点同时向右移动相同位数，完成整数比，再进行化简．（3）分数比化简方法：把比的前项和后项同时乘它们的分母的最小公倍数，变成整数比，再进行化简；利用求比值的方法也可化简分数比，但结果必须写成比的形式．【比与分数、除法的关系】1．联系：比的前项相当于分数的分子、除法中的被除数；比号相当于分数的分数线、除法中的除号；比的后项相当于分数的分母、除法中的除数；比值相当于分数的分数值、除法中的商．2．区别：比是一种关系，分数是一种数，除法是一种运算．【比的应用】1．按比例分配问题常用解题方法的应用：（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．2．按比例分配问题的解题方法：（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：a．求出总份数；b．求出每一份是多少；c．求出各部分相应的具体数量．（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：a．先根据比求出总份数；b．再求出各部分量占总量的几分之几；c．求出各部分的数量．【典例1】一项工程，甲、乙、丙三人做．原计划按甲、乙、丙各一天的顺序循环工作，恰好整数天做完；若按乙、丙、甲各-天的顺序循环工作，则比原计划晚12天完成；若按丙、甲、乙各一天的顺序循环工作，则比原计划晚1【答案】解：（1）原计划工作顺序：甲乙丙甲乙丙……甲乙丙甲

第一种情况：乙丙甲乙丙甲……乙丙甲乙丙

第二种情况：丙甲乙丙甲乙……丙甲乙丙甲

甲乙丙各工作一天完成的工作量、乙丙甲各工作一天万成的工作量、丙甲乙各工作一天完成的工作量相同，

故甲=乙+12丙=丙+13甲，即工效比甲：乙：丙=3：2：2，

假设甲一天做3份，一共做了n个完整周期，整个工程为（3+2+2）n+3份，可以列出方程7n+3=（3+2）K，根据K的取值范围，可以解出K=23；

或者5K÷8余3，经检验K取23。

（2）原计划工作顺序：甲乙丙甲乙丙……甲乙丙甲乙

第一种情况：乙丙甲乙丙甲……乙丙甲乙丙12甲；

第二种情况：丙甲乙丙甲乙……丙甲乙丙甲13甲乙；

甲乙丙各工作一天完成的工作量、乙丙甲各工作一天万成的工作量、丙甲乙各工作一天完成的工作量相同，

故甲+乙=乙+丙+12甲=丙+甲+13乙，即工效比甲：乙：丙=4：3：2，

假设甲一天做4份，一共做了n个完整周期，整个工程为（4+3+2）n+7份，可以列出方程9n+7=（4+3）K，根据K的范围，可以解出K=28；【解析】无论顺序如何，每一个周期（三天）的总量是相同的，区别就在最后一个周期，然后根据最后一个周期的不同情况，分情况讨论后求出甲乙丙单人的工效后即可作答。【典例2】在比例尺是1：2000000的地图上，量得甲、乙两地相距42cm。客运、货运两列火车同时从两地相对开出，3小时后相遇，客运、货运两列火车的速度比是4：3。客运火车每小时行驶多少千米？【答案】解：42÷12000000=84000000(厘米)=840千米

840÷3×44+3

=280×47

【解析】首先根据实际距离=图上距离÷比例尺，代入数值计算出甲、乙两地的实际距离，再除以两车的相遇时间求出它们的速度和；再根据客运、货运两列火车的速度比是4：3，得知客运火车的速度是两车速度和的44+3，因此，最后用两车的速度和乘4【典例3】甲、乙两个水管同时注两个同样大小水池，速度比是7：5，73小时后，两个水池的水量和是一个水池的水量。这时，甲水管的速度提高14，乙水管的速度降低【答案】解：因为甲、乙两水管注水速度之比是7：5，所以73小时后A池已注人的水量：773小时后B池已注入的水量：5这时，A池还空余：1−712=若注水速度不变，甲注满一池水还需：73乙注满一池水还需：73则注水速度变化后，甲注满一池水还需：53乙注满一池水还需：4915所以，甲水管注满水后，乙水管注满B池还要：143答：甲水管注满水池后，乙水管还要103【解析】根据速度比求出73【典例4】“84消毒液”是家里常用的消毒液，浓度为10%的消毒原液与水的稀释比例大约是0.5：99.5，现在要配置一瓶1000mL的稀释消毒液，需要浓度为10%的84消毒原液多少mL?【答案】解：1000×0.50.5+99.5

=1000×0.5100

=5（mL）【解析】消毒原液与水的稀释比例大约是0.5：99.5，则消毒原液占稀释消毒液的0.50.5+99.5【典例5】一个容器内已注满水，有大、中、小三个球，第一次将小球沉入水中，第二次取出小球，再把中球沉入水中，第三次把中球取出，再把大、小球一起沉入水中，现在知道每次从容器中溢出的水量，第一次是第二次的13【答案】解：根据分析，设小球的体积为1份，则：

中球的体积＝1＋3＝4（份）

大球的体积＝1＋2.5＋4－2.5＝5.5（份）

体积比＝1∶4∶5.5＝2∶8∶11

答：三个小球体积的比为2∶8∶11。【解析】本题考查的是立体图形的切拼，利用溢出水的体积的变化推断三个球的体积大小。

第一次溢出水的体积即为小球的体积，设为1份。

第二次溢出水的体积即中球的体积－小球的体积＝3份，中球的体积＝4份。

第三次溢出水的体积＝小球的体积＋大球的体积－中球的体积＝2.5份，大球的体积＝5.5份。

三个球的体积比＝1∶4∶5.5＝2∶8∶11。1．随着网购的发展和普及，快递包裹的数量也急剧上升，各快递公司纷纷引入机器人代替人工分拣包裹。据某快递公司智能中心的工作人员介绍，甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹16万件，甲型号机器人的分拣速度是乙型号机器人分拣速度的3倍。甲型号机器人一天可以分拣多少万件包裹？2．六一班原来男生人数与女生人数的比是9：7。后来转学走了3名男生，转来了1名女生，这时男生和女生的人数正好相等。六一班原来有多少人？3．一堆黑白棋子，从中取走了白子15粒，余下黑子数与白子数之比为2：1，此后又从中取走了黑子45粒，余下的黑子与白子数之比为1：5，那么这堆棋子原来共有多少粒？4．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行。出发时，甲车与乙车速度比是3：4，相遇后，乙车的速度增加10%，甲车的速度增加20%，这样当乙车到达A地时，甲车离B地还有17千米，那么A、B两地相距多少千米？5．在比例尺为1：50000的地图上，量得一个长方形的周长是32厘米，长与宽的比是5：3．如果这个长方形的25%被绿化，那么这个长方形的实际绿化面积是多少平方千米？6．甲、乙两车间生产同一种零件，若按4：1向甲、乙车间分配生产任务。这两个车间能同时完成任务。实际生产时，乙车间每天生产15个零件。由于甲车间抽调一部分工人去完成另外的任务，实际每天生产50个零件，若干天后，乙车间完成了任务，甲车间还剩一部分未完成，这时，甲、乙两车间合作，2天后全部完成。问：这批零件有多少个?7．实验小学六年级有学生360人，占全校学生人数的20%。全校学生中男生人数与女生人数的比是5：4，全校共有女生多少人？8．足球社团购买了一批足球，已知一个足球是由32块黑色正五边形和白色正六边形的皮块制成的，黑、白皮块的块数比是3：5，那么黑色和白色皮分别有多少块？9．小仑往240毫升酸梅原汁中加了540毫升水后，才发现调制说明中写有“当酸梅原汁与水的比是4：6时，口感最佳”。请你帮小仑判断一下，为使口感最佳，应该往已调制的酸梅汤中加水还是加酸梅原汁?应该加多少?10．酸梅汤是夏季防暑去火的上佳饮品，小明的妈妈多次尝试，发现酸梅原汁和水按4：9的比配制酸梅汤，口感最佳。周末家里来了几位客人，妈妈打算配制2600毫升同样口感的酸梅汤，需要酸梅原汁和水各多少毫升？11．某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是4：3．结果录取91人，其中男生与女生人数之比是8：5．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是3：4．问报考的共有多少人？12．已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和C，重量比为1：2；第三种只含成分A和C，重量之比为2：3.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A、B和C，这三种成分的重量比为3：5：2？13．学校有体育、舞蹈、武术三个社团共180人，已知体育社团人数、舞蹈社团人数、武术社团人数之比是7：5：6，三个社团各有多少人？14．一列慢车和一列快车分别从A、B两站相对开出快车和慢车的速度比为6：5，慢车先从A站开出34千米，快车才从B站开出，相遇时，快车与B站的距离比慢车与A站的距离多42千米。A、B两站相距多少千米？15．甲、乙两辆车分别从A、B两地同时相向而行，甲车每小时行40千米。当两车在途中相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程的比是8：7。相遇后，两车立即返回各自的出发点，这时甲车把速度提高了25%，乙车速度不变。当甲车返回A地时，乙车距离B地还有11516．芒种是一个耕种忙碌的节气。这个时节，南方地区的人们忙着插秧种稻，北方地区的人们则忙着收麦。张伯伯家的麦子熟了，第一天收了所有麦子的30%，第二天收了530kg，这时已收的麦子和未收麦子的质量比约是4：1。张伯伯家一共大约可以收多少千克麦子？17．有A、B两地，从A到B包括一段上坡和一段下坡。甲、乙两人上坡速度一样，甲的上坡速度与下坡速度的比为2：3，乙的上坡速度与下坡速度的比为3：4。（1）如果甲的下坡速度为5.4千米/时，乙的下坡速度是多少?（2）如果甲从A到B的时间与乙从B到A的时间相同，那么从A到B的上坡与下坡路程之比为多少？18．甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3：2，经过几时能在途中相遇？19．小军看一本故事书，第一天看了全书的1620．李大爷的果园里有枣树、梨树和苹果树共140棵，其中枣树占总棵数的132821．学校体育组新买了50个篮球，按人数分配给甲，乙，丙三个班。甲班42人，乙班57人，丙班51人，那么三个王各分到几个篮球？22．解答题：西安和合肥是“一带一路”战略规划中两个重要的内陆节点城市，客、货两车分别从合肥、西安两地相对开出。已知客、货两车的速度比是4∶5，两车在途中相遇后继续行驶，客车把速度提高20%，货车速度不变，再行4小时后，货车到达合肥，而客车离西安还有116千米，西安合肥两地相距多少千米？23．湖滨新区两个学校教师流动，甲乙两学校教师人数之比为7：3，如果从甲学校调出30人到乙学校，那么甲、乙两学校教师人数之比为3：2，问这两个学校原来教师人数共多少人？24．把加工一批零件的任务，原计划按1∶3分配给甲、乙两人，如果他们同时开工就可以同时完成任务。实际由于某种原因，二人同时开工，乙的工作效率就比原计划降低了50%，甲的工作效率不变。这样，当甲完成了自己的任务后，立即帮助乙一起加工，又经过2小时完成了全部任务，如果这批零件全部由甲单独加工，需要多少小时完成?25．一列货车从B市驶向A市，同时一列客车从A市驶向B市，已知客车长220米，货车长320米，客车与货车的速度之比为2：1，两辆车在两条平行轨道上的错车的时间为9秒。若A、B两市相距864千米，求两车相遇时客车离B市的距离？26．参加某选拔赛第一轮比赛的男、女生人数之比是4：3，所有参加第二轮比赛的91人中男、女生人数之比是8：5，第一轮中被淘汰的男、女生人数之比是3：4，那么参加第一轮比赛的学生共有多少人?27．甲、乙两个班共种树若干棵，已知甲班种的棵数的14等于乙班种的棵数的15，且乙班比甲班多种树28．甲、乙两桶油，称得其重量比为4：5．将乙桶中的油倒入甲桶8千克后，再称发现质量比变为8：7，已知桶的质量都是10千克，求原来两桶中油的重量比。29．一个容器内注满了水。将大、中、小三个铁球这样操作：第一次，沉入小球；第二次，取出小球，沉入中球；第三次，取出中球，沉入大球。已知第一次溢出的水量是第二次的3倍，第三次溢出的水量是第一次的2倍。求小、中、大三球的体积比。30．某工程队修一段路，第一天修完全程的14

1．【答案】解：16÷（3＋1）×3

=16÷4×3

=4×3

=12（万件）

答：甲型号机器人一天可以分拣12万件包裹。【解析】甲型号机器人一天可以分拣包裹的件数=甲、乙两种型号的机器人一天共可以分拣包裹的件数÷（3＋1）×甲型号机器人占的份数。2．【答案】解：设原来男生有9x人，女生有7x人。

9x-3=7x+1

2x=4

x=2

9x+7x=9×2+7×2=32

答：六一班原来有32人。【解析】本题可以设原来男生有9x人，女生有7x人，题中存在的等量关系是：原来的男生人数-后来转走的男生人数=原来的女生人数+后来转来的女生人数，那么六一班原来有的人数=原来的男生人数+原来的女生人数，据此代入数值作答即可。3．【答案】解：设最后黑子个数为x，那么最后白子个数为5x，（x+45）：5x＝2：1

2×5x＝1×（x+45）10x＝x+4510x-x＝x+45-x9x＝459x÷9＝45÷9x＝55×5+15＝40（粒）5+45＝50（粒）40+50＝90（粒）答：原来这堆围棋共有90粒。【解析】本题可以设最后黑子是x粒，那么最后白子是5x粒，那么题中存在的比例关系是：（最后黑子的粒数+后来取走黑子的粒数）：最后白子的粒数=开始时取走白子后余下黑子数与白子数之比，所以这堆棋子原来有白子的粒数=最后白子的粒数+开始时取走白子的粒数，这堆棋子原来有黑子的粒数=最后黑子的粒数+后来取走黑子的粒数，那么这堆棋子原来共有的粒数=这堆棋子原来有白子的粒数+这堆棋子原来有黑子的粒数，据此代入数值作答即可。4．【答案】解：[3×（1+20%）]：[4×（1+10%）]＝（3×1.2）：（4×1.1）＝3.6：4.4＝9：1117÷(47−37×911)＝77（千米）答：A、B两地相距77千米。【解析】相遇时，甲走了全程的37，乙走了全程的47，相遇后两车的速度之比=[出发时甲车的速度占的份数×（1+相遇后甲车的速度增加百分之几）]：[出发时乙车的速度占的份数×（1+相遇后一车的速度增加百分之几）]=9：11，那么相遇后乙行驶的路程占全程的1-37=45．【答案】解：32÷2＝16（厘米）16×55+316×35+310÷1500006÷1500005×3×25%＝3.75（平方千米）答：那么这个长方形的实际绿化面积是3.75平方千米。【解析】根据长方形的周长=（长＋宽）×2，算出长方形的长和宽的和，长与宽的比是5：3，由此可知长是长和宽的55+3，宽是长和宽的36．【答案】解：15×4=60（个）

(50＋15)×2÷(60-50)

=130÷10

=13（天）

(60＋15)×13

=75×13

=975（个）。

答：这批零件有975个。【解析】甲车间如果不抽调人出去的话每天能生产的个数是15×4=60个，原计划完成任务所需的时间是∶(50＋15)×2÷(60-50)=13（天）；则这批零件共有∶(60＋15)×13=975（个）。7．【答案】解：（360÷20%）÷（5＋4）×4

=1800÷9×4

=200×4

=800（人）

答：全校共有女生800人。【解析】全校共有女生的人数=六年级的人数÷六年级占的百分率÷总份数×女生占的份数。8．【答案】解：32÷（3+5）

=32÷8

=4（块）

黑：3×4=12（块）

白：5×4=20（块）

答：黑色皮有12块，白色皮有20块。【解析】黑色皮3份，白色皮5份，用总块数除以总份数求出每份的块数。用每份的块数分别乘黑色和白色的份数即可分别求出黑色和白色的块数。9．【答案】解：240：540=4：9

540÷6×4-240

=90×4-240

=360-240

=120（毫升）

答：加酸梅原汁120毫升口感最佳。【解析】此时小仑酸梅原汁与水的比是240：540=4：9，要使口感最佳需要酸梅原汁的体积=水的体积÷水占的分率×酸梅原汁占的份数-已经加入酸梅原汁的体积。10．【答案】解：2600÷（4+9）×4

＝2600÷13×4

＝200×4

＝800（毫升）

2600÷（4+9）×9

＝2600÷13×9

＝200×9

＝1800（毫升）

答：需要酸梅原汁800毫升，水1800毫升【解析】需要酸梅原汁、水分别的体积=妈妈打算配制酸梅汤的总体积÷总份数×各自分别占的份数。11．【答案】解：（法1）录取的学生中男生有91×85+8=56人，女生有91−56=35（人），先将未录取的人数之比3：4变成4：4×43，又有56×34=42（人），所以每份人数是（法2）设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的女生人数为4x人，由于录取的学生中男生有91×85+8=56人，女生有91−56=35（人），则(56+3x)：(35+4x)=4：3，解得x=4【解析】解：设未被录取的男生人数为3x人，那么未被录取的女生人数为4x人，

91×85+8=56（人）

91-56=35（人）

则（56+3x）：（35+4x）=4：3

解得x=4

（56+12）+（35+16）=119（人）

答：报考的共有119人。

12．【答案】解：D：C=（3+5）：2=4：1；第二种混合物不含A，B的含量为13，第三种混合物不含B，A的含量为25，所以3÷25=7.5倍第三种混合物含A为3，5÷13=15倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为2：1；于是此时含有C，2×2【解析】第一种混合物中A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质D，然后求出新配成的物质中D：C的比。最终确定三种混合物的重量比。13．【答案】解：7＋5＋6＝18

体育社团：180×718＝70（人）

舞蹈社团：180×518＝50（人）

武术社团：180×618【解析】三个社团的总人数×每个社团的人数占总人数的分率=每个社团的人数，据此解答。14．【答案】解：快车一共比慢车多行42+34=76（千米），

快车出发后两车一共行了：76÷6−56+5=836（千米）；

AB距离为：836+34=870【解析】由题意解析可知相遇时，快车比慢车多行42千米，加上慢车先行的34千米，即可求出相同时间快车一共比慢车多行的距离，路程=速度×时间，时间不变速度比即为路程比，路程差÷路程差占比，即可求出两车相同时间内行驶的总路程，再加上慢车先行的34千米即为AB长度。15．【答案】解：设乙车的速度为v千米/小时

40×78[8×（1+25%）]：7=10：740×1=50÷=50÷=450（千米）答：A、B两地相距450千米。【解析】设乙车的速度为v千米/小时，甲乙两车相遇时，甲车行的路程与乙车行的路程的比是8∶7，所以v=40×78计算相遇后甲乙两车的速度比：相遇后，甲车把速度提高了25%，所以甲乙两车的是速度比变为：[8×（1+25%）]：7=10：7

计算甲乙两车返回时行的路程比：当甲车返回A地时，甲又行了全程的815，则乙又行了全程的：8计算A、B两地的距离：当甲车返回A地时，乙车距离B地还有115小时的路程，所以A、B两地相距：16．【答案】解：530÷（45-30%）

=530÷0.5

=1060（千克）

【解析】张伯伯家一共大约可以收麦子的质量=第二天收的质量÷（两天一共收的分率-第一天收的分率）。17．【答案】（1）解：5.4÷3×2

=1.8×2

=3.6（千米/时）

3.6÷3×4

=1.2×4

=4.8（千米/时）

答：乙的下坡速度4.8千米/时。（2）解：假设上坡路程为S1，下坡路程为S2，

s13.6+s25.4=s14.8+s23.6

720s12592+480s22592=540s12592【解析】（1）根据甲的上坡速度与下坡速度的比为2：3可以求出甲的上坡速度，因为甲、乙两人上坡速度一样，再根据乙的上坡速度与下坡速度的比为3：4可以求出乙的下坡速度；

（2）假设上坡路程为S1，下坡路程为S2，则可以用代数式分别表示出甲、乙的总时间，因为他们的时间相同，从而求出上坡与下坡的路程比。18．【答案】解：600÷10÷2×3

=60÷2×3

=30×3

=90（千米）

600÷（60＋90）

=600÷150

=4（小时）

答：经过4时能在途中相遇。【解析】相遇时间=路程÷速度和，其中，货车的速度=甲、乙两地相距的路程÷货车行完全程需要的时间；其中，客车的速度=货车的速度÷货车速度占的份数×客车速度占的份数。19．【答案】解：已看页数与未看页数的比是2∶3，

说明已看页数占这本书页数的22+3=25，

42÷（25-16）

=42÷7【解析】已看页数占这本书页数的分率-第一天看了全书的分率=第二天看了全书的分率，第二天看的页数÷第二天看的页数占全书页数的分率=全书的页数。20．【答案】解：140×（1-1328）

=140×1528

=75（棵）

75×25=30（棵）

75×3【解析】三种树的总棵数×（1-1328）=梨树和苹果树的棵数和，梨树和苹果树的棵数和×25=梨树的棵数，梨树和苹果树的棵数和×21．【答案】解：42：57：51=14：19：17

14＋19＋17=50

50×1450=14（个）

50×1950=19（个）

50×1750【解析】甲，乙，丙三个班分别分到篮球的个数=篮球的总个数÷总份数×各自分别占的份数。22．【答案】解：4÷（4＋5）÷4×45

=19×45

=445

445×（1＋20%）

=445×120%

=875

875×4=3275

116÷（59【解析】把两地的路程看作单位"1"，由题意可知，相遇时货车行了4÷（4＋5）=59，客车行了49，客车还剩59没到B地；相遇后货车行了49，用了4小时，每小时行19：则客车未提高20％前的速度19×45=445，客车提高20%后的速度445×（1＋20%）=823．【答案】解：30÷（73+7−33+2）【解析】把两个学校教师的总人数看作单位“1”，两个学校教师的总人数不变，原来甲校教师人数占两个学校教师和的77+3，现在甲校教师人数占两个学校教师和的33+2，30人占总人数的（77+3－33+224．【答案】解：甲的工作量记作1份，乙的工作量记作3份；

正常情况下甲、乙的工