3.1.2 椭圆的性质（原卷版）-2024-2025学年【暑假预习】高二数学（人教A版2019选择性必修一）

.1.2椭圆知识点一椭圆的离心率【【解题思路】求椭圆离心率及取值范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq\f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围．【例1-1】（23-24高二下·贵州毕节·期末）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，，且椭圆过点，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【例1-2】（23-24高二下·广东·期末）椭圆的左、右焦点分别为，，过点且与长轴垂直的直线交椭圆于，两点．若为等边三角形，则椭圆的离心率为（）．A． B． C． D．【例1-3】（22-23高二上·北京·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆与轴的交点，若是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1（23-24高二下·海南海口·期末）已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，，，则C的离心率为（

）A． B． C． D．2（23-24高二下·上海青浦·期末）已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为．3（23-24高二下·广西贵港·期末）已知分别是椭圆的左、右焦点，是上的一点，且，则的离心率为．4（2024·浙江杭州·模拟预测）椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆交于，两点（在左侧），若，则的离心率为.5（23-24重庆·期末）已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆上总存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为知识点二点与椭圆的位置关系【【解题思路】点P与椭圆的位置关系【例2-1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（

）A．点在椭圆上 B．点在椭圆内C．点在椭圆外 D．不确定【例2-2】（2024·四川广安·阶段练习）点在椭圆的外部，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式】1（23-24高二上·全国·课后作业）若点在椭圆上，则下列说法正确的是（

）A．点不在椭圆上 B．点不在椭圆上C．点在椭圆上 D．无法判断上述点与椭圆的关系2（2024吉林长春·阶段练习）点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（

）A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外3（2023·山东日照）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（

）A．12 B．14 C．16 D．18知识点三直线与椭圆的位置关系【【解题思路】直线与椭圆的位置关系直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．直线与椭圆解的个数Δ的取值两个不同的公共点两解Δ>0一个公共点一解Δ＝0没有公共点无解Δ<0【例3-1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．无数个【例3-2】（22-23高二上·河北邯郸·阶段练习）直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例3-3】（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围（

）.A． B． C． D．【变式】1．（22-23高二上·山东滨州·期中）已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（

）A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定2．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（

）A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切3．（2024河南）若直线和圆没有公共点，则过点的直线与椭圆的公共点个数为（

）A．0 B．1C．2 D．需根据a，b的取值来确定4（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线与椭圆相切，则的值为（

）A． B． C． D．5（22-23高二上·福建莆田·期中）已知直线，椭圆的短轴长为，离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)讨论直线l与椭圆C的公共点个数.知识点四弦长【【解题思路】求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．【例4-1】（23-24高二上·青海西宁·期中）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，其中左焦点为，长轴长为4．(1)求椭圆C的方程；(2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长．【例4-2】（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，，长轴的长为4．过右焦点的直线l与椭圆交于M、N两点（非长轴端点）．

(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过椭圆的上顶点A，求的面积．【变式】1（23-24高二下·河北秦皇岛·开学考试）已知椭圆：的离心率为且椭圆经过点．(1)求椭圆的方程；(2)过椭圆的左焦点作斜率为的直线交椭圆于、两点，求．2（23-24高二下·江苏连云港·期末）已知椭圆的离心率为，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积3（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程.知识点五中点弦【【解题思路】【例5-1】（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线方程（，），渐近线方程为，并且经过点.(1)求双曲线方程；(2)设A，是双曲线上的两点，线段的中点为，求直线的方程.【例5-2】（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．【例5-3】．（23-24高二上·江苏·期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（

）A． B． C． D．【例5-4】（23-24高二上·云南玉溪·期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（

）A． B． C． D．【例5-5】（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式】1．（22-23高二上·安徽芜湖·阶段练习）不经过原点的直线与椭圆相交于，，线段的中点为，设直线的斜率为，直线（为原点）的斜率为，则的值为（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·河北石家庄·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．4（23-24高二上·山西太原·期末）在椭圆中，以点为中点的弦所在的直线方程为（

）A． B． C． D．5（23-24高二上·四川凉山·期末）过椭圆内一点引一条弦，使该弦被点平分.(1)求该弦所在的直线方程；(2)求该弦的弦长.知识点六由椭圆的几何性质求标准方程【【解题思路】利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤(1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的标准方程．(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．(4)写出椭圆标准方程．【例6-1】（22-23高二·全国·课后作业）求满足下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴在x轴上，长轴长为12，离心率为；(2)椭圆过点，离心率；(3)在x轴上的一个焦点与短轴上的两个顶点的连线互相垂直，且焦距为8；(4)与椭圆有相同的焦点，且短轴长为2．【变式】（2024广东云浮）求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点；(2)经过两点和；(3)经过两点.(4)过点且与椭圆有相同焦点.（5）长轴长与短轴长的和为18，焦距为6；（6）经过点，且离心率；【题组一椭圆的离心率】1（2024山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2（2024·陕西渭南）已知O为坐标原点，A、B、F分别是椭圆C：（）的左顶点、上顶点和右焦点，点P在椭圆C上，且以OP为直径的圆恰好过右焦点F，若，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．3（2024·陕西铜川）已知是椭圆的左、右焦点，若上存在不同的两点，使得，则的离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．4（23-24高二下·重庆·阶段练习）椭圆的右顶点为，右焦点为为椭圆在第二象限上的点，直线交椭圆于点，11延长直线交线段于，若，则椭圆的离心率是（

）A． B． C． D．5（23-24高二下·湖北武汉·阶段练习）已知分别为椭圆的左顶点和左焦点，直线与椭圆交于两点，若直线交线段于，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．6（2024·江苏泰州·模拟预测）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于点，与轴交于点，，，则的离心率为（

）A． B． C． D．7（23-24高二下·安徽六安·期末）已知椭圆的左､右焦点分别是是椭圆上两点，四边形为矩形，延长交椭圆于点，若，则椭圆的离心率为.8（24-25高二上·上海·课后作业）椭圆的左、右焦点分别为、，过焦点的倾斜角为的直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为.【题组二点与椭圆的位置关系】1（2024宁夏银川·阶段练习）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2（23-24高二上·江苏徐州·期末）（多选）已知直线与圆相切，椭圆，则（

）A．点在圆O内 B．点在圆O上C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上3（23-24高二上·全国·课后作业）（多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（

）A． B． C．1 D．4（2024湖北）已知点P(k，1)，椭圆=1，点P在椭圆外，则实数k的取值范围为.【题组三直线与椭圆的位置关系】1（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定3（22-23高二下·广东深圳·期中）椭圆与直线的位置关系是（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【题组四弦长】1（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为.2（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为.3（23-24高二上·上海·期末）斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，则直线的方程为．4（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为5（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时，．6（24-25高二上·上海·课后作业）已知椭圆C的两焦点为，，P为椭圆上一点，且到两个焦点的距离之和为6.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若已知直线，当m为何值时，直线与椭圆C有公共点？7（22-23高二下·上海闵行·期末）已知椭圆C:的左右两焦点分别为和，右顶点是A，且，.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若斜率为1的直线交椭圆C于M、N两点，且，求直线的方程.8（23-24高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.【题组五中点弦】1（23-24高二上·浙江舟山·期末）已知为椭圆上的动点，直线与圆相切，切点恰为线段的中点，当直线斜率存在时点的横坐标为（

）A． B．C． D．2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（

）A． B．C． D．3（23-24高二下·云南红河·期末）已知椭圆C：，的右焦点为，过F的直线与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4（23-24高二下·黑龙江鹤岗·开学考试）已知椭圆的右焦点为，且离心率为．三角形的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M、且三条边所在直线的斜率分别为、、，且、、均不为0，O为坐标原点．若直线OD、OE、OM的斜率之和为1，则（

）A．－1 B．C． D．5（23-24高二上·浙江杭州·期中）（多选）设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则（

）A．B．若，则直线l的方程为C．若直线l的方程为，则D．若直线l的方程为，则6（23-24高二上·