河南省鹤壁市某中学2023-2024学年高一年级下册7月期末考试数学试题（解析版）

鹤壁市高中2023—2024学年高一（下）期末考试

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；

2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效;

3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知”>〃>0,下列不等式一定成立的是（）

mm+211

A.——<-------B.m+—>—\-n

nn+2nm

112m+nm

C.m——>n-----D.>—

nmm+2nn

【答案】B

【解析】

【分析】利用作差法即可判断A,利用不等式的性质即可判断B,举出反例即可判断CD.

mm+2m（n+2）—n（m+2）

【详解】对于A,-------------

nn+2〃（几+2）

因为m>几>0,所以加一〃

mm+22（m—zi）

所以--->0,

n"+2〃（几+2）

mm+2,,l

所以一>-----,故A错快；

nn+2

对于B,因为相>〃>0,所以工>工>0,

nm

所以加+工>^-+〃，故B正确；

nm

对于C,当根=0.2,〃=0.1时，TH—=—9.8<—4.9=〃----，故C错误;

nm

vyiyi5vn

对于D,当机=2,77=1时，三±=e<2=竺，故D错误.

m+2n4n

故选：B.

2.®a=log310,b=2°3,c=0.8*,则（）

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】C

【解析】

【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可判断

【详解】C=0.83<0.8°=1.

2O<2O.3<2I>即1<。<2

a=log310>log39=2

所以a>b>c

故选：c

3.已知为是函数/（x）=e'+x—2的零点，则（）

A.x0>1B.ln（2-x0）=x0

-x2-

C.x0-e°>0D.e^-e<0

【答案】B

【解析】

【分析】对A：根据零点存在定理，即可判断零点范围；对B：1。=2-%,两边取对数，即可判断；对

C：xoe^=x0（2-x0）,结合。的范围，即可得到与1。<1,从而进行判断；对D：根据毛的范围，再结

合指数函数单调性，即可判断.

【详解】y=e，,y=x-2均为单调增函数，故/（%）为单调增函数；

对A：因/（0）=-l,/（l）=e-l>0,故尤故A错误；

对B：因为e项+%-2=0,故e~=2-/〉0,两边取对数可得％=ln（2—Xo）,故B正确；

对C：e*=2—Xo，故工浜~uXog-Xoln-Go—iy+lvl,则/<e"。，则-e』<0,故C错

误；

2-Ab

对D：因为九2-x0G（1,2）,故e2fw（e,e，，则e2f>>e，e-e>0，故D错误.

故选:B.

【点睛】关键点点睛：本题A选项是所有选项中最重要的一个，需要根据零点存在定理，取求解飞的范

围；对其它选项的处理关键是要灵活应用所学知识.

4.有甲、乙两个袋子，甲袋子中有3个白球，2个黑球；乙袋子中有4个白球，4个黑球.现从甲袋子中

任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为（）

2133

A.—B.—C.-D.一

52525

【答案】B

【解析】

【分析】根据独立事件与古典概型计算分从甲袋子取出2个白球放入乙袋子、从甲袋子取出2个黑球放

入乙袋子和从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子三种情况讨论，从而可得出答案.

【详解】解：若从甲袋子取出2个白球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概

-C；C：9

率为----=——.

羊刀C；C；o50,

若从甲袋子取出2个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为

C

若从甲袋子取出1个白球和1个黑球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率

为以c；。10

，从甲袋子中任取2个球放入乙袋子，然后再从乙袋子中任取一个球，则此球为白球的概率为

91313

一+一+一=

50251025

故选：B.

5.如图所示；测量队员在山脚A测得山顶P的仰角为a,沿着倾斜角为月的斜坡向上走200m到达3

处，在8处测得山顶P的仰角为九若。=45°,，=34。，7=75。，（参考数据：sin34°«0.56,

sin41°«0.66,cos34°«0.83,cos41°«0.75,0Hl41，73»1,73），则山的高度约为（）

A.181.13B.179.88C.186.12D.190.21

【答案】C

【解析】

【分析】在qABP中，利用正弦定理求AP,进而在RtZXPAQ中求山的高度.

【详解】在中，贝U

ZABP=180o-r+AZBR4=180o-(cr-/7)-ZABP=180o-(a-/7)-(180°-r+^)=/-cr,

因为.则…

sinZABPsinZAPBsinZAPBsin(r—a)

在RtZkPAQ中，贝i]

72

ABsin(/-^)sincr200xsin41°xsin45°200x0.66xy

PQ=APsma=---------J------J------=-----------------------------®------------------—»186.12.

sin(7—a)sin30°J_

2

故选：C.

2s

6.在锐角中，角A,5c的对边分别为a力,G，ABC的面积为S,若sin（A+C）=或彳，则

3nA+再建的取值范围为（）

2也10疔

丁丁J

【答案】C

【解析】

【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出A3关系后求解

【详解】由题意.,八.D2s2・5acsin3,而sin6>0,

sinA+C=sinB=———-二-J———

'）b2-a2b2-a2

所以62一々2=QC，由余弦定理得Z?2=/+02-2QCCOSJB，

故c=2dcos5+a,

又由正弦定理得sinC=2sinAcosB+sinA=sinAcosB+cosAsinB,

整理得sin（B-A）=sinA,

故6—A=A或8—A=兀―A（舍去），得JB=2A,

因为_A5c是锐角三角形，

0<2A<I

兀

0<7T-3A<-

2

解得乌＜A〈工，故由

<tanA<1，

4

tanAH-------；-------——tanAH---------e

3tan(B-A)3tanA

故选：C.

【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.

7.如图，在中，已知AB=2,AC=5,ZBAC=60°fBC、AC边上的两条中线A",BN

相交于点尸，则/MW的余弦值为（）

4791254回

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件，取｛AB,AC｝为基底，利用向量数量积求出|AM|,|AN|,AM，AN,再利用向量

夹角公式求解作答.

【详解】在_A5C中，令A2=a，AC=b>贝i」(a,0〉=60,a-b=\a\\b\cos(a,b)=2x5x^=5,

因为BC、AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则闻1/=,4+工人，BN=-b-a,

222

于是|AM\=-^a+K+2a-b=-V22+52+2x5=迤，

222

|5A^|=-yjb2+4a-4a-b=->/52+4x22-4x5=叵,

222

・1.••1--2>21oo

AM-BN=-(a+by(b-2a)=-(-a-b-2a+b)=-(-5-2x22+52)=3,

AM-BN34V91

cosZMPN=cos（AM,BN）=叱=「「=

所以|AM||8N|屈收91■

X

22

故选：A

8.已知复数z满足|2—l|+|z+l|=4,贝U|2|的取值范围为（）

A.[0,1]B.[2,3]c.[1,6]D.[百,2]

【答案】D

【解析】

【分析】由题意确定复数z对应的点的轨迹，再结合椭圆的性质以及|z|的几何意义，即可求得答案.

【详解】复数Z满足|z—l|+|z+l|=4,

则复数Z对应的点的轨迹为以（-1,0）。,。）为焦点，长轴长2a=4的椭圆，

______22

则椭圆短半轴长为b=722-12=百，椭圆方程为?+4=1，

IZ|表示椭圆上的点到原点的距离，

当点位于椭圆长轴上的顶点时，Iz|取值大值2；

当点位于椭圆短轴上的顶点时，Iz|取值小值6；

故|z|的取值范围为[6,2],

故选：D

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分;

若只有3个正确选项，每选对1个得2分.

9.已知/（x）=log/（a>0,且awl）,则下列结论正确的是（）

A.当a>l时，/（尤）在（0,+。）上是增函数

B.不等式/（“<0的解集是（0,1）

C.“X）的图象过定点（1,0）

D.当a=2时，/（%）的图象与g（x）=0.01x的图象有且只有一个公共点

【答案】AC

【解析】

【分析】对A、B、C,结合对数函数性质逐项判断即可得，对D,将函数图象交点个数转化为研究函数的

零点个数，借助零点的存在性定理即可判断.

【详解】对A：当时，〃尤)在(0,+“)上是增函数，故A正确；

对B：当时，logflx<0,则xe(0,l),当0<“<1时，］e(l,+oo),故B错误；

对C：/(l)=logal=0,故C正确；

对D：当a=2时，/(x)=log2x,4-h^x)=log2x-O.Olx,

有妆1)=log2l-0.01=-0.01<0,/z(2)=log22-0.01x2=1-0.02=0.98>0,

10lo10

/?(2)=log22-O.Olx2=10-10.24=-0.24<0,

故从可在(1,2)及(2,210)上都至少有一根，

即“龙)的图象与g(%)=0.01%的图象在(1,2)及(2,210)上都至少有一个交点，

故D错误.

故选：AC

10.如图，在正方体ABC。—44Goi中，E为棱A3上的动点，D尸1平面2ECR为垂足，下列结

A.FD、=FC

B.三棱锥DE。的体积为定值

C.ED,±\D

D.BG与AC所成的角为45。

【答案】ABC

【解析】

【分析】对于A,可证得CD1，平面DOF，进而有OF，,所以尸在CD1的中垂线上，可得FD】=FC,

即可判断；对于B,由匕棱锥C-O石R=匕棱艇-CQA，而三棱锥E-CD。的体积为定值，所以三棱锥

C—DE。的体积为定值，即可判断；对于C,可证得平面AEA，则即可判断；对

于D,在正方体中，由RAC是正三角形，可得2G与AC所成的角为60。，即可判断.

【详解】

对于A,正方体ABC。—中，连接DC一交CR于点。，连接则。OLCR,

又小上平面［EC,CRu平面'EC,所以CD,±DF,

因为DF，DO=D,DF、OOu平面。

所以平面。，

又OFu平面。0/，所以OBLC2，

因为。为C2的中点，所以P在CR的中垂线上，

所以FDi=EC,故A正确；

对于B,在正方体中，AB//平面CZ)A，E为棱AB上的动点，

所以点E到平面CDD｛的距离即为AB到平面CDD1的距离，

即为正方体的棱长，为定值，的面积为定值，

所以三棱锥E-CDD［的体积为定值，又匕棱锥C-DEQ=^HSte-CDD,，

所以三棱锥C-DED1的体积为定值，故B正确；

对于C,连接ADPAjD,则AD；1\D,

又在正方体中，人石,平面的已。，ADu平面的。。，

所以ADJ_AE,又AEcAD］=A,AE.A0U平面AEQ,

所以平面AE。，又EQu平面AED］,

所以EQ，4。，故C正确；

对于D,连接AC、BQ,

在正方体中，43//。］。1且48=。］，，

所以四边形ABC1。是平行四边形，

所以3C1//AQ,所以ZD.AC即为BG与AC所成的角，

又，RAC是正三角形，所以8G与AC所成的角为60。，故D错误.

故选：ABC.

11.已知函数/(x)=sinx—石cosx,贝！J()

A.Ax)的最大值为2

B.函数y=〃x)的图象关于点［1,。］对称

C.直线》=鼻是函数y=/(元)图象的一条对称轴

D.函数y=/(x)在区间上单调递增

【答案】AB

【解析】

【分析】先用辅助角公式将函数/(x)=sinx-Gcosx变形为/(x)=2sin(x-］),结合正弦型函数的

性质逐项判断正确与否即可.

【详解】函数/(九)=sin%一百cosx=2(sinxcos三-cosxsin；)=2sin(x-j),

JT

对于选项A,y(%)=2sin(x--)<2,A正确；

对于选项B和C,将x=g代入函数/'(x)=2sin(x—火)的解析式，得/(g)=0,函数y=/(x)的图象关

333

于点三,。对称，B正确，c错误；

/兀兀）/兀）

对于选项D,函数＞=/（元）在区间一耳,-q上单调递减，在区间一5,0上单调递增，D不正确；

故选：AB.

三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.

12.函数/（x）=4sinx（sinx-百cosx）+l相邻的两个零点分别为%，无2（石＜%），贝U以双石-々）=

3

【答案】±二

4

【解析】

【分析】利用三角恒等变换得到/（x）=3—4sin[2x+E],求出解得玉+々=g+2E,AeZ或

4兀

玉+X2=y-+2E/£Z，分两种情况，结合诱导公式求出答案・

[详解】/（%）=4sinx（sinx-近cosx）+l=4sin2x-4近sinxcosx+1

=2-2cos2x_2V3sin2x+l=3-4sinf2%+巳），

3

令/（力=0得sin12%+巳

4

-71_71_71-71

2%,H---F2XH-2xHF2xHQ

故IZ一^_9」」+2E,0Z,或=~?」=^+2E,keZ'

2222

兀4兀

解得玉+%2=1+2左兀,左£2或玉+工2=工+2左兀,左£Z,

713

又不＜x,其中sinsin+6

24

,、।-71.7।71

cosC^q-x2)=cos-2X2H---1-2kn-cos—

兀

或cos(%-％2)=cos—2%2H---\-2kn=-cos-2x+—=-cos

22

综上，COS（玉一冗2）=土/.

3

故答案：±—

4

13.在"C中，内角ASC的对边分别为。，"c,A为锐角，tanBcosC=l—sin。,.A8C的面积为2,

则，ABC的周长的最小值为.

【答案】4+20

【解析】

TT

【分析】由题设可得sin(6+C)=cosB,根据三角形内角的性质可知一A5c是/。二一的直角三角

2

形，即有其周长为〃+而万，利用基本不等式即可求出最小值，注意等号成立的条件.

【详解】由tan3cosc=1—sinC知：sinBcosC=cosB—cosBsinC,而5+C=7i—A,

sinBcosC+cosBsinC=sin(B+C)=sinA=cosB,

711--------

「ABC是/。=万的直角三角形，故5例0=5"=2，即"=4,而c=寿，

；•一ASC的周长a+〃+J。？+62=J"+>2+2aZ?++6,244ab+J2ab=4+20,当且仅当

a=/?=2等号成立.

故答案为：4+272

【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换及三角形内角的性质判断三角形的形状，再由三角形周长公

式、基本不等式求周长的最小值即可.

14.己知四棱锥P-A5CD的侧棱长都相等，且底面是边长为3行的正方形，它的五个顶点都在直径为

10的球面上，则四棱锥P-ABCD的体积为.

【答案】6或54

【解析】

【分析】分球心位于棱锥内部和外部进行讨论，根据球的半径求得棱锥的高，即可得到棱锥的体积.

【详解】由题意可知，棱锥底面正方形的对角线长为：3后x万=6，

棱锥的底面积为：5=。收『=18,据此分类讨论：

当球心位于棱锥内部时，棱锥的高为：H+也―=9,棱锥的体积：V=1s/z=54；

当球心位于棱锥外部时，棱锥的高为：h=57$-手=1，棱锥的体积：V=^Sh=6-,

综上可得：四棱锥P-ABCD的体积为6或54.

故答案为：6或54

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.对于函数y=/nd+奴2+(〃-1)工+(。一1)(。w0),若存在x()eR,使得

32

mx1+axg+(Z?-l)x0+(£»-1)=不成立，则称％为函数y=mx+ax+(/?-l)x+(Z?-l)(a丰0)的“冏

点”.

(1)当m=2,a——3,6=2时，求函数_y=+奴？+(Z?-l)x+3-l)(aw0)的"冏点”；

(2)当"z=0时，对任意实数6,函数y=加1+奴2+(。一1)%+3一1)(4/0)恒有“冏点”，求。的取值

范围.

【答案】(1)“冏点''%=1,x2=-1

(2)-l<a<0

【解析】

【分析】(1)利用“冏点”定义布列方程，即可得到结果；

(2)函数y=如？+以2+(6-l)x+(Z?-l)(aw0)恒有"冏点"，等价于函数

y=ax2+(b+l)x+(b-l)(a丰0)恒有“冏点”，结合判别式即可得到结果.

【小问1详解】

当机=2,a=—3,6=2时，y-2x3-3x2+x+L

由题意知：2五一3x?+x+l=x，二(2x+l)(x—l)2=0,

解得X]=1,x2=——,

所以当m=2,a=-3,b=2时，函数y=7m3+以2+(力一1)*+3-1)(。/0)的“冏点”药口，

1

%=一七

【小问2详解】

由题知：ax2+(b-X)x+(b-X)=x｛a^G),所以ax'+(Z?-2)x+(Z?-l)=0,

由于函数y=ax?+3+1)%+3一1)(。/0)恒有“冏点”，

所以A=(b—2『—4a(b—1)20,即/—4(a+l)6+4(a+l)20,

又因为6是任意实数，所以A=a(a+l)W0,

解得一又awO.故一l<a<0.

16.某电子产品制造企业为了提升生产质量，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析

改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质

量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件).

质是指标值[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)[75,85)[85,95)

产品6010016030020010080

(1)估计这组样本的质量指标值的平均数元和方差同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；

(2)设国表示不大于x的最大整数，｛尤｝表示不小于x的最小整数，s精确到个位，

(元一五+s-fx—2s\一无+2s-

q=5彳飞二卜4=5-三一,a2=5J--—卜力=5,一--.根据检验标准，技术升级改造后，若

质量指标值有65%落在［q，4］内，则可以判断技术改造后的产品质量初步稳定；若有95%落在［4，4］

内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是

否可以判定生产线的技术改造是成功的？

【答案】(1)61；241

(2)可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.

【解析】

【分析】(1)利用表格中的数据，根据平均数和方差的公式，准确计算，即可求解；

(2)根据题设中的公式，分别求得区间［4可和&也］,并判断数据落在该区间的概率，结合给定的概

率比较，得出结论.

【小问1详解】

解：由检测数据的统计图表，可得：

平均数嚏=30*0.06+40*0.1+50x0.16+60x0.3+70x0.2+80x0.1+90><0.08=61，

方差为s2=(30-61)2x0.06+(40-61)2x0.1+(50-61)2x0.16+(60-61)2x0.3

+(70-61)2x0.2+(80-61)2X0.1+(90-61)2x0.08=241

【小问2详解】

解：由⑴知，$2=241，因为(15.5)2=240.25,162=256,所以15.5<s<16,

又因为s精确到个位数，所以SB16,

,,f61-161_F61+161__

贝!JI=$j।=45,=5•-二75,

该抽样数据落在［45,75］内的概率约为0.16+0.3+0.2=66%>65%,

c［61-2x16］々八7,「61+2x16］nn

又由。2=5j-----------?=30,b2=5-------------=90,,

所以该抽样数据落在［30,90］内的概率约为1—(0.03+0.04)=93%<95%,

所以，可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功.

17.如图所示，ABC的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站，在图中的

2

D、E、尸点上.岛屿A到补给站。的距离为岛屿A到8的岛屿A和岛屿。到补给站E的距离相

等，补给站产在靠近岛屿C的8C的三等分点上.设CB=a,CA=6.

C

(1)用a,B表示市,CD；

(2)若三个岛屿围成的，LBC的面积为10(0+1)平方公里，且满足生上4+史上0=1,求岛屿A

sinAsinB

和岛屿C之间距离的最小值.

ii?3

【答案】（1）EF=-a——b,CD=-a+-b

3255

(2)2而公里

【解析】

--2―—.1一

【分析】(1)根据题意，得到AD=—AB,且二—C5,结合向量的运算法则，即可求解；

53

(2)由皿4+至2型=1,化简得到3sinC=sinB(sinA—cosA),结合正弦定理得到

sinAsiaB

120(昌1)

3c=b(sinA-cosA),利用三角形的面积公式，求得“一】二J2A进而求得6的最小值，得

到答案.

【小问1详解】

2-2

解：由岛屿A到补给站。的距离为岛屿A到6的彳，可得")=不■M,

一1一

点石为AC中点，且b=—C3,

3

---_

又由CB=a,CA=6,所以EF=EC+CF=—CA-\—CB=—a—b,

2332

CD=CA+AD=CA+-AB=CA+-(CB-CA\=-CB+-CA=-a+-b.

55、75555

【小问2详解】

4cosA3cos5

解：由-------1---------=1,可得4cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB,

sinAsiaB

即3cosAsinB+3cosBsinA=sinAsinB-cosAsinB,

可得3sin(A+8)=sinB(sinA-cosA),gp3sinC=sinB(sinA-cosA),

设AB=c,AC=Z?,由正弦定理知3c=Z?(sinA—cosA)

/sinA(sinA-cosA)_b2(sin2A-sinAcosA)

而SARr=—bcsinA=

ADC2

66

12

=^-(l-cos2A-sin2A)=10(V2+l),

,120(72+1)120(V2+l)

所以1—sin2A-cos2A

1—0sin2A+：'

因为3c=/?(sinA—cosA)>0,所以:<A<TI,得手'(ZA+Wv*,

所以当2A+(=,，即A=*时，〃取得最小值120,即6的最小值为2同,

所以岛屿A和岛屿C之间距离的最小值为2而公里.

18.如图，在棱长为2的正方体ABC。—A4GR中，M为棱8片的中点，P为棱4。的中点，平面

ZM1MN与平面CS/Q将该正方体截成三个多面体，其中N,Q分别在棱上.

(1)求证：平面MNDA〃平面CgPQ；

(2)求异面直线CQ与肱V所成角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵*

【解析】

【分析】(1)由面面平行的性质得到线线平行，进而得到MN〃与C,进而得到用Q〃M),£＞河〃平面

CB.PQ,同理得到〃平面PQC4,证明出面面平行；

(2)由(1)可得/耳。。为异面直线CQ与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理求出异面

直线的夹角余弦值.

【小问1详解】

由题意得平面BCC.BJ/平面ADD^,

又平面MNDAc平面BCGg=MN,

平面MND&c平面ADD^=4。，所以ADHMN,

同理「。〃用C,

因为A4〃CD且耳耳=CD,

所以四边形A4CD为平行四边形，则4。//印丁

所以MNHB[C,

又4Cu平面C4PQ,且MNu平面C男尸。，

所以MN〃平面PQCB],

又M为8瓦中点，所以N为中点