2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二年级下册7月期末考试数学试题（含答案）

2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高二下学期7月期末考试

数学试题

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知i为虚数单位，若复数z=急，则z的虚部为（）

A.1B.-1C.iD.-i

2.函数y=-2-x与y=2工的图象（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点轴对称D.关于直线y=x轴对称

3.求（2口一看尸的展开式中久的系数（）

A.32B.-32C.24D.-24

4.对于任意两个向量2和b,下列命题中正确的是（）

A.若出3满足同>|向,且五与B同向,则

B.\a+b\<\a\+\b\

C.|a-K|>|a||K|

D.\a-b\<\a\-\b\

5.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则E（X）的值为（）

X012

P0.36l-2qq2

A.0.68B.0.6C.0.2976D.3.88

6.根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到f=3.122.已知P（f>3.841）=0.05,依据小概率值a=

0.05的独立性检验，贝!］（）

A.x与y不独立

B.x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

C.%与y独立

D.x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05

7.将函数/⑴=3s出（2%+今的图象向左平移弓后得到函数y=g（x）的图象，则y=g（©的解析式是（）

4J

A.。(久)=3sin(2x+!|)B.g(x)=3sin(2x—工)

C.g(x)=—3sin(2x—患)D.g(x)=3sin(2x—|^)

8.长时间玩手机可能影响视力，据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手

机超过lh,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过的学生中任意调查一名学生，则他近视的

概率为()

2353

A-5B§Q8D4

二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5(PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ag/nP)的日

均值，依次为35,26,17,23,33,56,41,31,30,33,贝!!()

A.这组数据的极差为39B.这组数据的众数为33

C.这组数据的中位数为31或33D.这组数据的第60百分位数为33

10.下列关于概率统计说法中正确的是()

A.两个变量x,y的相关系数为r,贝b越小，久与y之间的相关性越弱

B.经验回归方程y=3x+1相对于点(2,6.5)的残差为一0.5

C.在回归分析中，解为0.89的模型比R2为0.98的模型拟合得更好

D.某人解答10个问题，答对题数为X,X〜8(10,0.8),则E(X)=8

11

11.己知函数/0)=26*,g(x)-则()

A.y=f(x)+g(x)是偶函数

B./(2x)+g(2x)=[/勇+g(x)]+[/(%)-g(x)]恒成立

C.y=f(x)+g(x)的值域是(0,+co)

D.y=/Q)-g(x)的值域是[0,+8)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.从2,3,4,5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是.

13.某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布N(75,82)如果按照16%,34%,34%,16%的比例将

成绩从高到低划分为4B,C,。四个等级，贝UB等级的最低分是.

14.甲、乙、丙三人做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两人

中的任何一人，则经过5次传球后，球在甲手中的概率为.

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

计算下列各式的值:

(1)(|Nx(-^)°+8^xV2+(V2x/3)6-

1

仞

2恒

_in2+--

1Jig<io-z^o.i-4

16.(本小题12分)

三角形ABC的内角/、B、C所对的边分别为a,b,c,y/3bcosA—asinB=0.

(i)求a；

(2)若a=2,求△力BC面积的最大值.

17.(本小题12分)

某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1：

表1

语文成绩

数学成绩合计

优秀不优秀

优秀7354127

不优秀61212273

合计134266400

表2

语文成绩

数学成绩合计

优秀不优秀

优秀614

不优秀626

合计40

(1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表.

①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率；

②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率.

(2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2,请填写完整表2数据，并根据表

2数据，依据a=0.05的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？

n(ad—be)2

曳=(a+bYc+dYa+cYb+d),X°05=3'841)

18.(本小题12分)

如图，在四棱锥P—4BCD中，底面力BCD为菱形，AB=2,ABAD=60°,侧面PAD是正三角形，侧面

PAD1底面A8CD.

(1)求PC与底面4BCD所成角的正切值；

(2)求侧面PBC与底面A8CD所成二面角的大小；

(3)若E是PC上的点，且P4〃平面BDE,求四面体P—BDE的体积.

19.(本小题12分)

如图，设Ox,0y是平面内相交成60。角的两条数轴，瓦，筱分别是与％轴、y轴正方向同向的单位向量.若向

量。面=/瓦+y瓦,则把有序实数对(久,y)叫做向量而?在坐标系。xy中的坐标，记作而？=(x,y),在此坐

标系。久y中，若瓦？=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),F是BP的中点，4尸与。P交于7两点.

⑴求|加|；

(2)求词的坐标；

(3)若过点P的直线Z分别与x轴、y轴正方向交于M、N两点,求SAOMN的最小值.

参考答案

l.B

2.C

3.B

4.B

5.4

6.C

7.C

8.F

9.ABD

1Q.BD

11.AB

1

z

3-

13.75分

14卷

n171

15.解:(1)(1)-3x(-^)°+84xV2+(V2x73)6-

1311

(17)3X1+24X24+22X33-(71)3

=2+4x27=110；

⑵端瑞一即2+%2-1g；+335-/。%2-log49.

―恒(8/125)/3125-—•21g3

(物10)必10-1"四十Lgizb匈321g2

3

-2+IglOOO-1

9(-1)

=—6—2+3—1=-6.

16.解：(1)因为，^bcos/—asinB=0,

所以由正弦定理可得V^sinBcosZ=sinAsinB,

又sinB*0,

所以V~^cos4=sinA,即tcm4=

又AG(0,7T)，

所以4=全

(2)因为4=pa=2,

所以由余弦定理可得4=b2+c2—2bccosA>2bc—be=be,当且仅当力=c=2时取等号，

所以be<4,

所以S—BC=|besinA<jx4x=/3,当且仅当b=c=2时取等号，

则^ABC面积的最大值为

17.解：(1)记事件4=“选到同学数学成绩优秀"记事件8=“选到同学语文成绩优秀”，则Z与B相互

独立，

①PM=编,

73

②PCM)=需127,

(2)表2整理如下:

数学成绩优秀不优秀合计

优秀8614

不优秀62026

合计142640

2

n(ad—bc)

零假设/：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得：/=

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

40(8x20-6x6)238440

«4,642>3.841,

14x26x14x268281

依据a=0.05的独立性检验，我们可以推断％不成立；即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误

的概率不超过0.05.

18.解：(1)设。是力。的中点，连接PO,CO,

又侧面PHD是正三角形，。是4。的中点，

POLAD,

又因为侧面PADJ_底面力BCD,PADnABCD=AD,

：.PO_L底面力BCD,

NPC。是PC与底面2BCD所成角，

在RtAPC。中，PO=OC=6,

••tanNPC。=——

(2)又•••在菱形2BCD中，4BAD=60°,

・•.△4BD为等边三角形，

又。为4D的中点，所以BO1BC,

由(1)知，PO1BC,

BC_L平面P08,贝IJPB_LBC,

・•.NPB。是侧面PBC与底面718CD所成二面角的平面角，

而在RtAPB。中，PO=BO=

：.乙PBO=45°,

•••侧面P8C与底面4BCD所成二面角大小为45。.

(3)连结AC交8。于点F,连结EF,

•底面力BCD为菱形，且P力〃平面BDE,

EF//PA,

又•.•在APAC中，尸为力C中点，

E为PC中点，

又P4〃平面BDE,

P点到平面BDE的距离等于4点到平面BDE的距离，

即Vp-BOE=^A-BDE=^E-ABD>

由(1)知AD1P0,平面PAD_L平面力BCD,所以P。1底面力BCD,

因为等边小PAD的边长为2,；.P0=，百，

又因为E为PC中点，

•••点E至IJ底面4BCD的距离为gp。=苧，

4BD为边长为2的等边三角形，

2

三棱锥P-BDE的体积为Vp_BDE=VE-ABD=1-h-S^ABD=1x^x^x2=1.

jJN4Z

_11

19.解:(1)依题意可得瓦(尼=闻H石|cos60°=1X1X1

OP=(3,2)=3冤+2/，|OP|2=(3久+2林/=9e72+12•ej+4e72=9+12x1+4=19,

■■■\OP\=719.

(2)•••OA=(3,0),OB=(0,2),OP=(3,2),

OA=3