人教版九年级数学下册相似《相似三角形（第5课时）》示范教学课件

相似三角形（第5课时）人教版九年级数学下册

1．相似三角形需要满足的条件：

（1）三个角分别相等；（2）三条边成比例．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．

2．平行线分线段成比例的基本事实及推论：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

3．三角形相似的判定方法：（1）三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）三边成比例的两个三角形相似．（4）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．（5）两角分别相等的两个三角形相似．

4．直角三角形相似的判定方法：（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．

1．如图，在△ABC

中，AB＝12，AC＝15，D

为AB

上一点，且AD＝AB，在AC

上取一点E，使以A，D，E

为顶点的三角形与△ABC

相似，则AE＝__________________．或10类型一：构造相似三角形解决问题

解析：（1）如图①，过点

D

作

DE1∥BC

交

AC

于点

E1，则△ADE1∽△ABC，

∴

＝

．

∵AD＝

AB，AC＝15，

∴AE1＝AC＝10．

解析：（2）如图②，在

AC

上取点

E2，使∠AE2D＝∠B，则△AE2D∽△ABC，

∴

＝

．

∵AB＝12，AC＝15，AD＝

AB，

∴AD＝8，

∴

＝

．∴AE2＝

．综上可得，AE的值为

或10．提醒在解决与相似三角形有关的问题时，若仅说两个三角形相似，并未明确顶点的对应性时，则应注意分情况来构造相似三角形，不要出现漏解现象．类型二：相似三角形的判定与圆的综合应用

2．如图，CD

为⊙O

的直径，弦

AB

交

CD

于点

E，连接

BD，OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（1）证明：∵

＝

，

∴∠C＝∠DBE．在△AEC

和△DEB

中，∠C＝∠DBE，∠AEC＝∠DEB，

∴△AEC∽△DEB．

2．如图，CD

为⊙O

的直径，弦

AB

交

CD

于点

E，连接

BD，OB．（2）若

CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O

的半径．（2）解：∵CD⊥AB，CD

为⊙O

的直径，

∴BE＝AE＝

AB＝4．

∵△AEC∽△DEB，

∴

＝

，即

＝

，

∴CE＝8，∴CD＝10，

∴⊙O

的半径为5．归纳判定圆中相似三角形的策略对于判定圆中相似三角形的问题，通常寻找两角分别相等来证明两个三角形相似，利用“同弧或等弧所对的圆周角相等”是圆中常见的寻找等角的方法．类型三：相似三角形与函数的综合应用

3．如图，在矩形

ABCD

中，AB＝3，AD＝4，动点

Q

从点

A

出发，以每秒

1

个单位长度的速度，沿

AB

向点

B

移动；同时点

P

从点

B

出发，仍以每秒

1

个单位长度的速度，沿

BC

向点

C

移动，连接

QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为

x

s(0＜x≤3)，解答下列问题：（1）设△QPD

的面积为

S，用含

x

的函数解析式表示

S；当

x

为何值时，S

有最值？并求出最值．

解：（1）∵四边形

ABCD

为矩形，

∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，当运动

x

s

时，则

AQ＝x，BP＝x，

∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x，

∴S△ADQ＝

AD·AQ＝×4x＝2x，S△BPQ＝

BQ·BP＝

(3－x)x＝

x－

x2，S△PCD＝

PC·CD＝

(4－x)×3＝6－

x．

又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，

∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－

－

＝

x2－2x＋6＝

(x－2)2＋4，即

S＝

(x－2)2＋4，

∴S

为开口向上的二次函数，且对称轴为直线

x＝2，

∴当

0＜x＜2

时，S

随

x

的增大而减小，当

2＜x≤3

时，S

随

x

的增大而增大．

又当

x＝0

时，S＝6，当

x＝3

时，S＝

，但在

x

的取值范围内取不到

x＝0，

∴S

不存在最大值，当

x＝2

时，S

有最小值，最小值为

4．（2）是否存在

x

的值，使得

QP⊥DP？试说明理由．

解：（2）存在．理由如下：由（1），知

BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，当

QP⊥DP

时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC＝90°，

∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，

∴△BPQ∽△CDP，

∴

＝

，

即

＝

，解得

x＝

（舍去）或

x＝

，

∴当

x＝

时，QP⊥DP．类型四：应用相似三角形判定定理解决动点问题

4．如图，在△ABC

中，AB＝8

cm，BC＝16

cm，点

P

从点

A

开始沿边

AB

向点

B

以

2

cm/s

的速度移动，点

Q

从点

B

开始沿边

BC

向点

C

以

4

cm/s

的速度移动，如果点

P，Q

分别从点

A，B

同时出发，经几秒钟△PBQ

与△ABC

相似？试说明理由．

解：设经

x

s

△PBQ

与△ABC

相似，

则

AP＝2x

cm，BQ＝4x

cm．

∵AB＝8

cm，BC＝16

cm，

∴BP＝AB－AP＝(8－2x)cm．

∵∠B是公共角，有两种情况：

（1）当

＝

时，△PBQ∽△CBA，

∴

＝

，解得

x＝0.8．

（2）当

＝

时，△PBQ∽△ABC，

∴

＝

，解得

x＝2．

∴点

P，Q

分别从点

A，B

同时出发

0.8

s

或

2

s

时，△PBQ

与△ABC

相似．归纳解决动态型几何问题时，常在“动”中求“静”，寻找符合条件的瞬间，利用分类讨论思想抓住问题的关键，逐一击破．类型五：应用相似三角形判定定理解决方案问题

5．要制作两个形状相同的三角形教具，其中一个三角形教具的三边长分别为50

cm，60

cm，80

cm，另一个三角形教具的一边长为20

cm，请问怎样选料可使这两个三角形教具相似？想想看，有几种解决方案？

解：（1）当

20

cm

的边长的对应边为

50

cm

时，∵50∶20＝5∶2，且一个三角形教具的三边长分别是50

cm，60

cm，80

cm，

∴另一个三角形教具对应的三边长分别为

20

cm，24

cm，32

cm．

（2）当

20

cm

的边长的对应边为

60

cm

时，∵60∶20＝3∶1，且一个三角形教具的三边长分别是

50

cm，60

cm，80

cm，

∴另一个三角形教具对应的三边长分别为

cm，20

cm，

cm．

（3）当

20

cm

的边长的对应边为

80

cm

时，∵80∶20＝4∶1，