工程力学全册配套完整课件3

工程力学全册配套完整课件3第一篇引言力系—作用于物体上的一群力。平衡—

物体相对于惯性参考系（如地面）

保持静止或作匀速直线运动。任务：1.受力分析；2.力系的简化；3.平衡条件的建立与平衡问题的求解。§1-1刚体和力的概念刚体

——

这样的物体，在力的作用下，其内部任意两点的距离始终保持不变。

刚体是理想化的力学模型。图示吊车梁的弯曲变形

一般不超过跨度（A、B间距离）的1/500，水平方向变形更小。因此，研究吊车梁的平衡规律时，变形是次要因素，可以略去。静力学研究的物体是刚体，又称为刚体静力学，它是研究变形体力学的基础。力——物体间的相互作用，这种作用使物体的运动状态与形状发生变化。尽管各种物体间的相互作用力的来源和性质不同，但在力学中，将撇开力的物理本质，只研究各种力的共同表现——力对物体产生的效应。外效应（运动） ：使物体的运动状态改变内效应（变形）：使物体的形状发生变化矢量的长度表示力的大小；矢量的方向表示力的方向；矢量的始端（点O）表示力的作用点。（矢量所沿着的直线表示力的作用线）力的三要素大小；方向；作用点力是矢量。FO常用粗体F

表示力矢量，而用

F

表示力的大小，若以

F

0

表示沿力作用方向的单位矢量，则

F=F

F

0

常用N和kN作力的单位符号。关于力的几点说明当物体间的相互作用面积可以抽象为一个点（作用点），则力称为集中力。否则，称为分布力。力系——作用在物体上的一群力。力作用线在同一平面的力系叫平面力系，否则叫空间力系。若两力系作用同一物体而效应相同，则称两力系等效。合力（力）与分力（力系）等效。☆

公理1力的平行四边形法则

作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。

FR=F1

+F2(R

=F1

+F2)§1-2静力学公理FRF1F2FRAF1F2FRF2F1FRF1F2FRF1F2☆公理2二力平衡条件作用在

刚体

上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上

即

F1=－F2F1F2F1F2F1F2在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。（效应不变）☆推理1力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。☆公理3加减平衡力系原理☆推理2三力平衡汇交定理

作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。☆公理4作用与反作用定理作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。注意：本公理与公理2(二力平衡条件）的区别！PPTT’T☆公理5刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。刚体的平衡条件是变形体平衡的必要而非充分

条件。§1-3 约束和约束反力自由体：位移不受限制的物体。非自由体：位移受限制的物体。约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周

围物体。约束反力(反力)：约束对物体作用的力。注意：约束反力的方向必与该约束所能够阻碍

的位移方向相反。在静力学中，约束反力和物体受到的其它已知力（称主动力）组成平衡力系，因此，可用平衡条件求出未知的约束反力。1.具有光滑接触表面的约束光滑支承面对物体的约束反力，作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向受力物体。称为法向反力，用

FN

或N

表示。FNFNABFNAFNB2.柔性约束

绳索对物体

的约束反力，作用在接触点，方向沿着绳索背离物体。当链条或胶带绕在轮子上，对轮子

的约束反力沿轮缘的切线方向背离轮子。APAF’FPT2T1T2’T1’3.

光滑铰链约束轴可以在孔内任意转动，也可以沿孔的轴线移动；但轴承阻碍着轴沿径向向外移动。（1）向心轴承3续.

光滑铰链约束方向不能确定的约束反力通常用两个未知的正交分力X和Y表示。轴AYAXA约束反力的方向往往预先不能确定，但是，无论它朝向何方，其作用线必垂直于轴线并通过轴心。（1）向心轴承AYAXA(2)圆柱铰链和固定铰链支座圆柱铰链由销钉将两个钻有同样大小孔的构件连接而成。若铰链连接中有一个固定在地面或机架上，则称为固定铰链支座。1、销钉2、构件3、固定部分(2续)圆柱铰链和固定铰链支座CAB图示构件就是通过圆柱铰链C和固定铰链支座A和

B连接而成。圆柱铰链简称铰链。固定铰链支座简称固定铰支。铰链和固定铰支的构造CCABBA

销钉C销钉B销钉A固定在地面上的支架铰链和固定铰支的力学模型CABCABCABCACB一般不需考虑销钉与哪边结构固连销钉与右边结构固连

铰链处和固定铰支处的约束反力通常分析铰链时把销钉固连在某一构件上，而分析固定铰支时，把销钉固连在支座上。YAXAYBXB销钉与左边结构固连ABCYAXAYCXCYBXBYC’XC’YAXAYCXCYBXBYC’XC’YAXAYCXCYBXBYC’XC’

销钉所受的约束反力需要分析销钉的受力时，才把销钉从结构中分离出来单独研究。如前述结构的销钉CCBCAYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2CYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2CYAXAYC1XC1YBXBYC2’XC2’XC1’YC1’XC2YC2C向心轴承、铰链和固定铰链支座都可称作光滑铰链。光滑铰链的特点是只限制两物体径向的相对位移，而不限制两物体绕铰链中心的相对转动及沿轴向的位移。4.其它约束（1）滚动支座（辊轴支座）实物简图约束力（2）球铰链实物简图约束力FxFzFy实物简图（3）止推轴承约束力FxFzFy√ק1-4物体的受力分析和受力图在求解之前，首先要确定构件受几个力，及其位置和作用方向。此过程称为物体的受力分析。力可分为两类：主动力和被动力。把受力体从施力体中分离出来，单独画简图的过程叫取研究对象或取分离体。把受力体所受的所有力（外力）全画出来的图称为受力图。受力图举例例1-1

试画出图示重为P的石磙的受力图。ABABFFPFAFBFPFAFBFPFAFBFPFAFBFPAB试画出图示自重为P，AC边承受均布风力（单位长度上的力的载荷集度为q）的屋架的受力图。PqYAXANBqABCABC例1-2

PqYAXANBPqYAXANBPqABBAD图示梁AB自重为P，B端上一重物重Q，CD杆自重不计，试分别画出杆

CD

和梁AB的受力图。CDQFD’YAXA例1-3

PFDFCFDFCFD’YAXAPQFDFCFD’YAXAPPQDAQPCDAB二力构件只有两个着力点而处于平衡的物体叫二力体或二力构件。二力构件不论其形状如何，其所受的两个力的作用线，必沿着两力作用点的连线。且看上例的CD杆是其它形状的情形。见后续CDFDFCDCFDFCFDFCFDFCFDFCFDFCAC图示为不计自重的三铰刚架，试分别画出刚架AC和刚架CB的受力图。CBACCABP例1-4

FC’FC’FBFCYAXAFAFC’FC’FBFCYAXAFAYAXAPPFC’FC’FBFCFAACBCA图示为不计自重的三铰刚架，试分别画出刚架AC、刚架CB及整体的受力图。在本问题中，集中载荷P

作用在铰C上。通常认为集中载荷是作用在C销上的，下面就对研究对象的选取的三种情况分别讨论。CABPQ例1-5

CBACYAXAPQ（1）销C与刚架AC一起作为研究对象销C与哪边刚架一起作为研究对象，集中载荷P就画在哪边刚架的铰C上。见后续QPCBAFCFC’YAXAPQFCFC’FCFC’YAXAPQFBFBFBACCB（2）销C

与刚架CB

一起作为研究对象XCYCXC’YC’FBYAXAPQYBXB见后续理论力学

常常要求精确

画出约束反力，

即这样画FBXCYCXC’YC’YAXAXCYCXC’YC’YAXAFBFBQPACBFB（3）专门分析销C

的受力XC1YC1CBACYAXAPQ见后续FCF’CXC1’YC1’FBXC1YC1YAXAFCF’CXC1’YC1’XC1YC1YAXAFBFCF’C（4）整体受力图从前面两种情况的分析可见，应尽量不要把销与二力构件放在一起作研究对象可使分析简单。当然，对于作用集中载荷的铰的两边构件都为二力构件时，以销为对象往往比较方便。CABPQYAXAFBFB不计自重的三铰刚架受力如图，试分别画出刚架AC、刚架CB、销C及整体的受力图。PFC1FC2PFC1’FC2’CFBFABCCABACFBFAFC1FC2FC1’FC2’FBFAFBFAFC1FC2FC1’FC2’FBFAFBFAENDPⅡⅠBCADKθE图示的各杆与轮自重不计，物块重P。按以下三种情况画受力图。例1-6见后续分别画出各杆与各滑轮、销钉B的受力图。DBBACSDBSBDXCYCXBFA例1-6（1a）PⅡⅠBCADKθESDBSBDXCYCXBYBFAYBSDBSBDXCYCXBFAYB见后续DBACB分别画出各杆与各滑轮、销钉B的受力图。例1-6（1b）SDB’XEYEXC’YC’SKⅡF1FBF2SDB’XEYEXC’YC’SKF1FBF2SDB’XEYEXC’YC’SKF1FBF2ECDKPⅡⅠBCADKθE见后续分别画出各杆与各滑轮、销钉B

的受力图。例1-6（1c）BⅠXB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’BDBSDBSBDBACXCYCXBYBFAF1’XB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’F1’XB1YB1FK’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’F1’PⅡⅠBCADKθE见后续画出“销钉B与滑轮Ⅰ一起”

的受力图。BⅠF1’FK’XB’YB’SBD’FB’SBD’XB’YB’FB’XB1’YB1’BBⅠXB1YB1F1’FK’例1-6（2）PⅡⅠBCADKθE见后续画出“杆

AB、Ⅰ、Ⅱ

滑轮钢绳和重物一起”的受力图。PⅡⅠBCAXCYCFASBD’FK’例1-6（3）PⅡⅠBCADKθE本题结束ACBKFASBD’FK’XCYCFASBD’FK’XCYC画受力图应注意必须明确研究对象，即取好“隔离体”。正确确定研究对象的受力数目，特别要注意约束反力的方向。内力成对出现，组成平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。本章小结1.静力学研究作用于物体上力系的平衡。具体研究以下三个问题。

（1）物体的受力分析；（2）力系的等效替换；（3）力系的平衡条件。2.力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化（包括变形）。力的作用效应由力的大小、方向和作用点决定，称为力的三要素。力是矢量。作用在刚体上的力可以沿着作用线移动，这种力矢量是滑动矢量。本章小结（2）3.静力学公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。

公理1

力的平行四边形规则。

公理2

二力平衡条件

以上两个公理,阐明了作用在一个物体上最简单的

力系的合成规则及其平衡条件。

公理3

加减平衡力系原理。

这个公理是研究力系等效变换的依据。

公理4

作用和反作用定律。

这个公理阐明了两个物体相互作用关系。

公理5刚化原理。

这个公理阐明了变形体平衡的必要条件。本章小结（3）4.约束和反约束力

限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束。约束对非自由体施加的力称为约束反力。约束反力的方向与该约束所能阻碍的位移方向相反。画约束反力时，应分别根据每个约束本身的特性来确定其约束反力的方向。5.物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动的前提。

画物体受力图时，首先要明确研究对象（即取分离体）。物体受的力分为主动力和约束力。当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力与外力，内力成对可不画；还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。本章结束§2-1汇交力系的合成现实生活中往往有许多力的作用线汇交于一点。我们把这样的力系称为汇交力系。几何法设F1、F2、F3和F4为一组汇交力系作用于刚体上。xyzF1F2F3F4F1F2F3F4R12R123RabcdeF3R12F3R12F3R12R123R123R123R123F4F4F4F4称多边形abcde

为力多边形，R为封闭边。R=R123+F4=R12+F3+F4=F1+F2+F3+F4

推广得： R

=F1+F2+…FN=ΣFiOxyz

ijkXiFiFi=X

ii+Y

ij+Z

ikR=F1+F2+…+FN=ΣF

i=(ΣXi)i+(ΣY

i)j+(ΣZ

i)k又由R=Rxi+

Ryj+Rz

k得：Rx=ΣX

i;Ry=ΣY

i;Rz=ΣZi显然，合力的大小方向余弦cos(R,i)=R

x/R;

cos(R,

j)=R

y/R;cos(R,

k)=R

z/R

R

=把空间中的力Fi向三个坐标轴投影，

分别为Xi、Y

i和Zi。XiZiYiZiYiXiZiYi

解析法Oxyz§2-2汇交力系的平衡条件F1F2F3F1F2F3R12abcdF4R123F4设F1、F2、F3和F4为作用于刚体上的一组汇交力系，使刚体平衡。由二力平衡条件知：要使刚体保持平衡，需满足

R123+

F4=0又因为R123=F1+F2+F3所以R=R123+

F4=F1+F2+F3+F4=0a力多边形自行封闭了。O汇交力系平衡的解析条件：ΣX

i=0;ΣY

i=0;ΣZi=0推广前述的证明可得汇交力系平衡的充要条件：

R

=F1+F2+…+FN=0即

ΣF

i=0汇交力系平衡的几何条件：

力多边形自行封闭。

结论由R

==0ABFhRαOP图示石磙重P=20kN，半径R=0.6m，障碍物高h=0.08m。求（1）水平力F=5kN时磙对地面和对障碍物的压力；（2）欲将磙拉过障碍物F

沿什么方向拉最省力，此力为多大？例2-1解：(1)首先受力分析cosα=(R-h)/R

=0.866故α=30°再画力多边形(见后续）FAFB按比例量得：

FA=11.4kN，FB=10kNFPαPαFFFBFminFmin=Psin

=P/2=10kN(2)例2-1（续）FFFFBFAFBABFhRαOPFAFBENDABCEDααβP∑Z=0，

-Scos

-TP=0

，

S=-TP/cos

=-1414N∑X=0，

-TCsin

+TDsin

=0，

TC=TD∑Y=0，-TCcos

-TDcos

-Ssin

=0

TC

=Ssin

/(2

cos

)=559

NzxyTCS例2-2重为P

的物体受无重杆AB和绳索AC、AD

的支承（ACD位于同一水平面内）。已知P=1000N,β=45°,CE=ED=12cm，EA=24cm，求绳索的拉力和杆所受到的力。TDSTCTDS受力分析，假定AB杆受拉。TPTDTCTPTP解：以节点A为研究对象,取坐标轴如图。可知，AB杆受1414N的压力；AC、AD均受559N的拉力。ENDxyO平面汇交力系的特殊情形1、力在轴上的投影

根据力在某轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。对于正交轴Oxy，有

F=Xi+Y

j必须注意，力在轴上的投影X、Y

为代数量（力与轴间的夹角为锐角时，其值为正），而力沿两轴的分量是矢量。在两轴相互不正交时，分力在数值上不等于投影。2、平面问题的平衡条件∑X=0，∑Y=0事实上，两坐标轴并不要求一定相互垂直，只要两轴不平行即可。（思考）XYFyFxF分力投影XYFyFx分力投影求图示结构支座A、B的反力。

各杆的自重忽略，且∠

ABC=∠BAC=30

。例2-3CABPFFBFA解：法一，取坐标轴如图并做受力分析∑X=0,FAcos30°－FB

cos30°+F=0∑Y=0,(FA+FB

)Sin30°－P=0yxFBFAFBFAFBFA联立求解，便可解出FA

和FB（这里暂不解）CABPFFBFA例2-3续法二，取坐标轴如图x∑X=0,FB

cos30°－Pcos30°－Fcos60°=0∑Y=0,

FA

cos30°+Fcos60°－

Pcos30°=0y显见，x

和y

轴并不相互正交，而求解反而方便了。§2-3力对点的矩nO1.力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量a.平面力系的力对同平面中的点之矩hOABF假设力作用在图示平面内，且O点也在此平面内，则力F对O点的矩为

MO

(F

)=±Fh

或：

MO

(F

)=±2△OAB

力使物体绕矩心逆时针转为正，反之为负。

O——称为矩心

h——称为力臂单位：Nm或kNmhOABhOABhOABrFFnnnnhABMO(F)rhABMO(F)r空间力系中力对点的矩需用矢量表示：hABOzxyMO(F)矩的矢量记作MO(F)，且

MO

(F)=

r×F——定位矢量b.空间力系中的力对点的矩2）矢量的方位与力和矩心组成的平面的法向同，矩心为矢起端；3）矢量的指向确定了转向，按右手法则。r1）矢量的模等于力矩的大小；hABMO(F)r显然|M

O(F)|=Fh=2△OAB见后续F力对点的矩为零的条件：要使|MO(F)|=0，就有r×F=0，得：1）r=0或r

与F

共线，即力通过矩心；2）F=0力对点的矩采用行列式可得如下形式：由：

r

=xi+y

j+zk

和

F=X

i+Y

j+Z

k可得：=(yZ-zY)i+(zX-xZ)j+(xY-yX)k2.合力矩定理

设r

为矩心到汇交点的矢径，R

为F1、F2、…、Fn的合力，即：R

=F1+F2+…+Fn

可得：MO

(R)=r×R=r×(F1+F2+…+Fn

)

=r×F1+r×

F2

+…+r×Fn

=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO

(F

n

)也就是：汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。证：§2-4力偶理论1.力偶与力偶矩力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系组成。记作（F，F

’）这一矢量称作力偶矩矢1）其长度表示力偶矩大小；dFF’BA两个力组成的平面称

力偶作用面两个力间的垂距

d称为

力偶臂空间力系因力偶作用面的方位可能各不相同，故把力偶用矢量表示。M2）方位与作用面法方向方位n同。3）指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。nMdddMnMMnMMnM按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。为进一步说明力偶矩矢为自由矢，显示力偶的等效性质，可以证明：ndFF’BAMnM∵F=-F’显见力偶矩的大小为M为自由矢M为自由矢M为自由矢M为自由矢Oa.力偶矩矢是自由矢力偶对空间任一点的矩都相等，即等于力偶矩矢。证：如图求力偶（F，F’）对任意点，如O

点的矩。画出O点到二力作用点A、B的矢径所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。b.平面力偶系的力偶若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一平面内，则称为平面力偶系。FF’BACd将平面力偶系的力偶记作M(F,F’)，简称

M

。力偶矩为代数量即：M=±Fd=±2△ACB一般以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。预备知识（两平行力的合力）前面已经证明了力偶矩矢为自由矢，后面将再从另一个角度说明力偶的性质，使同学们有一个较直观的理解。为此，先看看两平行力的合力。以一对大小相等且同向的平行力为例。两个方向相反的平行力有合力吗？作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。——力偶等效定理2.力偶的性质性质一证：分两部分加以证明（1）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚体的效应。（2）在同平面内的两力偶，若力偶矩相等，

两力偶对刚体的作用彼此等效。等效eabdc证：设==-Fd力的作用线分别相交于a、b两点，等效地移至a、b两点，力=-2△acb∵两三角形同底等高∴△aeb=△acb

得：=-Fd=的力偶臂也为d∴

F1=F将=-2△aeb和分别分解性质一的实质（1）力偶在其作用面内只要力偶矩不变（即力与力偶臂的积不变），它就可以随意的转移，也可以增大力的同时减小力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂），不改变它对刚体的作用效应。（2）力偶的作用面可以随意平行搬移，不改变它对刚体的作用效应。性质一实质的图解不同平面力偶等效

平行搬移性质二

力偶不能与一个力相平衡。证：用反证法。即假设平衡力存在。1、平衡力与力偶作用面平行。由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使三力有两个交点，这与平衡汇交定理相矛盾。2、平衡力与力偶作用面不平行。仍由性质一知总可以转动力偶和平行搬移力偶作用面使力偶中的一个力与所谓的平衡力合成为一个大小及方位都与力偶的另一个力不同的力,这与二力平衡原理相矛盾。性质三 力偶没有合力。证：

仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛盾。

性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效而不能与单个力等效。力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡力偶只能与力偶相平衡3.力偶系的合成

任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=

M1+M2+…+Mn

=∑MiM1+M2+…+M

n=rBA×F1+rBA×F2+…+rBA×Fn=rBA×(F1+F2+…+Fn

)=rBA×R=MM1MnM2RBABA证：设有n个力偶，由性质一,总可得到两个汇交力系，汇交点分别为A和B。证毕。4.力偶系的平衡条件在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩的代数和。

M=M1+M2+…+Mn

=∑Mi由合成结果可知：力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。平面力偶系平衡条件：三铰刚架由两直角刚架组成，AC部分上作用一力偶，其力偶矩为M，自重不计，且a:c=b:a，求A、B支座的反力。例2-4MACMbcaACBCBAC为对象，∑M=0,考虑CB部分为二力构件，得：解： 由

a:c=b:a知：AC⊥CB，受力分析CBA

图示机构自重不记。圆轮上的销子A放在摇杆BC上的光滑导槽内。M

1=2kNm，OA=r=0.5m。图示位置OA⊥OB，α=30°，且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩M

2及O、B支座的反力。

AO

例2-5M2M

1αBACαBACOrM2M1解：受力分析ABAO

续例2-5

先以轮为对象，∑M=0，M1-FArsinα=0M2

BAC

AO

M

1再以摇杆为研究对象，由力偶平衡条件∑M=0，M2=4M1=8kNmM

1=2kNm，OA=r=0.5mEND本章小结1、汇交力系的合力（1）几何法求合力

R=F1+F2+…FN=Σ

Fi（2）解析法求合力方向余弦cos(R,

i)=Rx/R

cos(R,

j)=Ry/R

cos(R,

k

)=Rz/R汇交力系平衡的充要条件：

R

=F1+F2+…FN=0即

ΣFi=0汇交力系平衡的几何条件： 力多边形自行封闭。汇交力系平衡的解析条件：

ΣXi=0;ΣYi=0;ΣZi=0本章小结（2）2、汇交力系的合力本章小结（3）3、力对点的矩MO

(F)=r×F——MO

(F)是定位矢量

|MO

(F)|=Fh=2△OAB4、合力矩定理汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分力对同一点的矩的矢量和。

MO

(R)=MO

(F1)+MO

(F2)+…+MO(Fn

)本章小结（4）5、力偶力偶——由两个等值、反向且不共线的平行力系

组成。记作（F，F’）力偶对物体的作用效应决定于力偶矩的大小、方位和转向。(1)力偶等效定理：作用于刚体上的两力偶，若它

们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。(2)力偶不能与一个力相平衡(3)力偶没有合力。本章小结（5）6、力偶的合成与平衡任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。

M=M1+M2+…+M

n

=∑Mi

力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。本章结束认识平面力系认识平面力系1§3-1平面任意力系向平面内一点简化一、 力线的平移

作用于刚体上A点的力

F

的作用线可等效地平移到任意一点O，但须附加一力偶，此附加力偶的矩等于原力对O点的矩。OdFF’F”dFF’F”FdMFAFF”F逆过程：平面内的一个力和一个力偶总可以等效地被同平面内的一个力替换，但作用线平移一段距离OMF’FdMF’dF位置由M

的转向确定。力线平移的讨论1力线平移的讨论2图中单手攻丝时，由于力系(F’,MO)的作用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。二、平面任意力系向平面内一点简化设物体上只作用三个力F1、F2

和F3，它们组成平面任意力系，在平面内任意取一O

点，分别将三力向此点简化。——

力系的主矢——

力系对简化中心的主矩O

点称为简化中心；R’=F1’+F2’+F3’;MO=M1+M2+M3;对于力的数目为

n

的平面任意力系，推广为：右击

三个按钮作用相同简化结果：平面任意力系向一点简化，可得一个力和一个力偶，力的大小和方向等于主矢的大小和方向，力作用线通过简化中心；力偶的矩等于主矩。力系的主矢的解析表达式为：xyOijR’MOMO注意：主矢与简化中心无关，一般情况下主矩与简化中心有关。AAAAA固定端支座简化图形AFAXAYAMAMAXAYAMAXAYAMAXAYAMA§3-2平面力系的简化结果分析主矢不等于零，即 R’≠0主矩合成结果说明MO

=0合力R’此力为原力系的合力，合力的作用线通过简化中心。合力R大小等于

主矢MO

≠0此力为原力系的合力，合力的作用线距简化中心的距离O合力矩定理平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。证： 由前表的第二种情况可知：合力对O点的矩为：

MO

(R)=Rd=MO∵主矩

MO

=∑MO

(F)∴MO

(R)=∑MO(F)RdMOR’MOR’MOR’MOR’MOR’水平梁AB受三角形分布载荷作用，载荷的最大载荷集度为q，梁长

l。求合力作用线的位置。xdxqx例3-1合力对A点的矩可由合力矩定理得：lABqx解：距A端为x的微段dx上作用力的大小为qx

dx三角形面积作用线过几何中心hP其中qx

=qx/l设合力P到A点的距离h合力的大小为xdxqxhPxdxqxhP思考题水平梁AB受梯形分布载荷作用，载荷的最小载荷集度为q1，载荷的最大载荷集度为q2，梁长

l。求合力FR作用线的位置。lABq1q2FR见后续思考题lABq1q2FR1FR2FR将梯形分布载荷分解为均布载荷和三角形分布载荷。均布载荷三角形分布载荷

梯形载荷的合力由合力矩定理，有即已知q1，q2，

l。求FR作用线的位置h。解毕。平面力系的简化结果分析（二）主矢等于零，即 R’=0主矩合成结果说明MO

≠

0合力偶此力偶为原力系的合力偶，由简化结果彼此等效知：此情况下，主矩与简化中心O无关。平衡MO

=0§3-3节将重点讨论。即，主矢R’=0,这样可知主矩与简化中心D的位置无关，以B点为简化中心有：MD=MB

=M-F3×1=1Nm，主矩MD=1Nm一平面力系如图，已知，M=2(Nm)

，,求该力系向D点的简化结果。例3-2F2F3F1MABCD3m1m1m1m1m解：§3-3平面力系的平衡条件平面任意力系平衡的充分必要条件是力系的主矢和力系对任意点的主矩都等于零。即：R’=0,MO=0由：得平衡的解析条件：自重不计的简支梁AB受力如图，M=Pa。试求A和B支座的约束反力。例3-3MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐标轴如图。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a

－M

－P·2a

－q·2a·a=0∑X=0,XA

=0∑Y=0,YA－q·2a

－P+NB

=0，ABEnd∑X=0，

Fsin60°－3lq/2－XA=0XA=316.4

kN∑Y=0，Fcos60°－P+YA

=0

YA=-100kN∑MA(F)=0，

MA

－3l

2

q/2－M+

3lFsin60°－Flsin30°=0

MA

=-789.2kNm

自重为P=100kN的T

字形刚架，l=1m，M=20kNm，F=400kN，q=20kN/m，试求固定端A的约束反力。ABDll3lqF60°MPYAXAPPXAXAYAYAMAMAMAMAMAMAMA例3-4解：AEnd当我们更换第三个方程，结果同。∑Y=0,YA－q·2a

－P

－NB=0MPqxy4a2aNBXAYA解：受力分析，取坐标轴如图。XAXANBNBYAYA∑MA

(F)=0,NB·4a－M－P·2a－q·2a·a=0∑X=0,XA=0AB∑Y=0,YA

－q·2a

－P

－NB=0YA

·4a－q·2a·3a

－

P·2a+M=0回忆例3-3∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,∑MB=0,为什么会有二力矩形式的平衡方程呢？这是因为，如果力系对点A的主矩等于零，则系统有两种可能：（2）经过A点的一个力。如果力系对点B的主矩也同时等于零，则系统仍有两种可能：（2）经过A点，同时又通过B点的一个力。如果再加上∑X=0，那么力系如有合力则力垂直于x轴，当附加轴不允许垂直于连线AB时，系统必为平衡力系。（1）平衡。（1）平衡。ABx平衡方程的三种形式基本二力矩三力矩

只要x

轴

不平行y轴只要AB联线不与x轴垂直只要A、B、C

三点不共线形式限制条件平衡方程∑X=0∑Y=0∑MO(F)=0∑X=0∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑M

A

(F)=0∑M

B

(F)=0∑MC

(F)=0§3-4平面平行力系的平衡方程

平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。于是，独立的平衡方程数只有两个∑Y=0∑MO

(F)=0或∑MA

(F)=0∑MB(F)=0A、B连线不与力平行。F1F2F3FN如选x

轴与各力垂直就有∑X≡0xyO（1）保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？塔式起重机如图，P1=700kN，P2=200kN，试问：例3-56m12m2m2mABP2P1P3NBNA（2）当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

给轮的反力。保证起重机在满载和空载时都不至翻倒，求平衡载荷P3应为多少？

P1=700kN，P2=200kN例3-5(续1)6m12m2m2mABP2P1P3NBNA解：满载而不翻倒时，临界情况下，NA

=0∑MB

=0,

P3min(6+2)+2P1－P2(12－2)=0

P3min=(10P2－2P1)/8=75kN当空载时，

P2=0，临界情况下，NB=0∑MA=0,P3max(6－2)－2P1=0

P3max=2P1/4=350kN得：75kN≤P3≤350kN当P3=180kN时，求满载时轨道A、B

给轮的反力。例3-5(续2)6m12m2m2mABP2P1P3NBNAP1=700kN，P2=200kN解：∑MA=0,

P3(6－2)－2P1－P2(12+2)+4NB

=0NB=(14P2+2

P1

－4P3)/4=870kN∑Y=0,NA+NB

－P3－P1

－P2=0

NA

=210kN用∑MB=0可以进行校验。§3-5物体系的平衡·静定和静不定问题工程结构大都是几个物体组成的系统。物系平衡时，组成该系统的每个物体皆平衡。在平面任意力系的作用下，每个物体可写出三个平衡方程，若物系由n

个物体组成，则可写出3n

个独立方程。（平行、汇交力系减少）当系统中的未知量个数等于独立方程数，这样的问题称为静定问题。为提高结构坚固性，常常增加多余约束，使未知量个数超过独立方程数，这样的问题称为静不定或超静定问题。P静定和静不定问题对比（1）本问题为平面汇交力系，独立方程数为2个未知量的个数——（1）2个（2）3个P静定和静不定问题对比（2）XAYAMAXAYAMA本问题为平面任意力系，独立方程数为3个未知量4个未知量3个未知量3个未知量4个XAYAN1N2NXAYAN静定和静不定问题对比（3）

独立方程数6个

未知量

独立方程数3个

未知量XAYAXBYBXAYAXBYBXCYCYC’XC’ABCAB6个4个LlHhABC

平衡吊实例（四根杆组成的四边形为平行四边形）以整体结构为对象PNBQNCPNBQNCPNBQNC∑MC(F)=0，P(Lcos

+Hcos

)－NB(lcos

+hcos

)=0∑Y=0，P

－NB+Q

=0Q的大小即平衡物的重量，通过平衡物的作用来吊起重物，并可随意搬移重物。

静定物系平衡问题算例灵活选取研究对象，灵活选取平衡方程，一个方程求解一个未知量，可使问题的求解简便。组合静定梁一般可以先研究部分（简单优先），再研究整体结构；也可先研究一部分，再研究另一部分。注意集中载荷作用在铰接点的情况。当刚体（系统）没有完全被约束而在主动力作用下处于平衡，则主动力必须满足一定的关系或系统必须在适当的位置才能保持平衡。可利用多余的平衡方程来确定主动力必须满足的关系或平衡位置。至§3-6平面桁架

无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6PPABGCD系统受力情况如图。考虑翻倒的临界情况，PPGNN

无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重P、半径r，圆桶半径R

。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量G

min

。例3-6附属PPCD系统受力情况如图。G考虑翻倒的临界情况，GminGminGmin待续此时G=Gmin

。圆桶除了与光滑面的接触点外，都不受力。例3-6NAB分别画出球及圆筒的受力图。GminCDACDBPPFCFDFABFAB’FC’FD’NFRABCDPPFCFDCDGGminGminGminABNFRPPNFC’FD’FC’FD’FCFDFABFAB’FCFDFABFAB’待续GminCDFC’FD’FRab解1：分别以两个球和圆桶为研究对象，画受力图。设BE=a

，AE=b。以两球为对象，由EO例3-6续1FDABCDPPFCNR待续以桶为对象，由显然，b=2(R-r)

。所以即例3-6续2解2：以两个球为研究对象，→N=2P

以整体为研究对象，∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，

(N－P)(2R－

r)－GminR－Pr=0abEFDABCDPPFCNCDGminABNFRPPOREND所以即静定组合梁如图，已知Q=10kN，P=20kN，p=5kN/m，q=6kN/m和2a=1m。梁自重不计，求A，B的支座反力。2a2a2a2aaa例3-7ABCDXAYAMApqQPNB画出系统的受力图。未知量有四个，必须拆分系统！见后续XAYAMANBXAYAMANB例3-7(续1)可见，AC段有5个未知量，CD段有3个未知量，可先研究CD段。AC2a2aaPpYC’XC’XAYAMABDCqQ2a2aaXCYCYCXCNBXCYCYC’XC’YC’XC’分别画出AC段、CD段的受力图。见后续解法一：1、以CD为对象例3-7(续2)=0

YC·

2a－Q

a+Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC见后续例3-7(续3)2、再以AC为对象由（1）知,X

C’=X

C=0,YC’

=YC=4kN∑X=0，X

A=0∑Y=0，YA－P

－

p·2a

－YC’=0

Y

A

=

P+p·2a+YC’=29(kN)∑M

A

(F)=0，MA－P·a

－p·2a·3a－YC’·4a=0

MA

=10+7.5+8=25.5(kN·m)P=20kN，p=5kN/m，2a=1mAC2a2aaPXAYApYC’XC’MA见后续例3-7(续4)可不必去求

XC、YC，而直接去研究整个系统。解法二：1、以CD为对象Q=10kN，q=6kN/m2a=1mBDCqQNB2a2aaYCXC由解得见后续例3-7(续5)2、以系统为研究对象，画受力图。p2a2a2a2aaaABCDqQPXAYAMANB由解得END图示结构，已知载荷F1、F2、M及尺寸a，且M=F1a，F2作用于销钉上，求:

（1）固定端A的约束反力；

（2）销钉B

对

AB

杆及T

形杆的作用力。例3-8aaaa/2a/2BDEACF1F2M首先进行受力分析，理清解题思路！共有11个未知量！aBAXBYBXAYAMAXBYBXAYAMAXBYBXAYAMAYB’XB’F2YB’XB’YB’XB’BECF1XC’YC’XBTXC’YC’XBTXC’YC’XBTYBTYBTYBTDCMXCYCXDYDXCYCXDYDXCYCXDYDBEACF1F2MD求固定端A的约束反力及销钉B

对

AB

杆及T

形杆的作用力。如何确定解题方案？1、以CD为研究对象，列平衡方程。例3-8（续1）aaDCM∑MD(F)=0，YC·2a

-M=0YC

=F1/2XCYCXDYDaaaa/2a/2BEACF1F2MD见后续求固定端A的约束反力及销钉B

对

AB

杆及T

形杆的作用力。[解]例3-8（续2）2、以T形杆为研究对象

Y’C=YC=F1/2BECaaa/2a/2F1∑Y=0,

YBT+YC’－F1=0

YBT

=F1

／2∑MC(F)=0,

XBT

a

－YBT

a－

F1a=0

XBT=3F1／2YBTXC’YC’XBTaaaa/2a/2BEACF1F2MD见后续前页已算得：

XBT=3F1／2

YBT

=F1

／2XBT

和YBT

就是销对T形杆的作用力3、以销钉b为研究对象例3-8（续3）F2∑X=0,XB’－XBT’=0 XB’=3F1／2∑Y=0,YB’－YBT’－F2=0YB’=YBT’+F2=F2+F1

／2XB’和

YB’

是悬臂梁AB对销的作用力。显然， XBT’=XBT=3F1／2

YBT’=YBT=F1

／2YB’XB’aaaa/2a/2BEACF1F2MD见后续前页已算得：XB’=3F1／2，

YB’=F2+F1

／2

显然，XB=XB’=3F1／2

YB

=YB’=F2+F1

／2这就是销对悬臂梁AB的作用力。以悬臂梁AB为研究对象例3-8（续4）aBA∑X=0,

XB－XA=0 XA=3F1／2∑Y=0, YA

－YB=0 YA

=F2+F1

／2∑MA(F)=0, MA+YB

a=0

MA

=-(F2+F1

／2)aXBYBXAYAMAaaaa/2a/2BEACF1F2MD解毕例3-9待续PABaaaaaDCQEH已知刚体系统尺寸与载荷如图，AB、CD杆在其中点E处铰接，CH、CD杆在点C处铰接，铰接在CD杆端的滑块可沿水平轨道滑动。若系统在图示位置平衡，试求力P与Q的关系。例3-9续未知量数共为如何确定解题步骤？待续11个！首先进行受力分析，理清解题思路！PBCHDQABEEDCXCYCNBXC’YC’NB’XE’YE’XEYEXAYAXD’YD’XDYDNDPABaaaaaDCQEHXCYCNBXC’YC’NB’XE’YE’XEYEXAYAXD’YD’XDYDNDCABED求系统平衡时，力P与Q的关系。例3-9续（1）研究系统，画受力图。PABaaaaaDCQEHXAYAND（2）研究CH杆，画受力图。PBCHXCYCNB待续求力P与Q的关系。[解]PABaaaaaDCQEHXAYAND已求得（3）研究CD与滑块D系统，画受力图。DQECXC’YC’XE’YE’NDPBCHXCYCNB解得End例3-9续三铰刚架如图，自重不计，求支座A、B和中间铰C的约束反力。例3-10pQaaaACB待续[解]例3-10（续1）pQaaaACBXAYAXBYB待续以整体结构为研究对象，由以AC为研究对象例3-10（续2）QaaACXAYAXcYcEnd再以整体结构为研究对象，由pQACBXAYAXBYB例3-11平面构架由杆AB、DE及DB铰接而成。已知重物重P，AC=CB=DC=CE=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l，θ=45º。杆和轮的重量皆不计，试求：A、E支座的约束反力及BD杆所受的力。见后续PⅡⅠBCADKθERr例3-11续

1PⅡⅠBCADKθERrFAFExFEy解：见后续(1)研究系统，受力如图。解得FAFExFEyFAFExFEyFAFExFEy已知P，AC=CB=DC=CE=2l；R=2r=l，θ=45º。杆和轮的重量皆不计，求A、E支座反力及BD杆所受的力。例3-11续2PBFBxFByFKPⅡⅠBCADKθERr(2)研究两滑轮、销钉B和重物系统，受力如图。已求得(3)研究DE杆，受力如图。CDKEFK’FExFEyFDBFCyFCx得PFBxFByFKPF